Составить уравнение прямой проходящей через середины хорд эллипса

Составить уравнение прямой проходящей через середины хорд эллипса

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Составить уравнение прямой проходящей через середины хорд эллипса

Таким образом, координаты ( X, Y) точки M₁ удовлетворяют уравнению эллипса, и множество точек M₁ представляет собой эллипс. Иными словами, кривая, получаемая из окружности сжатием к одному из ее диаметров, есть эллипс, для которого данная окружность является описанной.

Установленное свойство эллипса позволяет легко строить эллипс по точкам, если известна окружность, из которой он получается сжатием. Из точки M окружности радиуса a опускаем на диаметр перпендикуляр и находим на нем такую точку M₁, что h₁ : h = b : a. Тогда точка M₁ принадлежит эллипсу с полуосями a и b.

При сжатии к прямой три точки, принадлежащие одной прямой, переходят в три точки, также принадлежащие одной прямой; другими словами, прямая переходит при этом преобразовании снова в прямую. Из этого свойства и свойства взаимной однозначности преобразования сжатия к прямой вытекает, что касательная к окружности при сжатии переходит в касательную к эллипсу в соответствующей точке. Если из некоторой точки N₁ мы хотим провести к эллипсу касательную, поступим следующим образом: построим точку N, получаемую из N₁ преобразованием сжатия с осью x (большая ось эллипса) и коэффициентом , затем из точки N проведем к описанной окружности эллипса касательную t и, наконец, подвергнем ее сжатию с коэффициентом k (см. Рис. 19). Полученная прямая t₁ является касательной к эллипсу. Поэтому из точки N₁ можно к эллипсу провести не более двух касательных (так как не более двух касательных можно провести из точки N к описанной окружности). Внешние точки по отношению к окружности переходят при сжатии во внешние точки эллипса и наоборот; следовательно, из внешней точки эллипса можно провести к эллипсу две касательные.

При сжатии к прямой точке пересечения двух прямых соответствует точка пересечения преобразованных прямых; поэтому параллельные прямые преобразуются в параллельные. Кроме того, отношение двух параллельных отрезков равно отношению преобразованных отрезков; в частности, отрезок и его середина переходят при сжатии к прямой в отрезок и его середину. Но середины параллельных хорд окружности расположены на одной прямой — на диаметре окружности; поэтому середины параллельных хорд эллипса также принадлежат одной прямой — диаметру эллипса (см. Рис. 20). Очевидно, что диаметр эллипса проходит через его центр и касательные в концах отрезка диаметра параллельны хордам, которые делятся этим диаметром пополам.

05.4. Задачи и размышления

Задачи и размышления

Знакомство со свойствами эллипса, гиперболы и параболы вызывает желание изучить способы построения этих кривых. Рассмотрим некоторые из таких способов.

1. Эллипс можно построить с помощью нити длиной 2а, закрепленной концами в фокусах (рис. 5.20). Очевидно, что длина нити останется неизменной, а фокусы фиксированы. Перемещая нить в натянутом состоянии, получим эллипс.

Рис. 5.20. Построение эллипса с помощью нити,
закрепленной в его фокусах.

Этот способ не всегда может быть удобен на практике. Дадим другой вариант построения эллипса, также вытекающий из его определения.

2. Пусть известно полуфокусное расстояние эллипса C и его большая полуось а.

Располагая фокусы F1 и F2 на расстоянии 2с, проводим дуги окружностей радиусами И поочередно из первого и второго фокусов, выбирая их так, чтобы

Точки пересечения окружностей будут лежать на эллипсе.

При этом допустимые значения и должны удовлетворять условиям:

Откуда следуют эти ограничения?

Меняя и В допустимых границах и строя соответствующие пары окружностей, в их пересечении будем получать точки, принадлежащие искомому эллипсу. Попарные значения и удобно выбрать, используя отрезок длиной 2а (рис. 5.21).

Рис. 5.21. Выбор допустимых значений модулей
фокальных радиусов.

Вершины эллипса, лежащие на малой оси, найдутся при пересечений дуг окружностей c радиусами , проведенных из фокусов и , как из центров.

Рис. 5.22. Построение эллипса по опорным точкам,
получаемым с помощью циркуля.

Для нахождения вершин эллипса, расположенных на большой оси, проводим дуги окружности радиуса a + c из фокусов F1 и F2, как из центров, до пересечения с этой осью.

Докажите, что полученная кривая – эллипс.

