Составить уравнение сторон квадрата диагонали которого

Координаты точки на прямой

1. Координаты точки на прямой.

1. Положение точки, равномерно движущейся по прямой, дается для любого момента времени t формулой: , где x — координата точки, v — скорость движения, с — начальное положение точки. Отметить на чертеже положение точки в начальный момент и в конце каждой из пяти секунд, если закон движения задан в виде .

2. Даны точки: А(+9), В(+5), С(-3), D(-8) и M(x). Определить координаты этих же точек при условии, что единица длины будет взята: втрое больше первоначальной; вдвое меньше первоначальной.

3. Проверка термометра обнаружила, что ртуть поднимается до +96о при измерении температуры кипения воды и опускается только до +1 при измерении температуры таяния льда. Как вычислить истинную температуру в градусах Цельсия, пользуясь показаниями этого термометра?

4. Как преобразовать систему координат, чтобы все точки, координаты которых х -7, получили координаты отрицательные?

5. Если даны любые три точки А, В, С на прямой, то независимо от их расположения между величинами отрезков АВ, ВС и АС существует соотношение: АВ+ВС=АС. Проверить справедливость этого равенства для точек: 1) А(-3), В(+5), С(+12); 2) А(+4), В(+1), С(+6); 3) А(+3), В(-7), С(-2); 4) А(х1), В(х2), С(х3).

6. Стержень длиной 60 см подвешен за концы на двух веревках. Одна из этих веревок не может выдержать натяжения, превышающего 20 кГ. На каком расстоянии от соответствующего конца стержня можно прикрепить к нему груз в 96 кГ?

2. Аналитическая геометрия на плоскости.

1. Дана точка М(+3,+2). Построить точки, симметричные с ней относительно: оси абсцисс; оси ординат; начала координат. Определить координаты этих точек.

2. Какое соотношение существует между координатами точки, лежащей на одной из биссектрис координатного угла?

3. Сторона квадрата равна 1. Определить координаты его вершин, приняв за оси координат: 1) две непараллельные стороны его; 2) две диагонали; 3) прямые, параллельные сторонам квадрата и пересекающиеся в его центре.

4. Сведения о возрасте студентов, принятых на первый курс некоторого вуза, даны в следующей таблице:

Возраст в годах

Составить график возрастного состава первокурсников этого вуза, соединив ломаной линией все полученные точки.

5. Даны вершины треугольника: А(+3, +2), В(-1,-1), С(+11,-6). Определить длину его сторон.

6. Доказать, что треугольник с вершинами А(0,0), В(+3,+1), С(+1,+7) прямоугольный.

7. Зная вершины треугольника Р(-2,+1), Q(+4,+8), R(+10,+6), проверить, нет ли тупого угла среди внутренних углов этого треугольника.

8. На биссектрисах координатных углов найти точки, расстояние которых от точки М(-2,0) равно 10.

9. Какому условию должны удовлетворять координаты точки М(x,y), если она одинаково удалена от точек А(+7,-3) и В(-2,+1)?

10. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек: А(+2,+2), В(-5,+1), С(+3,-5).

11. Найти центр окружности, проходящей через точку А(-4,+2) и касающейся оси абсцисс в точке В(+2,0).

12. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(+4,+2), В(+9,+4), С(+7,+5).

13. Проверить, лежат ли на одной прямой три данных точки: 1) (0,+5), (+2,+1), (-1,+7); 2) (+3,+1), (-2,-9), (+8,+11); 3) (0,+2), (-1,+5), (+3,+4).

14. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин: (+1,+4), (-5,0), (-2,-1).

15. Как расположены точки, полярные координаты которых удовлетворяют одному из следующих уравнений: 1) ρ = 1; 2) ρ =5; 3) ρ = а; 4) φ = ; 5) φ = ; 6) φ = ; 7) φ = const?

16. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого находится в полюсе, а две другие имеют полярные координаты (4,) и (1,).

17. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси х под углом: 1) 45о;о; 3) 30о;о. Система координат прямоугольная.

18. Найти скорость равномерного движения, зная. что график его пересекает ось абсцисс в точке А( и ось ординат в точке В(0,+8). Масштаб выбран так, что на оси х единица длины соответствует одному часу, а на оси y — одному километру.

19. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина стороны квадрата равна а.

20. Луч света направлен по прямой ; дойдя до оси абсцисс, он отразился от нее. Определить точку встречи луча с осью и уравнение отраженного луча. Система координат прямоугольная.

21. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямыми: 1) 3x – 2y +12 = 0; 2) y = 4x – 2; 3) 5x + 2y + 20 = 0.

22. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой x + 2y -6 = 0. Система координат прямоугольная.

23. Вычислить углы треугольника, стороны которого относительно прямоугольной системы координат заданы уравнениями: 18x + 6y -17 = 0, 14x – 7y +15 = 0, 5x + 10y -9 = 0.

24. Даны уравнения сторон треугольника: , , . Вычислить координаты его вершин.

25. Вычислить координаты точки пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, вершинами которого служат точки А(+2,+3), В(0,-3), С(+5,-2). Система координат прямоугольная.

26. Записать уравнение окружности, имеющей центр в точке (+2,-5) и радиус, равный 4.

27. Найти уравнение окружности, если известны координаты концов одного из ее диаметров АВ: А(+1,+4), В(-3,+2).

28. Написать уравнение касательной к окружности в точке (+1,-2).

29. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: 1) полуоси его соответственно равны 4 и 2; 2) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5; 3) большая полуось равна 10 и эксцентриситет е = 0,8; 4) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8.

30. Написать уравнение прямой, касающейся эллипса в точке (+2, -3).

31. Эллипс касается двух прямых: и . Найти уравнение этого эллипса при условии, что оси его совпадают с осями координат.

32. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом при условии, что эксцентриситет ее е = 1,25.

33. Дана гипербола . Требуется: 1) вычислить координаты фокусов; 2) вычислить эксцентриситет; 3) написать уравнения асимптот и директрис; 4) написать уравнение сопряженной гиперболы и вычислить ее эксцентриситет.

34. Написать уравнение прямой, которая касается гиперболы в точке (+5,-4).

35. На параболе найти точку, фокальный радиус-вектор которой равен 20.

36. Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписанного в параболу .

37. Найти точки пересечения параболы со следующими прямыми: 1) 6x + y – 6 = 0; 2) 9x – 2y + 2 = 0; 3) 4x – y + 5 = 0; 4) y – 3 = 0.

38. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы. параметр которой р = 0,1 м. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

3. Векторная алгебра на плоскости.

1. В параллелограмме АВСD обозначены: а и b. Выразить через а и b векторы , где М — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Какой особенностью должны обладать векторы а и b, чтобы имело место соотношение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

3. Каким условием должны быть связаны векторы p и q, чтобы вектор p + q делил угол между ними пополам? Все три вектора отнесены к общему началу.

4. Три вектора с, а, b cлужат сторонами треугольника. С помощью а, b и с выразить векторы, совпадающие с медианами треугольника .

5. Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, могут в свою очередь служить сторонами другого треугольника.

6. Зная векторы, служащие сторонами треугольника с, а, b, найти векторы, коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

7. Доказать что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нуль-вектору. Останется ли справедливым это утверждение, если треугольник заменить правильным n-угольником?

8. Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов? о скалярном кубе вектора? о кубе скаляра вектора?

10. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найти угол между ними.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Задача 31255 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 4,5)
и уравнение одной из его сторон
x -4y + 24 = 0
. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его
диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x+6
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

y=(5/3)x+b — уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
4,5=(-3/5)*2,5+b
b=6

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(5/3)х+(1/3)
<х-4у+24=0
<у=(5/3)х+(1/3)
x=4
y=7

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+6
<х-4у+24=0
<у=(-3/5)х+6
x=0
y=6

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.