Составить уравнения координатных линий поверхности

Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.

Рассмотрим плоскость, на которой геометрическими объектами являются различные линии и требуется изучать их свойства. Для этого введем на плоскости некоторую декартову систему координат и возьмем на некоторой линии L произвольную точку M(xy). Если точку M(xy)перемещать вдоль L, то ее координаты будут меняться, но не произвольно. Между ними существует некоторая связь, которая определяется геометрическими свойствами линии L.

Определение. Cвязь y = f(x) или F(xy) = 0 называется уравнением линии L, если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Таким образом, координаты на плоскости позволяют для каждой линии выписать некоторое уравнение, которое определяется геометрическими свойствами линии, кроме того, оказывается, что каждому уравнению можно поставить в соответствие некоторую линию, и только координаты точек этой линии будут удовлетворять данному уравнению. В связи с этим возникают две задачи.
1. По геометрическим свойствам линии требуется составить ее уравнение.
2. По некоторому уравнению требуется установить геометрические свойства линии, которая этим уравнением определяется.

Эти две задачи и составляют предмет аналитической геометрии на плоскости.

Если взять трехмерное пространство, то к таким геометрическим объектам, как пространственные линии, добавляются новые геометрические объекты — поверхности в трехмерном пространстве.

Поскольку положение точки в пространстве определяется тремя координатами x, y, z, то и условие, которому удовлетворяют все точки, принадлежащие данной поверхности, аналитически выражается уравнением F(x, y, z) = 0.

Определение. Уравнение поверхности есть уравнение F(x, y, z) = 0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности, и притом только этих точек.

Пространственные линии можно рассматривать как линии пересечения некоторых поверхностей. На случай трехмерного пространства легко перефразируются указанные выше две задачи, которые и будут составлять предмет аналитической геометрии в пространстве. В дальнейшем, множество всех точек плоскости будем обозначать как двумерное пространствоR 2 , а трехмерное пространство — как пространство R 3 .

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).

Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.

Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,
φ — полярным углом.

Прямая Ох называется полярной осью, а точка О — полюсом полярной системы координат.

Заметим, что r (как расстояние) — всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).

Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось — с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак должен быть одинаков со знаком y, а знак — со знаком х.

Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол.

2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 8 ; Нарушение авторских прав

Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения

Содержание:

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Определение: Уравнение м поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными х, у у z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. То есть если

— уравнение поверхности Р (рис. 189), то при М(х, у, z)

Таким образом, уравнение (1) выполнено тогда и только тогда, когда точка М(х, у, z) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности — это значит найти связь между текущими координатами ее точек.

Пример (уравнения координатных плоскостей):

Каждая точка М(х, у, z), лежащая на координатной плоскости Oyz, имеет абсциссу х = 0; обратно, если для какой-нибудь точки М(х, у, z) абсцисса ее х = 0, то эта точка расположена на плоскости Oyz. Следовательно,

— уравнение координатной плоскости Oyz. Аналогично,

— соответственно уравнения координатных плоскостей Oxz и Оху.

Формула обозначает, что точка М принадлежит Р. Формула обозначает, что точка N не принадлежит Р.

В более общем случае

— уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответствующим координатным осям Ох, Оу, Ог и отсекающих на них отрезки, численно равные

Теорема: Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержит текущей координаты, одноименной с этой координатной осью, и обратно.

Доказательство: Пусть, например, цилиндрическая поверхность Р образована перемещением прямой (образующая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (направляющая) (рис. 190).

Обозначим через М(х, у, z) точку поверхности Р с текущими координатами х, у и z. Образующая MN, проходящая через точку М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N(x, у, 0).

— уравнение направляющей L в координатной плоскости Оху. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки N. Так как точка М поверхности Р имеет ту же самую абсциссу хиту же самую ординату у, что и точка N, а переменная г в уравнение (3) не входит, то координаты точки М также удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, координаты любой точки М(х, у, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению (3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки М(х, у, z) удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на прямой MN || Оz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N(x, у, 0), лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит цилиндрической поверхности Р. Следовательно,

является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z.

