Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
Угол между прямой и плоскостью
Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура
Рисунок
Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
Прямая, параллельная плоскости
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.
Прямая, лежащая на плоскости
Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.
Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .
Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Фигура
Рисунок
Определение
Наклонная к плоскости α
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )
На рисунке это угол φ
Прямая, параллельная плоскости
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Прямая, лежащая на плоскости
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.
Лекция 2. Ортогональные проекции прямой
2.1. Задание прямой на эпюре
Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.
а б Рисунок 2.1 – Проекции прямой
Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.
Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .
Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.
2.2. Прямые частного положения
Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .
Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали
Если отрезок параллелен плоскости проекций π1, то его фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций π1/π2, а горизонтальная проекция отрезка А1В1 определяет истинную величину АВ:
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).
Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали
Если отрезок параллелен плоскости проекций π2, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π2/π1, а фронтальная проекция отрезка C2D2 определяет истинную величину CD.
Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).
Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .
Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).
Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).
Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).
Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH
2.3. Метод прямоугольного треугольника
Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.
Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π1 (Рисунок 2.5).
Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения
На рисунке 2.5, а:
АА1 – расстояние от точки А до плоскости проекций π1;
ВВ1 – расстояние от точки В до плоскости проекций π1;
ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:
ВК=ВВ1–АА1=Δ1 – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π1 (то есть, разности координат Z точек А и В);
АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.
При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.
Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π2
2.4. Точка и прямая
Если точка принадлежит прямой, то её проекции:
Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
Лежат на одной линии связи.
Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:
Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:
Упражнение
Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8) Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении Решение:
Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е2.
Отложим на этой прямой от точки Е2 равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F2.
Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F2) до пересечения с проекцией E2F2, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К2.
Горизонтальную проекцию точки К1 получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.
Упражнение
Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9). Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.
Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.
Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.
2.5. Следы прямой
След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.
Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:
горизонтальный след M1– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π1;
фронтальный след N2– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π2;
профильный след L3 – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π3.
След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:
горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M1,
фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N2,
профильный – с профильной проекцией L≡L3 (Рисунок 2.10).
Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ
Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).
Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:
Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
Из точки М2 провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.
Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:
Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
Из точки N1 провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.
Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:
Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ
Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.
2.6. Взаимное расположение прямых
Две прямые в пространстве могут быть:
параллельными;
пересекающимися;
скрещивающимися.
Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.
Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).
Рисунок 2.12 – Параллельные прямые Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.
Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).
Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).
Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые
2.7. Проекции плоских углов
Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.
Рисунок 2.15
По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.
Теорема о проецировании прямого угла в частном случае
Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).
Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.
Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла
Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,
2.8. Задачи для самостоятельного решения
1. Построить отрезок прямой АВ // π1, равный 35 мм и наклонённый к π2 под углом 25° (Рисунок 2.17).
Рисунок 2.17
2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π2 и π1.
3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π1 и 45° — к плоскости проекций π2.
4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π2/π1 (Рисунок 2.18).
5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?
г) Во-первых, что это за проекция?
Проведём очередную физкульт-пятиминутку:
Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.
На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:
Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:
Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:
Таким образом, канонические уравнения проекции:
Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .
Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:
– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);
– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);
– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );
– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .
Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
радиан).
проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая 
– коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: 
, и на самом деле ответ уже готов: 
, принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу: 
(лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы 
.
(вот в этом способе уже обязательно находим);
, не совпадающую с точкой 
) и опускаем из неё перпендикуляр 
на плоскость 
(см. следующие параграфы);
(как пересечение прямой 
и плоскости 
);
по двум точкам: 
.