3. Рассмотрим еще один способ отыскания точек, принадлежащих эллипсу, с помощью построений, выполняемых линейкой. Построим прямоугольник АBСD, большая сторона которого AD равна 2а – длине большой оси эллипса, а длина меньшей стороны АВ равна 2b – его малой оси (рис. 5.23). Стороны АВ и ВС делим на одинаковое число равных частей. Точки деления соединяем с точками А и D. Выделенные на рисунке точки пересечения лежат на дуге эллипса.

Докажите этот факт.

Рис. 5.23. Построение эллипса по опорным точкам
с помощью линейки.

Подобным способом можно построить параболу (рис. 5.24).

Рис. 5.24. Построение параболы по опорным точкам
с помощью линейки.

Обоснуйте этот способ. Каким будет каноническое уравнение эллипса при известной длине отрезков AB и BC?

4. Рассмотрим один из возможных способов построения гиперболы. Будем считать известными расстояние 2с между фокусами F1 и F2 и разность модулей фокальных радиусов , где 2A – длина ее действительной оси.

Поместим в фокус F1 конец линейки (рис. 5.25), к другому концу которой в точке А прикреплен шнур, длина которого меньше длины линейки на 2а. Другой конец шнура закреплен в фокусе F2.

Рис. 5.25. Построение гиперболы с помощью натянутого шнура и линейки.

При вращении линейки вокруг фокуса F1 натянутый нитью острый конец карандаша (точка М) опишет некоторую кривую.

Для любой точки М на этой кривой будет справедливо:

Что соответствует свойствам гиперболической кривой. Мы получили правую ветвь гиперболы. Аналогично строится ее левая часть.

5. Придумайте новые способы построения эллипса, гиперболы, параболы и обоснуйте их.

Известные понятия диаметра окружности и ее хорды можно обобщить на эллипс, гиперболу и параболу.

Диаметром эллипса (гиперболы) называется любая прямая, проходящая через центр кривой. Диаметром параболы назовем любую прямую, параллельную ее оси, включая и саму ось.

Всякая прямая может пересекать коническое сечение не более чем в двух точках. Если точек пересечения две, то отрезок прямой с концами в точках пересечения называется хордой.

У рассматриваемых кривых обнаруживается одно неожиданное свойство: Середины параллельных хорд конических сечений лежат на их диаметре (рис. 5.26).

Рис. 5.26. Расположение середин параллельных хорд конических сечений.

Для доказательства этого свойства рассмотрим сначала эллипс и гиперболу. Оно очевидно, когда хорды перпендикулярны вертикальной оси симметрии этих кривых. Возможны другие случаи. Пусть семейство параллельных хорд задается уравнением:

Меняя b, мы будем получать параллельные прямые. Уравнения эллипса и гиперболы можно объединить следующей записью:

Координаты концов хорд должны удовлетворять следующей системе уравнений:

Подставляя из второго уравнения этой системы выражение для координаты у в первое, получим:

По теореме Виета легко найти

Полусумма решений и будет являться абсциссой хc середины хорды:

Используя уравнение хорды, находим ординату ее середины:

Таким образом, середины параллельных хорд лежат на прямой

Проходящей через центр эллипса или гиперболы, то есть являющейся диаметром кривой. Угловой коэффициент этого диаметра

Он называется сопряженным по отношению к диаметру , параллельному хордам.

Интересно, что свойство сопряженности диаметров взаимно. Так, угловой коэффициент диаметра, сопряженного диаметру

,

Рассмотрим теперь параллельные хорды параболы

При разных значениях b. Их концы должны удовлетворять системе:

Выполняем очевидные преобразования аналогично предыдущему:

Это означает, что середина хорды имеет ординату

Таким образом, геометрическое место середин хорд параболы – прямая, параллельная оси 0х, то есть диаметр параболы.

6. Дано семейство параллельных прямых,

На которых располагаются параллельные хорды эллипсов:

Всегда ли они будут иметь один и тот же сопряженный диаметр?

7. Дана парабола х = 2у2, ее диаметр и семейство параллельных хорд, образующих с осью 0х угол j= 0,2. Найти длину хорды, пересекающей ось абсцисс в точке х = 2.

8. Хорда эллипса

Наклонена под углом j к оси 0х и имеет длину l. Найдите координаты ее концов. Исследуйте решение.

Вписаны треугольники АВL и СDL так, что стороны АВ=l и СD=m расположены параллельно, а медианы КL и МL лежат на одной прямой. Найти длины медиан. Доказать, что прямая МL пройдет через начало координат. Исследовать решение задачи в зависимости от входящих в него параметров.