Пример (уравнение эллиптического цилиндра):

Эллиптический цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и b, а осью служит ось Оz (рис. 191), на основании предыдущей теоремы имеет уравнение

В частности, при а = b получаем уравнение кругового цилиндра

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух данных поверхностей (рис. 192). Точка , лежащая на линии L, принадлежит как поверхности так и поверхности , и, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей.

Поэтому под уравнениями линии в пространстве понимается совокупность двух уравнений:

являющихся уравнениями поверхностей, определяющих данную линию.

Не нужно думать, что для нахождения уравнений линий систему (4) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать, так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных. Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий: линии L принадлежат те и только те точки , координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям системы (4).

Заметим, что данную линию можно по-разному задавать как пересечение поверхностей. Поэтому линии в пространстве соответствует бесчисленное множество равносильных между собой систем уравнений.

Определение: Уравнениями линии в пространстве называется такая пара уравнений между переменными , которой удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Пример (уравнения координатных осей):

Ось Ох можно, рассматривать как пересечение координатных плоскостей Оху и Oxz. Поэтому

— уравнения оси Ох. Аналогично,

— уравнения осей Оу и Oz соответственно.

Пример:

Написать уравнения окружности Г радиуса R = 1, центр которой находится в точке С(0, 0, 2) и плоскость которой параллельна координатной плоскости Оху (рис. 193).

Решение:

Окружность Г можно рассматривать как пересечение кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz и горизонтальной плоскости, расположенной выше координатной плоскости Оху на две единицы. Поэтому уравнения данной окружности есть

В механике линию L часто рассматривают как след движущейся точки (рис. 194). Пусть х, у, z — текущие координаты точки М линии L. Так как с течением времени точка М перемещается и ее координаты меняются, то они являются функциями времени t. Следовательно, имеем

где — некоторые определенные функции. Обобщая уравнения (5), под t понимают вспомогательную переменную (параметр)> не обязательно время; поэтому уравнения (5) носят название параметрических уравнений линии в пространстве.

Исключая из уравнений (5) параметр t, мы получим два соотношения между текущими координатами х, у и z, которые представляют собой уравнения некоторых поверхностей, проходящих через данную линию.

Пример:

Написать уравнения винтовой линии радиуса а и шага (рис. 195).

Решение:

Пусть М (х, у, z) — текущая точка винтовой линии, М’ (х, у, 0) — ее проекция на плоскость Оху.

Приняв за параметр и учитывая, что аппликата г винтовой линии растет пропорционально углу поворота t, будем иметь

Для определения коэффициента пропорциональности b положим ; тогда . Следовательно,

Исключая параметр t из первого и второго, а также из первого и третьего уравнений (6), получаем

Следовательно, винтовая линия представляет собой пересечение кругового цилиндра с образующими, параллельными оси Oz, и цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Оу, и имеющей своей направляющей косинусоиду, лежащую в плоскости . Из уравнений (6′) также вытекает, что проекция винтовой линии (6′) на координатную плоскость Оху есть окружность, а на координатную плоскость — косинусоида.

Текущую точку кривой L можно характеризовать ее радиусом-вектором («следящий радиус-вектор») (рис. 196)

( — орты). Тогда из (5) получаем векторное уравнение линии

— так называемая вектор-функция скалярного аргумента t.

В механике в качестве параметра t обычно берут время. В таком случае линию (7) называют траекторией точки М(х, у, z).

Множество всех точек М(х, у, г) пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (или системе уравнений), называется геометрическим образом (графиком) данного уравнения (или системы уравнений).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует уравнению

Решение:

Из уравнения (8) получаем или . Следовательно, графиком уравнения (8) является пара плоскостей, параллельных координатной плоскости Оху и отстоящих от нее на расстояниях, равных единице (рис. 197).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует паре уравнений

Решение:

Искомый график представляет собой пересечение плоскостей х = 2 и у = 3 и, следовательно, является прямой линией, параллельной оси Oz и имеющей след N (2, 3, 0) на координатной плоскости Оху (рис. 198).

