Равновесие вала в теоретической механике
Равновесие вала:
Постановка Задачи. Горизонтальный вал может вращаться в цилиндрических шарнирах. К одному шкиву вала приложено нормальное давление и касательная сила сопротивления, пропорциональная давлению. На шкивы вала действуют известные нагрузки. Найти силу давления и реакции шарниров при условии равновесия вала.
1. Действие каждой из опор заменяем двумя взаимно перпендикулярными реакциями, лежащими в плоскости, перпендикулярной валу.
2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала. Момент силы натяжения ремня, нити и т.п. (наклонной или нет) вычисляем как произведение величины силы на соответствующий радиус со знаком, соответствующим направлению вращения вокруг вала. Уравнение содержит одну неизвестную, которую легко найти.
3. Определяем вертикальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия горизонтальных реакций шарниров. Решаем эти уравнения.
4. Проверяем найденные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на вертикаль.
5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров.
6. Проверяем горизонтальные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на ось вдоль линии действия горизонтальных реакций.
Задача:
Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 64). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0.1 N.
1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями (рис. 65). Вес вата приложим в центре. Вес груза изобразим вектором
2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вата:
Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось и их моменты относительно оси вала равны нулю.
Из полученного уравнения находим
По условию
3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А а В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость (рис. 66). Таким образом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.
Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрицательным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости (и поэтому не изображенных на рис. 66), относительно любой ее точки равны нулю.
находим
4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось (рис. 66):
5. Определяем горизонтальные реакции опор вата. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 67):
Решая уравнения, находим
6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакции:
Результаты расчетов в заносим в таблицу:
Рекомендую подробно изучить предмет: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Определение усилий в стержнях, поддерживающих плиту
- Тело на сферической и стержневых опорах
- Приведение системы сил к простейшему виду
- Плоское движение тела
- Задачи на вращательное движение тела
- Равновесие тяжелой рамы
- Расчет составной конструкции
- Момент силы относительно оси
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Особенность расчета валов
Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.
Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.
Примеры решения задач
Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса возникают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) Мх; Му; Mz.
Мх и Му — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx соответственно; Mz — крутящий момент. Проверить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, если [σ] = 120 МПа. Исходные данные: Мх = 0,9 кН • м; Му = 0,8 кН • м; Mz = 2,2 кН*м; d = 60 мм.
Решение
Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибающих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных напряжений от кручения (рис. 35.2).
Максимальное касательное напряжение возникает на поверхности. Максимальные нормальные напряжения от момента Мх возникают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента Му в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.
Суммарный изгибающий момент:
Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:
Момент сопротивления сечения: Woceвoe = 0,1 • 60 3 = 21600мм 3 .
Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы Ft1 = 1,2кН; Ft2 = 2кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости Fr1 = 0,43кН; Fr2 = 0,72кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d1 = 0,1м; d2 = 0,06 м.
Принять для материала вала [σ] = 50МПа.
Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = dвн / d).
Расчет провести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.
Решение
Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.
Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).
1. Крутящий момент на валу:
2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл. Н) и вертикальной (пл. V).
В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:
Определяем изгибающие моменты в точках С и В:
В вертикальной плоскости определяем реакции в опоре:
Определяем изгибающие моменты в точках С и В:
Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:
В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же действует и крутящий момент.
Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.
3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории прочности
4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности
Округляем полученную величину: d = 36 мм.
Примечание. При выборе диаметров вала пользоваться стандартным рядом диаметров (Приложение 2).
5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8, где d — наружный диаметр вала.
Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по формуле
Примем d = 42 мм.
Перегрузка незначительная. dBH = 0,8d = 0,8 • 42 = 33,6мм.
Округляем до значения dBH = 33 мм.
6. Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.
Площадь поперечного сечения сплошного вала
Площадь поперечного сечения полого вала
Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше вала кольцевого сечения:
Пример 3. Определить размеры поперечного сечения вала (рис. 2.70, а) привода управления. Усилие от тяги педали P3, усилия, передаваемые механизмом P1, Р2, Р4. Материал вала — сталь СтЗ с пределом текучести σт = 240 Н/мм 2 , требуемый коэффициент запаса [n] = 2,5. Расчет выполнить по гипотезе энергии формоизменения.
Решение
Рассмотрим равновесие вала, предварительно приведя силы Р1, Р2, Р3, Р4 к точкам, лежащим на его оси.
Перенося силы Р1 параллельно самим себе в точки К и E, надо добавить пары сил с моментами, равными моментам сил Р1 относительно точек К и Е, т. е.
Эти пары сил (моменты) условно показаны на рис. 2.70, б в виде дугообразных линий со стрелками. Аналогично при переносе сил Р2, Р3, Р4 в точки K, E, L, Н надо добавить пары сил с моментами
Опоры вала, изображенного на рис. 2.70, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие перемещениям в направлении осей х и у (выбранная система координат показана на рис. 2.70, б).
