Составить уравнение плоскости точка служит основанием перпендикуляра

Задача 21579 Точка P(2; -1; 1) служит основанием.

Условие

Точка P(2; -1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Решение

Вектор vector-нормальный вектор данной плоскости
vector=(2;-1;1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(х_(о);y_(o);z_(o)) c нормальным вектором vector=(A;B;C> имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

Подставляем координаты точки Р и вектора vector в это уравнение
2*(х-2)-(y-(-1))+(z-1)=0
2x-y+z-6=0
О т в е т. 2x-y+z-6=0

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор

§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,

проходящей через данную точку и имеющей данный

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение

А(х — xо) + В(у — yо) + С(z — zz0) = 0 (1)

определяет плоскость, проходящую через точку М0(х0; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = <А; В; С>.

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах0 — Ву0,—Сz0 буквой D представим его в виде:

Ах + By + Cz + D = 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n =<1, —2; 3>.

914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = <5; 0; —3>.

915. Точка Р (2; —1; —1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравне­ние этой плоскости.

916. Даны две точки М1(3; —1; 2) и М2(4; —2; —1). Соста­вить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендику­лярно к вектору .

917. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; —5) параллельно двум векторам a1 = <3; 1; —1>и a2 = <1; —2; 1>.

918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) параллельно двум векторам

может быть представлено в следующем виде:

= 0

919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; — 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = <3; — 1; —4>.

920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) параллельно вектору

может быть представлено в следующем виде:

= 0

921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (3; — 1; 2), М2 (4; — 1; — 1) и М3 (2; 0; 2).

922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки:

М1(х1;у1;z1) М2(х2;у2;z2) М3(х3;у3;z3)

может быть представлено в следующем виде:

= 0

923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:

1) 2х—у — 2z + 5 = 0; 2) х + 5у — z = 0;

3) 3х —2у —7 = 0; 4) 5у —3z = 0; 5)х + 2 = 0;

924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2х — 3у + 5z — 7 = 0, 2х — 3у + 5z + 3 = 0;

2) 4х+2у —4z + 5 = 0, 2х + у + 2z—1=0;

3) х—3z +2 = 0, 2х —6z — 7 = 0.

925. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3х—у — 2z — 5 = 0, х + 9у — 32 + 2 = 0;

2) 2х + 3у —2 —3 = 0, х — у — z + 5 = 0;

3) 2х —5у + z = 0, х + 22 —3 = 0.

926. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

1) 2х + lу + 3z — 5 = 0, mх —6у —6z + 2 = 0;

2) 3х— у + lz — 9 = 0, 2х + mу + 2z —3 = 0;

3) mx + 3у — 2z — 1=0, 2х— 5у — lz = 0.

927. Определить, при каком значении l следующие пары урав­нений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3х — 5у+ lz — 3 = 0, х + 3у + 2z + 5 = 0;

2) 5х + у — 32 — 2 = 0, 2х + lу — 3z + 1 = 0;

3) 7х — 2у — 2 = 0, lх + у — 3z — 1 = 0.

928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:

1) х — у + z — 1 = 0, х + у—z + 3 = 0;

2) 3у — z = 0, 2у + z = 0;

3) 6х + 3у — 2z = 0, х + 2у + 6z — 12 = 0;

4) х + 2у + 2z — 3 = 0, 16х+12у — 15z — 1 = 0.

929. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5х — 3у + 2z — 3 = 0.

930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; —2; —7) параллельно плоскости 2х — 3z + 5 = 0.

931. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2х — у + 3z — 1=0, х + 2у + z = 0.

932. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; —1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2х — z + 1 = 0, у = 0.

933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) перпендикулярно к плоскостям

А1х + В1у + С1z + D1 = 0, A2x + В2у + С2z + D2 = 0,

может быть представлено в следующем виде:

934. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; —1; —2) и M2(3; 1; 1) перпендикулярно к пло­скости х — 2у + 3z — 5 = 0.

935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(х1; y1; z1 ) и M2(x2; у2; z2) перпендикулярно к плоскости

Ax + By + C2 + D = 0,

может быть представлено в следующем виде:

=0.

