Составить уравнение цилиндра образующие которого касаются сферы

Составить уравнение цилиндра образующие которого касаются сферы

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть — точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

,

.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

Составить уравнение цилиндра образующие которого касаются сферы

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

§ 76*. Цилиндрические поверхности

Если через каждую точку кривой L провести прямую, параллельно данному вектору а, то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности (рис. 225).

Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, (в нормальном сечении) получается окружность, то цилиндрическая поверхность называется круговой. Если в сечении получается эллипс, то цилиндрическую поверхность называют эллиптической, если гипербола — гиперболической, если парабола — параболической.

Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть в плоскости хОу дана кривая L, уравнение которой в этой плоскости имеет вид

Составим уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору a = (α ; β; γ), γ =/= 0, если за направляющую принята кривая L (рис.226).

Рассмотрим произвольную точку этой поверхности М(х; у; z). Образующая l, проходящая через точку М, пересечет плоскость хОу в точке N, лежащей на кривой L. Если координаты точки N в пространстве обозначить (х₁; у₁; 0), то вектор MN > имеет координаты
(x₁ — x; у₁— у ; 0 — z).

По определению цилиндрической поверхности векторы а и MN > коллинеарны, т. е.

следовательно, имеем систему уравнений

Решив эту систему уравнений относительно λ, x₁и у₁, получим

Так как точка N лежит на кривой L, то F(х₁; у₁) = 0. Заменив х₁ и у₁ по формулам (2), получим уравнение

которое, очевидно, и будет уравнением данной цилиндрической поверхности.

Задача 1. Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение х 2 + у 2 = 4, а образующие параллельны вектору а = (0; 1; 1).

Так как, согласно условию задачи F(x; у) = х 2 + у 2 — 4 и α = 0, β = 1, γ = 1, то в силу формулы (3) уравнение данной цилиндрической поверхности имеет вид

Эта поверхность изображена на рис. 227.

Аналогично можно показать, что если направляющая цилиндрической поверхности L лежит в плоскости xOz и определяется уравнением F(x; z) = 0, а вектор а не параллелен этой плоскости, то цилиндрическая поверхность имеет уравнение

Наконец, если L определяется уравнением F(у; z) = 0 и а не параллелен плоскости yOz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

Отметим, что если направляющая цилиндрической поверхности лежит в плоскости
хОу, а образующие параллельны оси Oz, то уравнение цилиндрической поверхности в пространстве совпадает с уравнением направляющей и имеет вид

Уравнение (4), как уравнение множества точек плоскости, определяет кривую L, в то же самое время уравнение (4), как уравнение множества точек пространства, определяет цилиндрическую поверхность.

Итак, каждое из уравнений

можно истолковать двояко: если это уравнение множества точек плоскости, то это уравнение линии L, лежащей в плоскости своих переменных; если же это уравнение множества точек пространства, то каждое из этих уравнений определяет цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными оси oтсутствующей переменной.

Рассмотрим несколько примеров.

на плоскости хОу определяет окружность с центром в начале координат и радиусом r (рис. 228, а).

Это жe уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (рис. 228, б).

на плоскости xOz определяет окружность с центром в начале координат и радиусом
r = 2 (рис. 229, а).

Это же уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (рис. 229, б).

и на плоскости, и в пространстве определяет пустое множество, так как сумма неотрицательных чисел не может быть числом отрицательным.

на плоскости хОу определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 230, а).

Это же уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz (рис. 230, б).

на плоскости хОу определяет гиперболу с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 231, а).

В пространстве это уравнение определяет гиперболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 231, б).

на плоскости хОу определяет параболу (рис. 232, а), а в пространстве — параболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 232, б).

Задача 2. Определить вид поверхности 3x 2 + 6y 2 — 24 = 0.

Данное уравнение приведем к виду:

Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz.

Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Главная > Документ

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

1. Поверхности вращения.

пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии  вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть , тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии  вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности .

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .

иния  называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия  лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями: а направляющий вектор образующих имеет координаты , .

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

Получите уравнение поверхности вращения (1).

Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости  с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .

Обозначим координаты точки M ( x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

(5)

Уравнение (5) – искомое.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 2; –1>.

Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке . Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то . Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , х= 0 вокруг оси Oz .

Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости xOy :

а) эллипса ;

б) гиперболы ;

в) параболы .

Написать уравнение поверхности, образованной вращением синусоиды вокруг оси Oz .

Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой , вокруг оси Ox .

Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz линии l , заданной уравнениями , имеет уравнение .

Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из следующих случаев:

а) Направляющая лежит в плоскости и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 0; 1>;

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение , а образующие параллельны оси Ox ;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью , а образующие параллельны оси Oy.

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна вектору ;

б) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна прямой x = y = z .

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая параллельна оси Ox .

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая перпендикулярна плоскости направляющей.

Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.

Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если ось вращения совпадает с осью Oz , а радиус r= 5.

Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси , , и координаты одной из ее точек .

Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М :

а) , , , М (2; 0; 1);

б) l : , М (2; –1; 1).

Тема: Конические поверхности.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.

Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .

Линия  называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия  лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением: .

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость  не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость  пересекает конус:

а) по эллипсу, если  пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если  параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если  параллельна одной образующей конуса.

Получите уравнение конической поверхности (1).

Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке . Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

,

.

Выразим из последней системы и : , . Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

,

,

,

. (4)

, . (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

,

,

.

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.

Задачи для самостоятельного решения.

Написать уравнение конической поверхности, если:

а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (1; 0; 1);

б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1);

в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1).

г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; с ).

Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью угол =45.

Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а вершина находится в точке .

Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, которая проходит через линию пересечения:

а) гиперболоида и сферы ;

б) эллипсоида и плоскости .

Напишите уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси l : и координаты одной из ее точек М(3; –4; 5).

Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.