• Общее уравнение плоскости
• Угол между плоскостями
• Понятие о производной вектор-функции
• Криволинейные интегралы
• Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
• Линии второго порядка
• Полярные координаты
• Непрерывность функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Составить уравнения координатных линий поверхности

Поверхность. Способы задания поверхности. Регулярная параметризация поверхности. Координатные линии и координатная сеть на поверхности. Задача картографии. Касательная плоскость поверхности в ее гладкой точке. Нормаль поверхности в ее гладкой точке. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Ортогональные траектории семейства кривых на поверхности. Площадь поверхности. Конформное отображение поверхностей. Изометрия поверхностей.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной областью на плоскости переменных называется область, гомеоморфная кругу. Элементарной поверхностью в пространстве переменных называется множество точек пространства, гомеоморфное элементарной области на плоскости. Функциональное задание гомеоморфизма (рис. 20)

называется параметрическим представлением поверхности. Образы прямых вида и называются координатными линиями на поверхности (рис. 20) и задаются уравнениями

и каждой точке ставится в соответствие пара чисел , называемая криволинейными координатами.

Общей поверхностью называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное евклидовой плоскости. Необходимое и достаточное условие локальной гомеоморфности отображения, задаваемого в области плоскости переменных регулярными функциями

Очевидно, что общая поверхность допускает покрытие элементарными поверхностями.

Сеть координатных линий поверхности, или координатная сеть , называется правильной в точке , если в этой точке выполнено условие Нетрудно заметить, что частные производные и в данной точке представляют собой касательные векторы к координатным линиям и соответственно. Поэтому условие правильности координатной сети в точке требует, чтобы касательные векторы к координатным линиям в этой точке были неколлинеарны. В дальнейшем будут рассматриваться только такие точки на поверхности.

Будем называть поверхность -регулярной, если она обладает параметризацией , имеющей непрерывные частные производные
порядка , причем в каждой точке выполнено условие

Поверхность задана неявным уравнением если координаты каждой ее точки удовлетворяют этому уравнению.

Пусть и — две различные точки на поверхности . Касательной плоскостью поверхности в точке (рис. 21) называется плоскость , проходящая через точку и удовлетворяющая соотношению

Уравнение касательной плоскости поверхности в точке с криволинейными координатами (и декартовыми координатами ) может быть вычислено по одной из следующих формул:

Первое из уравнений означает, что векторы образуют базис касательных векторов в точке

Нормаль поверхности в точке — это прямая, ортогональная касательной плоскости, проведенной в этой точке поверхности. Уравнения нормали поверхности в точке с криволинейными координатами (и декар-
товыми координатами ) могут быть вычислены по формулам

Теперь мы можем дать геометрическую интерпретацию условию регулярности неявного задания кривой в пространстве. Поверхности и , имеющие общую точку , назовем пересекающимися трансверсально в точке , если их касательные плоскости, проведенные в этой точке, пересекаются .

Согласно известной теореме аналитической геометрии, для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы нормали касательных плоскостей, а следовательно, векторы нормали поверхностей, были неколлинеарны в точке (рис. 22). Таким образом, условие максимальности ранга матрицы (6) — это условие трансверсальности пересечения поверхностей в точке.

Первой квадратичной формой поверхности называется скалярный квадрат первого дифференциала радиус-вектора ее точки :

где введены канонические обозначения

При этом коэффициенты являются функциями точки поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности несет информацию о свойствах измерения длин, углов и площадей на поверхности, являясь своеобразным «справочником геодезиста». Первую квадратичную форму поверхности называют также метрической формой .

Так как в евклидовом пространстве скалярный квадрат любого ненулевого вектора строго положителен, то и первая квадратичная форма любой регулярной поверхности в евклидовом пространстве положительно определена , то есть , и невырождена , то есть только при

Длина кривой на поверхности может быть представлена криволинейным интегралом

Если кривая задана параметрическим способом , то первый дифференциал радиус-вектора точки вдоль этой кривой при подстановке , принимает вид

Подстановка полученного выражения в формулу длины кривой на поверхности приводит к результату (интеграл определенный!)