10. Дан параллелограмм со сторонами a и b, угол между которыми j. Построить несколько эллипсов, которые могут быть описаны около этого параллелограмма, и найти их уравнения.

11. Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса равна сумме квадратов его полуосей.

12. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, равна площади прямоугольника, построенного на полуосях эллипса.

13. По изображению эллипса найти с помощью циркуля и линейки его центр.

14. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную точку с концами любого диаметра, параллельны паре его сопряженных диаметров.

15. Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами на асимптотах, считая от центра гиперболы, равны действительной полуоси. Пользуясь этим свойством, построить директрисы гиперболы.

Рассмотрим параметрические уравнения эллипса. В связи с этим обратимся к задаче.

Пусть точка М делит отрезок АВ на части a и b. Его концы скользят по сторонам прямого угла. Какую траекторию опишет при этом точка М?

Для решения задачи введем прямоугольную декартовую систему координат, расположив ее начало в вершине угла, а оси координат – по направлению сторон прямого угла (рис.5.27). Пусть точка М имеет координаты х и у, а угол , который образован отрезком AB с отрицательной ориентацией оси Ох, равен t радиан.

Рис. 5.27. Вывод параметрических уравнений эллипса

При перемещении концов отрезка А и В по координатным осям (во всех четырех координатных углах) точка М(х, у) опишет кривую, параметрические уравнения которой легко находится:

.

Этой кривой является эллипс, в чем можно убедиться, исключая параметр t. Действительно,

.

16. Найдите параметрические уравнения гиперболы и параболы.

17. Точка М, брошенная под углом к горизонту с начальной скоростью (рис.5.28а), если пренебречь сопротивлением воздуха, движется согласно уравнениям:

Где g — ускорение силы тяжести. На возвышенности, образующей с горизонтом угол , располагается перпендикулярно ей стержень высоты h.

Расстояние от подножья возвышенности до точки М равно l, а до основания стержня – d.

При каких углах точка М сможет перелететь через стержень?

Исследуйте допустимые углы перелета точки М через квадрат, установленный на возвышении вместо стержня (рис.5.28б).

Рис. 5.28. Траектория точки М, преодолевающей препятствия.

18. На рис.5.29 указаны проекции стойки. Ее основание ограничено дугами эллипса. Для крепления стойки к поверхности предполагается просверлить отверстия в тех ее точках, которые соответствуют фокусам эллипса. Используя чертеж детали, опишите аналитически этот эллипс, вычислите его фокусы, укажите на чертеже точки для сверления отверстий и вычислите расстояние от этих точек до наиболее удаленных точек стойки.

19. Верхний слой воды в наклоненном цилиндрическом стакане имеет форму эллипса (рис.5.30). Докажите этот факт и найдите полуоси эллипса, если радиус цилиндра R, а угол наклона .

Рис. 5.30. Верхний слой воды в наклоненном стакане.

20. Найдите траекторию точки, которая во все время движения остается вдвое ближе от заданной прямой, чем от заданной точки.

21. Найдите траекторию точки, для которой во все время движения произведение расстояний до двух данных пересекающихся прямых есть величина постоянная.

На основании первого закона Кеплера Земля движется вокруг Солнца по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой расположено наше светило. Найдем скорость Земли в точке наибольшего удаления планеты от Солнца, если эксцентриситет орбиты e=0,0167; большая полуось a=149504000 км; масса Солнца mc=1,97×1030 кг (рис. 5.31).

Рис. 5.31. Орбита вращения Земли вокруг Солнца

Движение Земли в поле гравитации подчиняется закону сохранения энергии, согласно которому во всякой точке орбиты ее полная механическая энергия остается постоянной. Пусть и – радиус-векторы, определяющие, соответственно, наиболее и наименее удаленное положение Земли на орбите вокруг Солнца. Если

,

Есть кинетическая энергия Земли в точках A и B орбиты соответственно, где m3 – ее масса, и равенства

;

Характеризуют ее потенциальную энергию в гравитационном поле Солнца в этих точках, где G=6,67×10-11 м3/кгс2 – гравитационная постоянная, то

.

;

.

.

Это уравнение содержит две неизвестные: и . Чтобы преодолеть возникшую трудность, воспользуемся вторым законом Кеплера, согласно которому, радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени зачерчивает одинаковые площади. Примем упрощенную гипотезу: за малые промежутки времени траекторию Земли можно считать прямолинейной. Тогда площади соответствующих секторов выразятся приближенно следующим образом:

;

И мы придем к соотношению:

,

Из которого находим связь между скоростями и :

.

