Решение задач с помощью квадратных уравнений
Решение задач с помощью квадратных уравнений.
1. Произведение двух натуральных чисел равно 180, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа.
Пусть х – первое натуральное число, тогда (х + 3) – второе натуральное число. По условию задачи произведение этих чисел равно 180. Составим и решим уравнение.
х = -15 – не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Значит х = 12 – первое число, 12 + 3 = 15 – второе натуральное число.
Решите задачу самостоятельно:
Одно число меньше другого на 7, а произведение этих чисел равно 330. Найдите эти числа.
2. Первая мастерская получила заказ сшить 600 рубашек, а вторая – 560 рубашек. Первая мастерская выполнила заказ за 4 дня до срока, а вторая за 1 день до срока, причем первая мастерская шила ежедневно на 4 рубашки больше, чем вторая. Сколько рубашек каждая мастерская шила ежедневно?
Примечание: в данной задаче удобнее за неизвестное обозначить время, которое было дано на выполнение работы обеим мастерским.
Пусть х дней было дано мастерским на выполнение заказа, тогда (х – 4) дня работала первая мастерская, а (х – 1) дня работала вторая мастерская. Первой мастерской нужно было сшить 600 рубашек, а второй 560. Следовательно, первая мастерская в день шила 
рубашки, а вторая 
. По условию задачи первая мастерская в день шила на 4 рубашки больше, чем вторая. Составим и решим уравнение.
. Помножим обе части уравнения на общий знаменатель и раскроем скобки. Получим:
. Упростим данное выражение и запишем в стандартном виде.
. Разделим каждое слагаемое на (-4).
Находим корни уравнения методом перебора. 
.
х=-14 не является решением задачи, так как дни не могут быть отрицательными.
Найдем сколько рубашек в день шила первая мастерская:
(рубашки). Вторая мастерская: 24 – 4 = 20 (рубашек).
Ответ: 24 и 25 рубашек
Решите задачу самостоятельно:
Велосипедист и мотоциклист проехали 60 км, причем мотоциклист был в пути на 3 ч меньше. Вычислите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
Рекомендация: составьте таблицу.
Задачи для закрепления.
1. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25 км против течения, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей потребовалось бы на прохождение 54 км по озеру. Найдите скорость моторной лодки по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
2. Участок имеет форму прямоугольника площадью 2800 м2. Вычислите длину и ширину участка, если длина больше ширины на 30 м.
3. Расстояние между двумя городами равно 420 км. Из первого города во второй выехали одновременно два автомобиля, причем скорость одного автомобиля больше скорости другого на 10 км/ч, поэтому он прибыл во второй город на 1 ч раньше, чем другой автомобиль. Вычислите скорости этих автомобилей.
4. В зрительном зале 270 мест, поровну в каждом ряду. Сколько рядов в зрительном зале, если число рядов в зале на 3 меньше числа мест в ряду?
5. В саду было 180 деревьев. При расширении сада количество рядов увеличили на 5 и в каждом ряду добавили по 3 дерева. В результате общее количество деревьев увеличилось на 120. Сколько рядов в саду было до расширения?
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.
Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.
Шаг 3. Записать уравнение.
Шаг 4. Решить полученное уравнение.
Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.
Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.
Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).
Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)
Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165
$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.
Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).
Примеры
Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.
Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.
По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения
$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$
$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$
$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin
Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.
Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.
По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $
Произведение xy = x(x-9) = 162
$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$
$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin
Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin
Ответ: -9 и-18; или 18 и 9
Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)
Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.
Пусть x — искомое число.
По условию $x^2+108 = 24x$
$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.
Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.
$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$
Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14
Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14
Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Презентация к уроку
Цель: совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи.
Обучающие.
Развивающие.
Воспитательные.
Оборудование и материалы.
| № | Этап урока | Содержание (цель урока) | Время (мин.) |
| 1 | Организационный момент | Нацелить учащихся на урок. | 2 |
| 2 | Проверка домашнего задания | Коррекция ошибок. | 5 |
| 3 | Актуализация опорных знаний. Математический диктант | Актуализировать теоретические и практические знания для усвоения нового материала. | 13 |
| 4 | Изучение нового материала | Показать расширение аппарата уравнений для решения текстовых задач. | 8 |
| 5 | Тренировочные упражнения | Совершенствовать навыки составления уравнений по условию задачи. | 13 |
| 6 | Подведение итогов. Рефлексия | Обобщить знания, полученные на уроке. | 2 |
| 7 | Сообщение домашнего задания | Разъяснить содержание домашнего задания | 2 |
1. Организационный момент. Вступительное слово учителя (презентация).
Добрый день дорогие ребята! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, и мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.
Тема сегодняшнего урока “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.
