Составить уравнение равновесия вала emx 0

iSopromat.ru

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F₁-F₆, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.

Суммы моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

• в плоскости xOy:
  
• в плоскости xOz:
  
• в плоскости yOz:
  

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Равновесие вала в теоретической механике

Равновесие вала:

Постановка Задачи. Горизонтальный вал может вращаться в цилиндрических шарнирах. К одному шкиву вала приложено нормальное давление и касательная сила сопротивления, пропорциональная давлению. На шкивы вала действуют известные нагрузки. Найти силу давления и реакции шарниров при условии равновесия вала.

1. Действие каждой из опор заменяем двумя взаимно перпендикулярными реакциями, лежащими в плоскости, перпендикулярной валу.

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала. Момент силы натяжения ремня, нити и т.п. (наклонной или нет) вычисляем как произведение величины силы на соответствующий радиус со знаком, соответствующим направлению вращения вокруг вала. Уравнение содержит одну неизвестную, которую легко найти.

3. Определяем вертикальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия горизонтальных реакций шарниров. Решаем эти уравнения.

4. Проверяем найденные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на вертикаль.

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров.

6. Проверяем горизонтальные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на ось вдоль линии действия горизонтальных реакций.

Задача:

Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 64). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0.1 N.

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями (рис. 65). Вес вата приложим в центре. Вес груза изобразим вектором

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вата:

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

По условию

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А а В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость (рис. 66). Таким образом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрицательным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости (и поэтому не изображенных на рис. 66), относительно любой ее точки равны нулю.

находим

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось (рис. 66):

5. Определяем горизонтальные реакции опор вата. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 67):

Решая уравнения, находим

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакции:

Результаты расчетов в заносим в таблицу:

• Определение усилий в стержнях, поддерживающих плиту
• Тело на сферической и стержневых опорах
• Приведение системы сил к простейшему виду
• Плоское движение тела
• Задачи на вращательное движение тела
• Равновесие тяжелой рамы
• Расчет составной конструкции
• Момент силы относительно оси

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Примеры решения задач

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а = 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

2. Моменты сил относительно оси Оу.

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, г₁ = 0,4 м; г₂ = 0,8 м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К коле­су 1 приложена сила F₁, к колесу 2 — силы F₂ = 12 кН, F₃ = 4кН.

Определить силу F₁ и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

1. При равновесии выполняются шесть урав­нений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять относи­тельно опор А и В.

Моменты этих сил относительно соответству­ющих осей равны нулю.

3. Расчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение

1. Определяем силу F\, составив уравнение моментов сил отно­сительно оси Oz:

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (Y_A; X_A).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох’ (в опоре В).

Поворот вокруг оси Ох’ не происходит:

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противополож­ную сторону.

Поворот вокруг оси Оу’ не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу’ (в опоре В):

3.Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (X_B, Y_B). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

4.Проверка. Используем уравнения проекций:

Расчёт выполнен верно.

Пример 3. Определить численное значение силы P₁, при котором вал ВС (рис. 1.21, а) будет находиться в равновесии. При найденном значении силы Р₁определить опорные реакции.

Действующие на зубчатые колеса силы Ри Р₁направлены по касательным к на­чальным окружно­стям колес; силы Т и Т₁ — по радиусам колес; силы А₁ па­раллельны оси вала. Т = 0,36Р, 7Т₁ = Р₁; А₁ = 0,12P₁.

Решение

Опоры вала, изображенные на рис. 1.21, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемеще­ниям в направлениях осей и и v (выбранная система координат показана на рис. 1.21, б).

Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями V_В, Н_В,V_C, Н_С (рис. 1.21, б). Получили прост­ранственную систему сил, для которой составляем урав­нения равновесия, пользуясь выбранной системой коор­динат (рис. 1.21,6):

где А₁*1,25D/2 — момент относительно оси и силы A₁, приложенной к правому зубчатому колесу.

Моменты относительно оси и сил Т₁ и А₁ (приложен­ных к среднему зубчатому колесу), Р₁ (приложенной к правому зубчатому колесу) и Р равны нулю, так как силы Р, T₁, Р₁ параллельны оси и, а сила А₁ пересекает ось и.

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции V_B и V_С определены верно;

где А₁* 1,25D/2 — момент относительно оси v силы А₁, приложенной к среднему зубчатому колесу.

Моменты относительно оси v сил Т, Р₁ (приложенной к среднему зубчатому колесу), А₁ и Т₁ (приложенных к правому зубчатому колесу) равны нулю, так как силы Т, Р₁, Т₁ параллельны оси v, сила А₁ пересекает ось v.

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции Н_В и Н_С определены верно.

В заключение отметим, что опорные реакции получи­лись со знаком плюс. Это указывает на то, что выбран­ные направления V_B, Н_В, V_C и Н_С совпадают с действи­тельными направлениями реакций связей.

Пример 4. Сила давления шатуна парового дви­гателя Р = 25 кН передается на середину шейки колен­чатого вала в точке D под углом α = 30° к горизонту при вертикальном расположении щек колена (рис. 1.22). На конец вала насажен шкив ременной передачи. Натя­жение ведущей ветви ремня в два раза больше, чем ведомой, т.е. S₁ = 2S₂. Сила тяжести маховика G = 10 кН.

Определить натяжения ветвей ременной передачи и реакции подшипников А и В, пренебрегая массой вала.

Решение

Рассматриваем равновесие горизонтального коленчатого вала со шкивом. Прикладываем в соответ­ствии с условием задачи заданные силы Р, S₁, S₂ иG. Освобождаем вал от опорных закреплений и заменяем их действие реакциями V_A, Н_А, V_B и Н_В. Координатные оси выбираем так, как показано на рис. 1.22. В шарнирах А и В не возникает реакций вдоль оси w, так как натя­жение ветвей ремня и все остальные силы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Составим уравнения равновесия:

Кроме того, по условию задачи имеем еще одно уравне­ние

Таким образом, здесь имеется шесть неизвестных уси­лий S_1, S₂, Н_А, V_A, Н_В иV_B и шесть связывающих их уравнений.

Уравнение проекций на ось w в рассматриваемом примере обращается в тождество 0 = 0, так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси w.

Подставляя в уравнения равновесия S₁=2S₂ и решая их, находим:

Значение реакции Н_В получилось со знаком минус. Это значит, что в действительности ее направление про­тивоположно принятому на рис. 1.22.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил.

2. Запишите формулу для расчета главного вектора простран­ственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента простран­ственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для опре­деления реакции стержня R₁ (рис. 7.8)?

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения — начало координат. Координатные оси совпадают с реб­рами куба, ребро куба равно 20 см;F₁ — 20кН;F₂ — 30кН.

7. Определите реакцию Хв (рис. 7.10). Вертикальная ось со шки­вом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F₁ и F₂ па­раллельны осиОх. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F₁ = 2кН; F₂ = 3,5 кН.