Пользуясь расчетной схемой, изображенной на рис. 2.70, в, составим уравнения равновесия:
Составим проверочное уравнение:
следовательно, опорные реакции НА и НВ определены верно.
Эпюры крутящих моментов Мz и изгибающих моментов Му представлены на рис. 2.70, г. Опасным является сечение слева от точки L.
Условие прочности имеет вид:
где эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения
Требуемый наружный диаметр вала
Принимаем d = 45 мм, тогда d0 = 0,8 * 45=36 мм.
Пример 4. Проверить прочность промежуточного вала (рис. 2.71) цилиндрического прямозубого редуктора, если вал передает мощность N = 12,2 кВт при частоте вращения п = 355 об/мин. Вал изготовлен из стали Ст5 с пределом текучести σт = 280 Н/мм 2 . Требуемый коэффициент запаса [n] = 4. При расчете применить гипотезу наибольших касательных напряжений.
Указание. Окружные усилия Р1 и Р2 лежат в горизонтальной плоскости и направлены по касательным к окружностям зубчатых колес. Радиальные усилия T1 и Т2 лежат в вертикальной плоскости и выражаются через соответствующее окружное усилие следующим образом: T = 0,364Р.
Решение
На рис. 2.71, а представлен схематический чертеж вала; на рис. 2.71, б показана схема вала и усилия, возникающие в зубчатом зацеплении.
Определим момент, передаваемый валом:
Очевидно, m = m1 = m2 (скручивающие моменты, приложенные к валу, при равномерном вращении равны по величине и противоположны по направлению).
Определим усилия, действующие на зубчатые колеса.
Рассмотрим равновесие вала АВ, предварительно приведя силы Р1 и Р2 к точкам, лежащим на оси вала.
Перенося силу Р1 параллельно самой себе в точку L, надо добавить пару сил с моментом, равным моменту силы Р1 относительно точки L, т. е.
Эта пара сил (момент) условно показана на рис. 2.71, в в виде дугообразной линии со стрелкой. Аналогично при переносе силы Р2 в точку К надо присоединить (добавить) пару сил с моментом
Опоры вала, изображенного на рис. 2.71, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемещениям в направлениях осей х и у (выбранная система координат показана на рис, 2.71, б).
Пользуясь расчетной схемой, изображенной на рис. 2.71, г, составим уравнения равновесия вала в вертикальной плоскости:
Составим проверочное уравнение:
следовательно, опорные реакции в вертикальной плоскости определены верно.
Рассмотрим равновесие вала в горизонтальной плоскости:
Составим проверочное уравнение:
следовательно, опорные реакции в горизонтальной плоскости определены верно.
Эпюры крутящих моментов Мz и изгибающих моментов Мх и Му представлены на рис. 2.71, д.
Опасным является сечение К (см. рис. 2.71, г, д). Эквивалентный момент по гипотезе наибольших касательных напряжений
Эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напряжений для опасной точки вала
что значительно больше [n] = 4, следовательно, прочность вала обеспечена.
При расчете вала на прочность не учтено изменение напряжений во времени, поэтому и получился такой значительный коэффициент запаса.
Пример 5. Определить размеры поперечного сечения бруса (рис. 2.72, а). Материал бруса — сталь 30XГС с условными пределами текучести при растяжении и сжатии σо ,2р = σтр = 850 Н/мм 2 , σ0,2c = σTc = 965 Н/мм 2 . Коэффициент запаса [n] = 1,6.
Решение
Брус работает на совместное действие растяжения (сжатия) и кручения. При таком нагружении в поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и крутящий момент.
Эпюры продольных сил N и крутящих моментов Mz показаны на рис. 2.72, б, в. В данном случае определить положение опасного сечения по эпюрам N и Mz невозможно, так как размеры поперечных сечений участков бруса различны. Для выяснения положения опасного сечения следует построить эпюры нормальных и максимальных касательных напряжений по длине бруса.
вычисляем нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса и строим эпюру о (рис. 2.72, г).
вычисляем максимальные касательные напряжения в поперечных сечениях бруса и строим эпюру ттах (рис* 2.72, д).
Вероятно, опасными являются точки контура поперечных сечений участков АВ и CD (см. рис. 2.72, а).
На рис. 2.72, e показаны эпюры σ и τ для поперечных сечений участка АВ.
Напомним, в данном случае (брус круглого поперечного сечения работает на совместное действие растяжения — сжатия и кручения) равноопасными являются все точки контура поперечного сечения.
На рис. 2.72, ж показаны напряжения на исходных площадках в опасной точке.
Главные напряжения в опасной точке участка АВ:
По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для опасной точки этого участка
На рис. 2.72, з показаны эпюры а и т для поперечных сечений участка CD.
На рис. 2.72, и показаны напряжения на исходных площадках в опасной точке.
Главные напряжения в опасной точке участка CD:
По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для опасной точки рассматриваемого участка
Опасными оказались точки контура поперечных сечений участка АВ.
