Составить уравнение плоскости проходящей середину отрезка

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач

Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 , где a , b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат O х , O у и O z в трехмерной системе координат O х у z . Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

Действительно, координаты точек a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

a a + 0 b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + b b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + 0 b + c c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1

Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

Проиллюстрируем описанное выше примером.

Плоскость проходит через точки — 2 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 и 0 , 0 , — 1 2 на осях координат в прямоугольной системе координат O x y z . Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 1 2 .

При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1 .

Ответ: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1

Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Плоскость в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнением плоскости в отрезках вида x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.

Решение

Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Ответ:

Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c и соединить их прямыми линиями.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида A x + B y + C z + D = 0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , где A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 .

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = — D

Так как D ≠ 0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на – D : A — D x + B — D y + C — D z = 1 .

Так как A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x , y и z . Последнее уравнение эквивалентно равенству x — D A + y — D B + z — D C = 1 . При этом мы использовали очевидное равенство p q = 1 q p , p , q ∈ R , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить — D A = a , — D B = b , — D C = c .

Разберем решение примера.

Плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в пространстве задана уравнением вида 3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем — 6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6 :

3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 ⇔ 3 x + 9 y + 6 z = 6 3 x + 9 y — 6 z = 6 ⇔ 1 2 x + 3 2 y — z = 1

Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 1 2 x + 3 2 y — z = 1 ⇔ x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.

Ответ: x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1

Уравнение плоскости в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:

,

(1)

где a, b, c отличные от нуля числа.

Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M₁(a, 0, 0), M₂(0, b, 0) и M₃(0, 0, с).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения плоскости в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:

.

Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:

.

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на 10, получим:

.

.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:

.

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

.

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим: