Составить уравнение плоскости по каноническому прямой

Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.

В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a . Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М₃ .

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

• через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
• если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M₃ проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М₁ и М₂ , лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М₁ , М₂ и М₃ .

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a , а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ , которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М₃ .

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М₁ и М₂ , лежащих на заданной прямой a .

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a . Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М₂ , также лежащей на прямой a и отличной от точки М₁ .

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М₃ , не лежащую на прямой a .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.

Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Начнем с самого простого случая.

Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку .

Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, и .

Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ :

Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .

.

Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.

Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку .

Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид . Пусть точка М₁ соответствует значению , а точка М₂ — . Вычисляем координаты точек М₁ и М₂ :

Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :

Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель .

.

Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка и прямая a , которая является линией пересечения двух плоскостей и . Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М₃ .

Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей и , получим параметрические уравнения прямой a , чтобы найти координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a . После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М₃ и прямую a , как уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ .

Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a , к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат . При получаем точку , при — точку .

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую , имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

.

(1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

.

(6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

(10)

(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

(21)

(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.