Составить уравнение плоскости перпендикулярно другой плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с постановки задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М₁ перпендикулярно к плоскостям и .

Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.

Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .

Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно

• найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
• принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
• написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .

Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L

.

(1)

.

(2)

Пусть плоскость α₁ не перпендинулярно прямой L.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α₁ (Рис.1).

Запишем уравнение искомой плоскости α:

Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀). Тогда справедливо следующее равенство:

и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:

Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α₁, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α₁.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(8)

перпендикулярно плоскости α₁ :

(9)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α₁, то должна выполнятся условие:

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(20)

перпендикулярно плоскости α₁ :

(21)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α₁, то должна выполнятся условие:

(25)

(26)

(27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(31)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).

Уравнение плоскости: как составить? Виды уравнений плоскости

В пространстве плоскость можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R₃, которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ – это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С – это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

• Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
• Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
• В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
• В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
• В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
• В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге уравнение плоскости в отрезках. Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу – (0,b,0), а Oz – (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

• точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
• нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) – rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

Поскольку МₒМ = r–rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. [r – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Если [rₒ, n] обозначить как с, то получится следующее уравнение: [r, n] – с = 0 или [r, n] = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости [r – rₒ, n] = 0. Поскольку r–rₒ = (х–хₒ)*i + (у–уₒ)*j + (z–zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М= <х-х′;у-у′;z-z′>и М″М= <х″-х′;у″-у′;z″-z′>должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему уравнений (линейную) с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ₁ и φ₂. Сумма их равна π (φ₁+ φ₂= π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ₁=-cos φ₂. Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие параллельности плоскостей (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

Если условия пропорциональности являются расширенными — А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р – это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v – это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q₀=(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q₀=(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)–(ρ 0 ,v) =р–(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

Теперь видно, чтобы рассчитать расстояние d от Q₀ до плоскости П, нужно использовать нормальный вид уравнения плоскости, при этом перенести в левую часть р, а в последнюю вместо х,у,z подставить (хₒ,уₒ,zₒ).

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

Если заданная точка Q₀ находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится тупой угол, следовательно:

В случае когда точка Q₀ совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р — (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v) 2 сентября, 2014