аписать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2;8) и середину отрезка MN, где М (6; -5), N (-2; 1), используя каноническое уравнение.
Координаты середины векторов вычисляются по формуле:
— где C — координата середины, К — конца, Н — начала:
Пусть середина MN — С, тогда:
Данные точки лежат на одной прямой. Через систему уравнений найдём коэффициенты k и b данной прямой y=kx+b, подставив в неё координаты точек:
8 = -2k+b 8 = -2k-2-2k 4k =-10 k = -2,5
-2 = 2k+b b = -2-2k b =-2-2k b = 3
Для полученной прямой y = -2,5x+3 приведём уравнение:
2. Найти пределы:
а) б)
а) = = =
= = = 2
б) =
Разделим числитель и знаменатель на х 3
= =
Сделаем замену: u=1/x
= = = —
3. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) .
а) = — + = — + 3x + C
б) = 8 = 8 ln x + C
в) = + = +
Тогда пусть du=5dx и подставим dx=du/5:
+ = + = + sin(u)+C= + sin(5x)+C
4. Исследовать функцию и построить график: у = 3х 3 – х
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3х 3 – х.
3⋅ 0 3 − 0=0
Точки пересечения с осью координат X
График пересекает ось X, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в y=3x 3 — x.
3 x 3 −x =0
x2=
x3=-
Точки: (0, 0); ( ,0); ( — ,0).
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
f ′(x)=0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
f ′(x)=( 3 x 3 −x)′ = 9x 2 – 1
9x 2 – 1 = 0
Решаем это уравнение, получаем:
x1=− ;
x2= .
Значит экстремумы в точках: (− ; ); ( ; — )
Интервалы возрастания и убывания функции.
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке x1= ;
Максимум функции в точке x2=− .
Убывает на промежутках ( — ∞; − ] U [∞; )
Возрастает на промежутке [− ; ]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
f ′′(x)=0 (вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
f ′′(x)= (3 x 3 −x)′′= (9x 2 – 1)′ = 18x
Решаем это уравнение, получаем:
Интервалы выпуклости и вогнутости.
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, ∞)
Выпуклая на промежутках
(-∞, 0]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x→∞ и x→ — ∞
(3x 3 -x)= — ∞ значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует.
(3x 3 -x)= ∞ значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3x 3 -x, делённой на x при x→∞ и x→ — ∞
= ∞ значит,
наклонной асимптоты слева не существует.
= ∞ значит,
наклонной асимптоты справа не существует.
Чётность и нечётность функции
Проверим чётность и нечётность функции с помощью соотношений
f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
3x 3 -x = -3x 3 +x Нет
3x 3 -x = -(-3x 3 +x) Нет
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
5.Решить дифференциальное уравнение:
у(0)=5
Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:
или
Интегрируя обе части, получаем:
Тогда решением дифференциального уравнения будет
Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач
Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.
Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры
Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .
Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.
Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.
Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.
На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.
Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Решение
Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.
Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках
Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.
Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .
В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .
Разберем следующий пример.
Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .
Решение
Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Мы получили уравнение прямой в отрезках.
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1
В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.
Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .
x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0
Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.
Решение
Действует по заранее описанному алгоритму:
x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Даны точки A(2,-3) и B(3,-5).Через середину отрезка AB провести прямую, перпендикулярную отрезку AB
Тему в универе ещё не проходили, попросила помочь знакомая. Отказывать некрасиво, а как решить не знаю. Очень прошу помочь.
Вектор АВ = (3-2; -5+3) = (1; -2). Этот вектор является вектором нормали прямой. Пусть срединой отрезка АВ является точка О. Ее координаты О (2,5; -4). Уравнение прямой по точке и нормали: 1*(х — 2,5) — 2*(у + 4) =0. Отсюда уравнение прямой в общем виде: х — 2у — 10,5=0
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-v-otrezkah/
http://sprashivalka.com/tqa/q/28261865