Составить уравнение прямой касающейся эллипса в точке

Задача 61549 . Прямая l касается эллипса, фокусы.

Условие

. Прямая l касается эллипса, фокусы которого расположены в точках F1,
F2. Составить каноническое уравнение этого эллипса и найти его l : x + 2y + 4 = 0, F1 = (−1, 0), F2 (1, 0).

Решение

Так как даны координаты фокусов и фокусы симметричны относительно начала координат, то
каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Пусть M — точка касания прямой х+2у+4=0 и эллипса

Эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат.

Значит , точка М лежит и на прямой перпендикулярной данной

Запишем уравнение данной прямой как уравнение прямой с угловым коэффициентом

Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат

ее уравнение: [b]y=2x[/b]

Найдем координаты точки M как точки пересечения двух прямых:

M(-0,8; -1,6) подставляем координаты в уравнение эллипса

b^2=

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>+\frac>>=1\label
$$
при условии \(a \geq b > 0\).

Из уравнения \eqref следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты \((a, 0)\), \((-a, 0)\), \((0, b)\) и \((0, -b)\), называются вершинами эллипса. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты \((x, y)\) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты \((-x, y)\), \((x, -y)\) и \((-x, -y)\) точек \(M_<1>\), \(M_<2>\) и \(M_<3>\) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^<2>+y^<2>=a^<2>\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a\).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что \(\varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-\varepsilon x,\ r_<2>=|F_<2>M|=a+\varepsilon x.\label
$$

Очевидно, что \(r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>\). Подставим сюда выражение для \(y^<2>\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-\fracx^<2>>>.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+\fracx^<2>>>=(a-\varepsilon x)^<2>.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.\label
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref, то есть
$$
\sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=a\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref. Мы придем к \(b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>\), равносильному уравнению эллипса \eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — точка на эллипсе и \(y_ <0>\neq 0\). Через \(M_<0>\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_ <0>> 0\) это график \(f_<1>(x)=b\sqrt<1-x^<2>/a^<2>>\), для \(y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

Оптическое свойство кривых второго порядка. Касательные к эллипсу и гиперболе

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Предположим для определенности, что точка М0 лежит в первой четверти, т. е. х0 > О, Уо > 0. Тогда часть эллипса, лежащую в первой четверти, можно описать уравнением Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Мо а так как точка (я0, уо) лежит на эллипсе, то Пусть mq(xо, уо) — точка эллипса и, значит, Полученное соотношение после несложных преобразований можно записать так: Отсюда с учетом тождества приходим к уравнению.

Оптическое свойство кривых второго порядка Касательные к эллипсу и гиперболе Касательные к параболе Оптическое свойство эллипса Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы классификация кривых второго порядка Многочлены второй степени на плоскости Канонические уравнения кривых второго порядка (рис. 28). Полученное соотношение является уравнением касательной к эллипсу, проходящей через его точку (я0, Уо), и в обшем случае ее произвольного расположения, т.е. прилюбыхзнаках яо и у0. .

Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следующий вид Подчеркнем, что точка (xq, Уо) лежит на гиперболе. Если кривая задана уравнением то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (х0,у0), где уо = f(xо), можно записать в следующем виде Касательные к параболе Если кривая задана уравнением то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хо,2/о)> ГДе х0 = д(уо), можно записать в следующем виде Пусть Л/о(х0, уо) — точка параболы.

Пользуясь формулой (I), получаем уравнение касательной к параболе Отсюда в силу равенства yl = 2рх0 приходим к уравнению касательной вида Замечание. Сопоставляя канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы с уравнениями касательных к этим кривым, нетрудно заметить, чтодля получения последних не требуется специальных вычислений.

В самом деле, заменяя у2 на 3/3/0» а х2 на xxq (в случае параболы 2х нужно заменить на х + хо). приходим к уравнению соответствующей касательной. Еше раз отметим, что сказанное справедливо лишь в том случае, когда точка (го. Уо) лежит на кривой. 6.3. Оптическое свойство эллипса Пусть Мо — произвольная точка эллипса Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов F„ и Fn — фокальные радиусы — равны соответственно.

