2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?
Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:
Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор! Любите его. И уважайте 🙂
Задача 67
Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.
Решение: используем формулу:
Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:
1) На первом шаге «снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).
2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :
– верное равенство.
После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Из найденного уравнения «вытаскиваем» направляющий вектор прямой:
Ответ:
На чертеже ситуация выглядит следующим образом:
В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:
Задача 68
Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.
Следующие параграфы посвящены менее распространённым, но тоже важным видам уравнений:
Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.
Нормальное уравнение прямой – описание и пример
Рассмотрим выведение нормального уравнения.
Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.
Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .
O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .
Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p
Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y
Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.
Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.
Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.
Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .
Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду
Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.
Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.
Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.
Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.
Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:
1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5
Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.
Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
Нормальное уравнение плоскости
В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0, | (1) |
где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).
Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.
Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:
n=<cosα, cosβ, cosγ>. | (2) |
Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.
(3) |
Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:
, | (4) |
где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .
Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:
. | (5) |
Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, , мы получим:
. | (6) |
Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:
xcosα+ycosβ+zcosγ=r, |
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0. | (7) |
Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .
Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.
Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:
. | (7) |
Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.
Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:
Определим длину вектора n:
Ответ: Длина вектора n равна 1, , следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а − это расстояние плоскости от начала координат.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Ax+By+Cz+D=0. | (8) |
Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи «Общее уравнение плоскости»), то существует такое число t, что
tA=cosα, tB=cosβ, tC=cosγ, tD=−r. | (9) |
Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:
(tA) 2 +(tB) 2 +(tС) 2 =cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1. | (10) |
Упростим выражение и найдем t:
t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2 )=1, |
. | (11) |
Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).
Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.
Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .
Пример 2. Задано общее уравнение плоскости
2x−3y+6z+4=0. | (12) |
Построить нормальное уравнение плоскости (12).
Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):
. |
Так как D>0, то знак t отрицательный:
. |
Умножим уравнение (12) на t:
. |
Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:
. |
Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnoe-normirovannoe-uravnenie-prjamoj/
http://matworld.ru/analytic-geometry/normalnoe-uravnenie-ploskosti.php