Составить уравнение высоты пирамиды проведенной из вершины d
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; )
Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Как найти высоту пирамиды по векторам
Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.
Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word
Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж. Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 – x1; Y = y2 – y1; Z = z2 – z1 Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0). AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) . Длину вектора находим по формуле:
Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:
объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; )
Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.
Уравнения прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой l в пространстве:
(15)
где – фиксированная точка прямой;
– направляющий вектор прямой l, т.е. любой вектор, параллельный l;
t – числовой параметр.
Каждому значению параметра соответствует единственная точка прямой l.
Канонические уравнения прямой:
. (16)
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и :
. (17)
Углом между прямыми называют угол между их направляющими векторами =<m1; n1; p1> и =<m2; n2; p2>, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть
. (18)
Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла между плоскостью и прямой определяется по формуле:
. (19)
Примерный вариант и образец выполнения
РГЗ №1
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:
Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;
4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;
5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);
6) сделать чертеж в системе координат.
Задача 2.Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:
1) вычислить длину ребра AB;
2) найти уравнение плоскости грани ABC;
3) найти угол между гранями ABC и BCD;
4) составить параметрические уравнения прямой AB;
5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;
6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;
7) найти угол между ребрами AB и BC;
8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;
9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.
Решение задачи 1.
1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):
|BС|= =
2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (8):
y = –2x + 14 – уравнение ВС.
3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (7):
и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .
Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (11) вычислим
.
4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (6) и условие перпендикулярности прямых (10). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как , то .
Уравнение AK получим по формуле (6):
у – уА = kAK(x– xA) у – (–1) = (x– (–3))
5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. .
Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):
М(6; 2).
Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):
P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.
6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 3). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.
1) длина стороны |BС| = ;
2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14;
3) угол при вершине В: ;
4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0;
5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1);
6) чертеж на рис. 3.
Решение задачи 2.
1) Длину ребра найдем по формуле:
2) Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т.е. вектор, перпендикулярный векторам и . Одним из таких векторов является векторное произведение на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формулам:
= <–3–(–2); 2–1; –1–1>= <–1; 1; –2>,
=<7; –3; –3>.
Найдем векторное произведение и :
В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, = <9; 17; 4>. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (формула (12):
– уравнение плоскости грани ABC.
3) Прежде, чем найти угол между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (формула (13):
– уравнение грани BCD.
Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: =<3; 7; –4>.
Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(14):
Отсюда .
4) Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2;1;1) и имеющей направляющий вектор = <–1; 1; –2>(формулы (15)):
– параметрические уравнения AB.
Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки (формулы (17)):
откуда, обозначив каждую из дробей буквой t, получаем:
– параметрические уравнения AB.
5) Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, = = <9; 17; 4>. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3) и вектор = <9; 17; 4>(формулы (16)):
– канонические уравнения DK.
6) Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK.Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:
– параметрические уравнения DK.
Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты , и принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:
Решим последнее уравнение относительно t:
Вычислим координаты точки K, подставив найденное значениепараметра t в первые три уравнения системы:
Итак, точка пересечения DK и грани ABC: .
7) Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между направляющими векторами прямых AB и BC: = <–1; 1; –2>и =<8; –4; –1>. Вычислим косинус угла по формуле (18):
Тогда угол между ребрами AB и BC:
8) Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: =<1; –1; –4>. Плоскость ABC имеет вектор нормали = <9; 17; 4>. Синус угла между прямой и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (19):
Тогда угол между ребром AD и гранью ABC:
9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис.4).