Прямая в полярных координатах
Прямая в полярных координатах вне полюса
Для получения уравнения прямой в полярных координатах рассмотрим рисунок, на котором полюс лежит вне прямой.
Согласно этого рисунка прямую в полярных координатах можно представить следующим уравнением:
ρ, φ | полярные координаты, |
---|---|
P, α | Константы — полярные параметры прямой, |
P | Длина нормали опущенной из полюса на прямую, |
α | Угол между полярной осью и нормалью к прямой. |
Это уравнение получается если рассмотреть треугольник OKM и посмотреть определение косинуса
Прямая в полярных координатах проходящая через полюс
Однако когда P = 0, то прямая проходит через полюс и уравнение (1) больше не описывает прямую. Для описания прямой проходящей через полюс достаточно угла между прямой и полярной осью.
Полярное уравнение и параметры прямой
Прямая AB (рисунок ниже)
не проходящая через полюс, представляется в полярных координатах уравнением
p = OK и α = ∠XOK — полярные параметры прямой AB.
Полярным расстоянием прямой AB называется длина p перпендикуляра OK , проведённого к прямой из начала О . Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярным углом прямой AB называется угол α=∠XOK между лучами OX и OK (взятым в данном порядке).
Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой.
Если прямая представлена уравнением Ax+By+C=0 , то её полярное расстояние определяется по формуле
а полярный угол
где верхние знаки берутся, когда C>0 , а нижние – когда C ; если же С=0 , то произвольно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.
Пример 1
Найти полярные параметры прямой 4x-3y+5=0
Затем нужно взять верхние знаки, так как С=+1 , следовательно
Пример 2
Найти полярные параметры прямой 2x-y+9=0
Решение
p=0
Можно взять только верхние знаки, либо только нижние. В первом случае
Составить уравнение прямой в полярной системе координат
Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.
Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (см. рисунок).
Возьмем уравнение прямой в нормальном виде
Формулы перехода имеют вид
(1)
Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (1), получим , или , откуда , и окончательно .
В этом уравнении постоянными величинами являются p и , величины же r и — переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа).
http://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya-na-ploskosti/polyarnoe-uravnenie-i-parametry-pryamoj
http://www.pm298.ru/reshenie/ljwfd.php