Тогда направление может быть указано «однородными координатами» . Очевидно взаимно однозначное соответствие
(и даже гомеоморфизм) множества направлений в точке поверхности и проективной прямой.

Углом между кривыми на поверхности (рис. 23), пересекающимися в точке , называется угол, образованный касательными направлениями к кривым в этой точке. Рассмотрим два направления и .

Угол между направлениями можно вычислять как угол между их представителями.

Его косинус равен

Направления и на поверхности ортогональны тогда и только тогда, когда . Пусть в окрестности точки на поверхности задано семейство кривых, представленных неявными уравнениями вида , где — постоянные, — дифференцируемая функция. Пусть в точке выполнено условие Линии семейства имеют в каждой точке рассматриваемой окрестности направление Тогда направление линии, ортогональной линиям семейства , удовлетворяет соотношению ортогональности

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением семейства кривых, ортогональных семейству, заданному уравнениями
.

Площадь части поверхности, задаваемой параметрическим уравнением , определенным на компактной области плоскости переменных , с кусочно гладкой границей , вычисляют по формуле:

Гомеоморфизм поверхностей называется изометрией , если поверхности и можно параметризовать так, что первая квадратичная форма поверхности в любой точке равна первой квадратичной форме поверхности в точке

Очевидно, соответственные кривые изометричных поверхностях имеют равные длины. Обратное также верно. Кроме этого, на изометричных поверхностях углы между соответственными кривыми равны, и площади соответственных областей также равны.

Также имеется важный класс гомеоморфизмов поверхностей, включающий в себя изометрии. Гомеоморфизм поверхностей называется конформным отображением , если для любых пересекающихся кривых и на поверхности образуемый ими угол равен углу между кривыми и на поверхности . Очевидно, всякая изометрия является конформным отображением.

1. Цилиндрическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 а).

Напишите выражение декартовых координат
точки через ее цилиндрические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление прямого кругового цилиндра радиуса , ось которого совпадает с осью аппликат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность.

2. Сферическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 б). Напишите выражение декартовых координат точки через ее сферические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление сферы радиуса , центр которой совмещен с началом координат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность. Во всех ли точках сферы координатная сеть правильна?

3. Дано параметрическое представление поверхности. Определите и изобразите на рисунке вид поверхности и координатные линии. Укажите область изменения параметров. Правильная ли на этой поверхности координатная сеть?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

4. Поверхность вращения. Кривая расположенная в плоскости , вращается вокруг оси . Составьте уравнение поверхности, образуемой этой кривой. Докажите, что нормаль поверхности вращения расположена в плоскости, проходящей через ось вращения.

Кривую назовем образующей поверхности вращения.

5. Составьте параметрическое задание поверхности вращения с осью и образующей :
1) ;
2) ;
3) .

6. Поверхность переноса. Две кривые и пересекаются в точке , такой, что , трансверсально , то есть . Кривая перемещается поступательно так, что ее точка скользит по кривой . Заметаемая ею поверхность называется поверхностью переноса.
1) Составьте параметрическое представление этой поверхности. Изменится ли вид поверхности переноса, если кривые и поменять ролями?
2) Докажите, что касательные плоскости поверхности переноса вдоль координатной линии параллельны некоторой прямой.
3) Докажите, что параболоиды являются поверхностями переноса.
Указание. В качестве кривых и выберите параболы, расположенные во взаимно ортогональных плоскостях.

7. Обобщенная цилиндрическая поверхность. В условии предыдущей задачи считайте линию прямой, параллельной вектору . Получаемая таким способом поверхность переноса называется обобщенной цилиндрической поверхностью. Постройте ее параметрическое представление и уравнение семейства касательных плоскостей к цилиндрической поверхности в тех ее точках, в которых . Что можно сказать о касательных плоскостях цилиндрической поверхности?