Сегодня мы с вами закрепим умение решать квадратные уравнения, а также узнаем, как можно решать задачи с помощью квадратных уравнений.
Слайд 2. Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: “Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
Итак, откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.
2. Проверка домашнего задания (выборочно, слайды 5-6).
3. Актуализация опорных теоретических и практических знаний (слайды 4-9).
- Что написано на доске? ах 2 + bх + с = 0 (Квадратное уравнение)
- Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет, не всегда)
- От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)
- Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0?
- Сколько коней имеет квадратное уравнение если D = 0?
- Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D
Число верных ответов
Оценка
Всего в диктанте 8 вопросов
менее 5
1.1. Сформулируйте определение квадратного корня.
2.1. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
1.2. Запишите пример неполного квадратного уравнения.
2.2. Запишите пример квадратного уравнения.
1.3. Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х 2 + х – 3 = 0.
2.3. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: -х 2 + 4х – 7 = 0.
1.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: — 3х 2 + 5х = 0.;
2.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: 5х 2 — 8= 0.
1.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах 2 + с = 0?
2.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах 2 + bх = 0?
1.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?
2.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?
1.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.
2.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.
1.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.
2.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
Давайте проверять ваши работы. Обмениваемся своими бланками ответом с соседом по парте. И сравниваем ваши ответы с ответами на доске (слайд 20). Против правильного ответа ставим “+”, против ошибочного — “-”, если в ответе есть недочет, можно поставить “±”. Выставляем отметки и возвращаем бланки обратно.
1. Квадратным уравнением называется квадратное уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ? 0.
2.1. квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0.
1.2. пример 5х 2 -4х = 0 или 4х 2 – 9 = 0.
2.2. пример 14х 2 – 5х – 1 = 0.
1.4. а = — 3, b = 5, с = 0.
2.4. а = 5, b = 0, с = — 8.
1.5. два или не имеет корней.
2.6. не имеет корней.
1.8. х1,2 =
.2.8. х1,2 =
Учитель собирает работы, проходя по классу, сразу по вариантам, чтобы облегчить работу.
4. Изучение нового материала (слайды 21–24).
- С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.
- Разобрать решение задачи 1 (слайды 21–22).
- Рассмотреть решение задачи 2 (слайды 22 – 23), повторив теорему Пифагора.
- Рассмотреть решение задачи 2 по учебнику Ю.Н. Макарычева на стр. 124, связанную с физикой.
5. Тренировочные упражнения (слайды 24–38).
А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения квадратных уравнений с помощью небольшого тренажера.
(Примечание: Если есть возможность нужно установить такой тренажер на каждый компьютер отдельно, чтобы учащийся мог самостоятельно выполнять тест. Если нет, то проводим тренировочные упражнения коллективно или по очереди отвечая на вопрос.)
При этом, этом если учащийся неправильно ответил на вопрос, он возвращается опять к этому заданию. Если ответил правильно, то переходит к выполнению следующего.
Дается пять заданий. Три задания на составление уравнения по условию задачи, а два задания на решение задачи с помощью квадратного уравнения.
1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.
- х( х – 12) = 315
- х(х + 12) = 315
- 2х + 12 = 315
- 2х – 12 = 315
2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.
- х( х + 17) = 468
- х(х — 17) = 468
- 2х — 12 = 468
- 2х + 12 = 468
3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.
- х( х + 2) = 575
- х(х + 1) = 575
- х • х + 1 = 575
- 2х — 2 = 575
4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если площадь треугольника равна 54 см 2 .
5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 7 см меньше другого, а гипотенуза равна 17 см.
Правильные ответы: 1 – 2; 2 – 1; 3 – 1; 4 – 3; 5 – 2.
6. Подведение итогов. Рефлексия (слайд 39).
- Что мы сегодня повторили на уроке?
- А что нового мы с вами сегодня узнали на уроке?
- Кто доволен своей работой сегодня?
- Какой этап урока вам понравился больше всего?
Хочется отметить, что никто из вас не отнеся к работе равнодушно, и если у кого-то не всё получилось не огорчайтесь: “Дорогу осилит идущий”.
7. Домашнее задание (слайд 40).
П.23, №№ 561, 564, 568 – 570.
1. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2009.
2. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс, М., ВАКО, 2008.
3. Ерина Т.М. Поурочное планирование по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2008.
4. Афанасьева Т.Л. Поурочные планы по учебнику: 8 класс, Волгоград, Учитель, 2007.
5. Глазков Ю.А. Тесты по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2010.
6. Конте А.С. Алгебра 7–9 классы. Математические диктанты, Волгоград, Учитель, 2006.
7. Островский С.Л. “Как сделать презентацию к уроку?”, Первое сентября, 2010.
источники:http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-kvadratnyh-uravnenij/
http://urok.1sept.ru/articles/594621
.