Получаем следующее уравнение относительно неизвестной :

,

М/с.

Вот с какой скоростью мчится наша Земля в космическом пространстве. А ведь эта скорость минимальная. В точке В она будет еще выше.

22. Найдите наименьшую и наибольшую скорость Марса на орбите вокруг Солнца, используя соответствующие справочные данные.

Третий закон Кеплера гласит: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:

.

23. Используя этот результат, найдите большую полуось орбиты первого искусственного спутника Земли, который был запущен в 1957 году в СССР и имел период обращения 1 час 55 минут по эллиптической орбите, если период обращения Луны вокруг Земли равен 655,2 ч., большая полуось лунной орбиты составляет 382000 км и наименьшее удаление искусственного спутника от центра Земли – 6603 км. Радиус Земли принять равным 6378 км.

Интересно отметить, что скорость, которую необходимо сообщить искусственному спутнику вблизи поверхности Земли в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться в качестве спутника по круговой орбите радиуса R (рис.5.32), определяется формулой:

.

Принимая g=9,81 м/с2, , получим . Это значение скорости называется первой (1) космической скоростью.

Если скорость V1 будет стремиться к значению

,

Равного для Земли, , то орбита искусственного спутника станет эллиптической и, достигнув, величины V2, второй космической скорости – станет параболической.

При скорости, большей второй космической, спутник будет двигаться по гиперболе.

В последних двух случаях, спутник навсегда покинет Землю и удалится в межпланетное пространство.

Рис. 5.32. Зависимость формы орбиты искусственного спутника Земли от начальной скорости.

24. Между Землей и Луной пролетает космический аппарат так, что расстояния от него до поверхности Земли и до поверхности Луны постоянно остаются равными между собой. Составьте математическую модель, описывающую это движение. В каких условиях она допускает упрощения?

25. На самолетах и кораблях во время второй мировой войны действовала навигационная система, использовавшая разницу времени между моментами приема радиосигналов от двух пар станций, которые испускали их одновременно. Составьте математическую модель этой навигационной системы и оцените ее достоинства и недостатки.

В прожекторах, фарах автомобилей используется параболоид вращения, который получается при вращении параболы вокруг собственной оси: лучи, выходящие из источника света, помещенного в фокус, не рассеиваются, а, отразившись от стенок параболоида, идут параллельно этой оси. Используется и обратный эффект. «Тарелка» – так называется параболическая антенна для спутниковой связи, собирает в одну точку телевизионные сигналы, идущие из космоса. Фокальные свойства кривых второго порядка давали повод для мифотворчества. Очевидно, что в повести «Гиперболоид инженера Гарина» А. Толстой имел в виду все-таки параболоид.

Еще раньше зародилась легенда об Архимеде из Сиракуз, который сжег флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал.

26. Составьте технический проект такой «пушки», которая могла бы поражать противника на расстоянии 50-500 м. Попробуйте оценить ее поражающую мощь.

Вернемся к задаче Паппа, которая была поставлена в начале главы, как к одной из первых решенных Р. Декартом аналитическим методом. Дадим ее общую формулировку.

Даны 2n прямых, лежащих в одной плоскости. Найти геометрическое место точек в этой плоскости, таких, что произведение расстояний от каждой точки этого множества до первых n прямых d1×D2. . ×Dn и произведение расстояний от этих же точек до следующих n прямых dn+1×Dn+1×. ×D2n находились бы для всех точек в одном и том же постоянном отношении L:

Попытка решить ее для n=3 (рис. 5.33) была предпринята нами ранее. Рассмотрим общий случай. Введем систему координат, выбирая ее начало в произвольной точке плоскости и опишем положение заданных прямых соответствующими нормальными уравнениями:

Рис. 5.33. Задача Паппа при n=3.

Пусть – произвольная точка искомого геометрического места точек. Найдем расстояния от нее до данных прямых:

Это и есть уравнение искомой кривой относительно координат x’ и у’ ее точек. Оно будет иметь степень n, в частном случае, например, для четырех прямых 2n=4; n=2 мы получим уравнение второй степени. Такое уравнение, как это уже отмечалось на стр.180, определяет одно из конических сечений. Это весьма неожиданный результат.

27. Каковы возможные обобщения задачи Паппа?