Условие прочности имеет вид:
Пример 2.76. Определить допускаемое значение силы Р из условия прочности стержня ВС (рис.2.73).Материал стержня — чугун с пределом прочности при растяжении σвр = 150 Н/мм 2 и пределом прочности при сжатии σвс = 450 Н/мм 2 . Требуемый коэффициент запаса [n] = 5.
Указание. Ломаный брус АBС расположен в горизонтальной плоскости, причем стержень AВ перпендикулярен к ВС. Силы Р, 2Р, 8Р лежат в вертикальной плоскости; силы 0,5 Р, 1,6 Р — в горизонтальной и перпендикулярны стержню ВС; силы 10Р, 16Р совпада ют с осью стержня ВС; пара сил с моментом m = 25Pd расположена в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси стержня ВС.
Решение
Приведем силы Р и 0,5Р к центру тяжести поперечного сечения В.
Перенося силу Р параллельно самой себе в точку В, надо добавить пару сил с моментом, равным моменту силы Р относительно точки В, т. е. пару с моментом m1 = 10 Pd.
Силу 0,5Р переносим вдоль ее линии действия в точку В.
Нагрузки, действующие на стержень ВС, показаны на рис. 2.74, а.
Строим эпюры внутренних силовых факторов для стержня ВС. При указанном нагружении стержня в его поперечных сечениях их возникает шесть: продольная сила N, поперечные силы Qx и Qy, крутящий момент Mz изгибающие моменты Мх и Му.
Эпюры N, Мz, Мх, Му представлены на рис. 2.74, б (ординаты эпюр выражены через Р и d).
Эпюры Qy и Qx не строим, так как касательные напряжения, соответствующие поперечным силам, имеют малую величину.
В рассматриваемом примере положение опасного сечения не очевидно, Предположительно, опасны сечения К (конец участка I) и С.
Определим величину и плоскость действия изгибающего момента Ми в сечении К, изображённом отдельно на рис. 2.74, в. На этом же рисунке показаны эпюры σИ, σN, τ для сечения К.
Опасной является точка L. Напряжения на исходных площадках в точке L (рис. 2.74, г):
Главные напряжения в точке L:
По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для точки L
Определим величину и плоскость действия изгибающего момента Ми в сечении С, изображенном отдельно на рис. 2.74, д. На этом же рисунке показаны эпюры σИ, σN, τ для сечения С.
Напряжения на исходных площадках в точке Н (рис. 2.74, е)
Главные напряжения в точке Н:
По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для точки Н
Напряжения на исходных площадках в точке Е (рис. 2.74, ж):
Главные напряжения в точке Е:
По гипотезе прочности Мора эквивалентное напряжение для точки Е
Опасной оказалась точка L, для которой
Условие прочности имеет вид:
Контрольные вопросы и задания
1. Какое напряженное состояние возникает в поперечном сечении вала при совместном действии изгиба и кручения?
2. Напишите условие прочности для расчета вала.
3. Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и гипотезе энергии формоизменения.
4. Как выбирается опасное сечение при расчете вала?
iSopromat.ru
Пример решения задачи по расчету уравновешивающего внешнего крутящего момента из условия равновесия вала.
Задача
Вал нагружен скручивающими моментами. Определить величину и направление неизвестного уравновешивающего момента M2 (рис. 1), если M1=30кНм, M3=44кНм, M4=6кНм
Пример решения
Величина и направление неизвестного скручивающего момента M2 определяется из условия неподвижности вала.
Конечно на самом деле вал при работе вращается, собственно для этого он и предназназначен — вращаясь передавать крутящий момент.
Но в сопротивлении материалов, при расчетах валов, часть крутящего момента необходимая для вращения вала отбрасывается, и учитываются только моменты деформирующие (скручивающие) вал.
Таким образом будем полагать что рассматриваемый вал не вращается. Для этого должно выполняться следующее условие: сумма крутящих моментов относительно продольной оси вала должна быть равна нулю
Для составления уравнения равновесия зададим произвольным образом направление искомого крутящего момента M2, например по ходу часовой стрелки (рис. 2)
Запишем уравнение равновесия вала относительно продольной оси z, при этом моменты вращающие вал в одну сторону запишем со знаком «+», а моменты обратного направления соответственно со знаком «-«:
отсюда следует, что
Знак «-» в результате показывает, что реальное направление крутящего момента M2 противоположно ранее выбранному, т.е. в данном случае момент M2 направлен против хода часовой стрелки и равен 8кНм.
Проверить себя можно сложив отдельно величины крутящих моментов направленных по ходу часовой стрелки и моментов обратного направления. Эти суммы должны получиться одинаковыми.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
http://mydocx.ru/11-89838.html
http://isopromat.ru/sopromat/primery-reshenia-zadach/opredelenie-opornyh-reakcij/opredelenie-krutyashego-momenta-vala