8. Обобщенная коническая поверхность образована всеми прямыми, пересекающими данную кривую и проходящими через точку , При этом кривая называется направляющей , а прямые — образующими конической поверхности. Составьте параметрическое представление конической поверхности и уравнение семейства касательных плоскостей к конической поверхности в тех ее точках, в которых . Что
можно сказать о касательных плоскостях конической поверхности?

9. Винтовая поверхность. Прямая вращается вокруг оси и одновременно перемещается вдоль нее так, что перемещение пропорционально углу поворота. Описываемая этой прямой поверхность называется винтовой поверхностью. Напишите параметрическое представление винтовой поверхности и дайте ее изображение.

10. Обобщенная винтовая поверхность. В условии предыдущей задачи замените прямую линией , . Напишите параметрическое представление описываемой поверхности. Полагая
1) ; 2) ,
напишите параметрические представления и дайте изображения полученных поверхностей.

11. Трубчатая поверхность образована всеми окружностями постоянного радиуса с центрами на кривой расположенными в нормальных плоскостях этой кривой. Считая, что — естественный параметр кривой, кривизна кривой отлична от нуля и , составьте параметрическое представление трубчатой поверхности.

Решение. (рис. 25) Представим радиус — вектор точки поверхности в виде суммы где — полярный угол в нормальной плоскости
кривой , отсчитываемый от главной нормали по направлению к бинормали, — соответствующий «полярный радиус». Тогда где и — единичные векторы главной нормали и бинормали в точке, соответствующей значению естественного параметра. Заметим, что в естественной параметризации и
Эти уравнения позволяют выразить единичные
направляющие векторы трехгранника Френе через производные вектора

Подстановка в выражение для радиус — вектора приводит к окончательному выражению

Докажите, что нормаль трубчатой поверхности пересекает кривую и является ее нормалью.
Указание. Воспользуйтесь формулами Френе.

Составьте параметрическое представление трубчатой поверхности, если
1$»>, а радиус образующей окружности .

12. Докажите, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности , не зависит от выбора точки на поверхности.

13. Докажите, что касательные плоскости к поверхности образуют с координатными плоскостями тетраэдры постоянного объема.

14. Докажите, что касательные плоскости к поверхности в точках образуют пучок плоскостей.

15. Дана кривая , где — естественный параметр. Найдите первую квадратичную форму поверхности, образованной
1) касательными к кривой ;
2) главными нормалями;
3) бинормалями кривой .

16. На поверхности, образованной касательными к кривой , где — естественный параметр,
1) составьте дифференциальное уравнение ортогональных траекторий к семейству прямолинейных образующих;
2) напишите дифференциальное уравнение линий, пересекающих прямолинейные образующие под постоянным углом ;
3) убедитесь в том, что область этой поверхности наложима на плоскость.

17. Дан прямой геликоид .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнение биссекторных линий для линий координатной сети.
4) Проверьте, что сеть, дифференциальное уравнение которой имеет вид
, ортогональна.
5) Вычислите площадь четырехугольника, ограниченного линиями , , , .
6) Покажите, что прямой геликоид наложим на катеноид с образующей
, , ( ) .

18. Дан прямой круговой цилиндр .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнения линий, пересекающих образующие под постоянным углом.
4) Найдите уравнение ортогональных траекторий семейства линий
.
5) Вычислите площадь треугольника, ограниченного линиями
.
6) Докажите, что прямой круговой цилиндр наложим на плоскость.

19. Представление псевдосферы имеет вид

1) Вычислите ее первую квадратичную форму.
2) Найдите на псевдосфере линии, пересекающие меридианы под постоянным углом (локсодромы).
3) Найдите площадь поверхности псевдосферы.
4) Вычислите длину дуги линии между точками

20. Дана сфера
а) Найдите ее первую квадратичную форму.
б) Напишите уравнения ортогональных траекторий семейства линий
.
в) Составьте уравнение локсодромы — линии на сфере, которая пересекает меридианы под постоянным углом .