Проведем через точку А/0 касательную к эллипсу, и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы Fn(

c, 0) и Fn(c, 0) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10) из §11.1). Имеем соответственно или — нормирующий м ножитель (рис. 29). Нетрудно проверить,что В самом деле, Обратившись к рис.29, заметим, что вычисленные отношения равны синусам углов, образованных касательной и фокальными радиусами точки касания.

Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равенство и самих углов. Тем самым доказано оптическое свойство эллипса: касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания. Это свойство называется оптическим по следующей причине: если поместить в один из фокусов эллипса с зеркальной «поверхностью» точечный источник Рис.29 света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его фокусе (рис. 30).

Оптическое свойство гиперболы Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем. Если поместить водин из фокусов гиперболы точечный источниксвета,то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим из другого фокуса (рис. 31). Оптическое свойство параболы Если в фокус параболы помешен точечный источник света, то все лучи, отраженные от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы (рис.32).

Многочлены второй степени на плоскости Теорема. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху и пусть Оптическое свойство кривых второго порядка Касательные к эллипсу и гиперболе Касательные к параболе Оптическое свойство эллипса Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы классификация кривых второго порядка Многочлены второй степени на плоскости Канонические уравнения кривых второго порядка — многочлен второй степени от переменных х и у.

Тогда на плоскости можно построить прямоугольную дека ртов у систему координат O’XY так, что после замены переменных х и у на переменные X uY исходный многочлен f(x, у) приведется к многочлену F(X, Y) одного из следующих трех видов: шаг. Поворотом координатных осей на подходящим образом выбранный угол всегда можно добиться того, чтобы коэффициент при произведении разноименных координат обратился в нуль. Пусть 6^0 (при этот шаг не нужен).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Повернем оси координат вокругточки О. Эта операция описывается следующими формулами Рис.33 При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол ^ (рис.33). Заменим переменные х и у в формуле (I) их выражениями (2) через и вычислим коэффициент 2b при произведении Он равен и обращается в нуль, если Так как полученное уравнение разрешимо относительно , то указанным преобразованием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента.

Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный многочлен /(я, у) уже имеет вид где а2 + с2 >0.

Для определенности положим с Ф 0 (это не ограничивает общности наших рассуждений, так как заменой я и у в случае необходимости этого всегда можно добиться). 2-й шаг. Переносом начала координат можно достичьдальнейшего упрощения вида м ногочле-на f(x, у). Эта операция описывается следующими формулами: координатные оси новой системы получаются из координатных осей исходной системы Оху параллельным переносом в точку (-а, -р) (рис.34). Укажем конкретные значения а и р. Возможны три случая Тогда, полагая Рис. 34 О) е получаем глс .

Домножснием обеих частей уравнения из п. I на -1 и заменой X на У, а У на в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы Полагая получим гиперболу Полагая получим — пару пересекающихся прямых: Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса. Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением лары пересекающихся прямых.

Всегда можно добиться того, чтобы В D (заменив, в случае необходимости, X на -X). Полагая получим параболу . Можно считать, что В 0. 1. Е Полагая получим — пару параллельных прямых. 2. Е > 0. Полагая получим На действительной плоскости нет ни одной точки, координаты которой обращали бы это уравнение (пары мнимых пара>1лелыыхпрямых) в тождество. 3. Е = 0. Тогда — пара совпадающих прямых. Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все указанные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных из коэффициентов уравнения.

порядка Касательные к эллипсу и гиперболе Касательные к параболе Оптическое свойство эллипса Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы классификация кривых второго порядка Многочлены второй степени на плоскости Канонические уравнения кривых второго порядка уравнение линии второго порядка. Введем следующие обозначения Числа D и Д не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инвариантами.

Из приводимой таблицы видно, какому сочетанию знаков определителей D и Д соответствует та или иная линия второго порядка. Задача. Убедитесь в том, что d и Д при рассмотренных преобразованиях системы координат действительно остаются неизменными. ^ Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары параллельных Эллипс Мнимый эллипс Пара мнимых пересекающихся прямых Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых Пара мнимых параллельных прямых Парасовпадаюших прямых

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.