936. Установить, что три плоскости х — 2у + z— 7 = 0, 2х + у — z + 2 = 0, х—3y+2z—11 = 0 имеют одну общую точку, и вычислить еe координаты.

937. Доказать, что три плоскости 7х + 4y + 7z + 1 = 0, 2х — у — 2 + 2 = 0, х + 2у + 32 — 1 = 0 проходят через одну прямую.

938. Доказать, что три плоскости 2х — у + 3z— 5 = 0, 3х + у + 2z — 1 = 0, 4х + 3у + z + 2 = 0 пересекаются по трём различным параллельным прямым.

939. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х — у + 3z — 1 = 0, х + 2у — z + b = 0, х + ау —6z + 10 = 0:

1) имеют одну общую точку;

2) проходят через одну прямую;

3) пересекаются по трём различным параллельным прямым.

Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

= cos 60о, где m = A/B.

Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m — 3 = 0, находим его корни m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y — 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р — координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 — координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y — 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
n = [n1, n2] = = (-2-3)i — (-10-2)j + (15-2)k = -5i+12j+13k. Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения двойных интегралов

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 = (z — 1)/13.

Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z — 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v) × 1 + ( -u + v) × 0 + (5u + 2v ) × 1 -3u + v =0, или v = — u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = — u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z — 3) — u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u ¹ 0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) × 1 + (v — u) × (-2) + (5u +2v) × 3 = 0, или v = — 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z — 3) — 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Пусть даны две прямые

с направляющими векторами и соответственно. При любом расположении прямых и в пространстве за угол между этими прямыми принимают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным, через какую-нибудь точку пространства. Один их этих смежных углов равен углу между их направляющими векторами и данных прямых. Тогда

. (3.26)
Второй угол равен .

Параллельность (перпендикулярность) двух прямых и означает, очевидно, коллинеарность (ортогональность) их направляющих векторов. Поэтому

, (3.27)

. (3.28)

В заключение найдем расстояние d от точки до прямой L: в пространстве. Искомое расстояние d является высотой параллелограмма, построенного на векторах и (рис.4.4). Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения, то

. (3.29)

Пример 1. Найти область определения функции

.

 Область определения функции находим из решения следующей системы неравенств:

Таким образом, . 

Иногда функция задается с помощью нескольких формул, например,

(4.3)

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислять при любых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.

2) Табличный способ. При этом способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Так, хорошо известны, например, таблицы функций , , , , , и многие другие. Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет месторасположение поезда в отдельные моменты времени. Таблицы могут составляться также по значениям и , полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений.

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

3) Графический способ. Этот способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически – это значит построить ее график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине элекрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции называется множество точек плоскости с координатами , абсциссы которых – числа из области определения функции, а ординаты – соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси , пересекает ее не более чем в одной точке.

Пример 2. График параболы, заданной уравнением , не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси , пересекает его в двух точках при всех значениях , кроме (рис. 12.1). Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции служит верхняя половина параболы, графиком функции – ее нижняя половина. Обе функции определены при .

График функции (12.3) имеет вид, изображенный на рис. 12.2.

4) Словесный способ. При этом способе функция может быть задана с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу число 1, числу 0 – число 0, а каждому – число . В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и принимающую три значения: 1, 0 и . Эта функция имеет специальное обозначение (signum – по латыни обозначает “знак”) и, конечно, может быть записана с помощью нескольких формул:

Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число 0. Полученная функция называется функцией Дирихле

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Функция называется явной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит , например, функция .

Функция называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Это название отражает только способ задания функции, а не характер функциональной зависимости. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции и могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения .

Сложная функция. Если функция зависит от переменной , т.е. , а , в свою очередь, является функцией от переменной , т.е. , с областью значений , то переменная называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции) от и записывается в виде .

Из определения следует, что сложная функция может быть представлена в виде цепочки простых функций: , . Переменную принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной . Очевидно, что цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев. Например, функция состоит из трех звеньев: , , .