Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac \) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров: Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\). Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3> Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число. Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число. Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$ После преобразований получили линейное уравнение. Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)). Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет. Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у). 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций: В) равносторонней гиперболы. 2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации. 3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. 4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138. 1. Для расчёта параметров линейной регрессии Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b: Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1. Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии Среднее значение определим по формуле: Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле: и занесём полученный результат в таблицу 1. Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию: Параметры уравнения можно определить также и по формулам: Таким образом, уравнение регрессии: Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: Связь прямая, достаточно тесная. Определим коэффициент детерминации: Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения . , следовательно, параметры уравнения определены правильно. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических: В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%. Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста. F-тест состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется по формуле: где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных х. Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит: 2. Степенная регрессия имеет вид: Для определения параметров производят логарифмирование степенной функции: Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наименьших квадратов: Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2. Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции. Получим линейное уравнение: Выполнив его потенцирование, получим: Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. Связь достаточно тесная. В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%. Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит: 3. Уравнение равносторонней гиперболы Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений: Произведем замену переменных и получим следующую систему нормальных уравнений: Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы. Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3. Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости Значения параметров регрессии a и b составили: Связь достаточно тесная. В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%. Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит: По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне. Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать. Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10. Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно. Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>
Ответ: \(a=1.\)Задача №1 Построение уравнения регрессии
Индекс розничных цен на продукты питания (х) Индекс промышленного производства (у) 1 100 70 2 105 79 3 108 85 4 113 84 5 118 85 6 118 85 7 110 96 8 115 99 9 119 100 10 118 98 11 120 99 12 124 102 13 129 105 14 132 112 Требуется:
Решение:
№ п/п х у ху x 2 y 2 1 100 70 7000 10000 4900 74,26340 0,060906 2 105 79 8295 11025 6241 79,92527 0,011712 3 108 85 9180 11664 7225 83,32238 0,019737 4 113 84 9492 12769 7056 88,98425 0,059336 5 118 85 10030 13924 7225 94,64611 0,113484 6 118 85 10030 13924 7225 94,64611 0,113484 7 110 96 10560 12100 9216 85,58713 0,108467 8 115 99 11385 13225 9801 91,24900 0,078293 9 119 100 11900 14161 10000 95,77849 0,042215 10 118 98 11564 13924 9604 94,64611 0,034223 11 120 99 11880 14400 9801 96,91086 0,021102 12 124 102 12648 15376 10404 101,4404 0,005487 13 129 105 13545 16641 11025 107,1022 0,020021 14 132 112 14784 17424 12544 110,4993 0,013399 Итого: 1629 1299 152293 190557 122267 1299,001 0,701866 Среднее значение: 116,3571 92,78571 10878,07 13611,21 8733,357 х х 8,4988 11,1431 х х х х х 72,23 124,17 х х х х х №п/п х у lg x lg y lg x*lg y (lg x) 2 (lg y) 2 1 100 70 2,000000 1,845098 3,690196 4,000000 3,404387 2 105 79 2,021189 1,897627 3,835464 4,085206 3,600989 3 108 85 2,033424 1,929419 3,923326 4,134812 3,722657 4 113 84 2,053078 1,924279 3,950696 4,215131 3,702851 5 118 85 2,071882 1,929419 3,997528 4,292695 3,722657 6 118 85 2,071882 1,929419 3,997528 4,292695 3,722657 7 110 96 2,041393 1,982271 4,046594 4,167284 3,929399 8 115 99 2,060698 1,995635 4,112401 4,246476 3,982560 9 119 100 2,075547 2,000000 4,151094 4,307895 4,000000 10 118 98 2,071882 1,991226 4,125585 4,292695 3,964981 11 120 99 2,079181 1,995635 4,149287 4,322995 3,982560 12 124 102 2,093422 2,008600 4,204847 4,382414 4,034475 13 129 105 2,110590 2,021189 4,265901 4,454589 4,085206 14 132 112 2,120574 2,049218 4,345518 4,496834 4,199295 Итого 1629 1299 28,90474 27,49904 56,79597 59,69172 54,05467 Среднее значение 116,3571 92,78571 2,064624 1,964217 4,056855 4,263694 3,861048 8,4988 11,1431 0,031945 0,053853 х х х 72,23 124,17 0,001021 0,0029 х х х №п/п х у 1 100 70 74,16448 17,34292 0,059493 519,1886 2 105 79 79,62057 0,385112 0,007855 190,0458 3 108 85 82,95180 4,195133 0,024096 60,61728 4 113 84 88,59768 21,13866 0,054734 77,1887 5 118 85 94,35840 87,57961 0,110099 60,61728 6 118 85 94,35840 87,57961 0,110099 60,61728 7 110 96 85,19619 116,7223 0,11254 10,33166 8 115 99 90,88834 65,79901 0,081936 38,6174 9 119 100 95,52408 20,03384 0,044759 52,04598 10 118 98 94,35840 13,26127 0,037159 27,18882 11 120 99 96,69423 5,316563 0,023291 38,6174 12 124 102 101,4191 0,337467 0,005695 84,90314 13 129 105 107,4232 5,872099 0,023078 149,1889 14 132 112 111,0772 0,85163 0,00824 369,1889 Итого 1629 1299 1296,632 446,4152 0,703074 1738,357 Среднее значение 116,3571 92,78571 х х х х 8,4988 11,1431 х х х х 72,23 124,17 х х х х №п/п х у z yz 1 100 70 0,010000000 0,700000 0,0001000 4900 2 105 79 0,009523810 0,752381 0,0000907 6241 3 108 85 0,009259259 0,787037 0,0000857 7225 4 113 84 0,008849558 0,743363 0,0000783 7056 5 118 85 0,008474576 0,720339 0,0000718 7225 6 118 85 0,008474576 0,720339 0,0000718 7225 7 110 96 0,009090909 0,872727 0,0000826 9216 8 115 99 0,008695652 0,860870 0,0000756 9801 9 119 100 0,008403361 0,840336 0,0000706 10000 10 118 98 0,008474576 0,830508 0,0000718 9604 11 120 99 0,008333333 0,825000 0,0000694 9801 12 124 102 0,008064516 0,822581 0,0000650 10404 13 129 105 0,007751938 0,813953 0,0000601 11025 14 132 112 0,007575758 0,848485 0,0000574 12544 Итого: 1629 1299 0,120971823 11,13792 0,0010510 122267 Среднее значение: 116,3571 92,78571 0,008640844 0,795566 0,0000751 8733,357 8,4988 11,1431 0,000640820 х х х 72,23 124,17 0,000000411 х х х №п/п х у 1 100 70 72,3262 0,033231 5,411206 519,1886 2 105 79 79,49405 0,006254 0,244083 190,0458 3 108 85 83,47619 0,017927 2,322012 60,61728 4 113 84 89,64321 0,067181 31,84585 77,1887 5 118 85 95,28761 0,121031 105,8349 60,61728 6 118 85 95,28761 0,121031 105,8349 60,61728 7 110 96 86,01027 0,10406 99,79465 10,33166 8 115 99 91,95987 0,071112 49,56344 38,6174 9 119 100 96,35957 0,036404 13,25272 52,04598 10 118 98 95,28761 0,027677 7,357059 27,18882 11 120 99 97,41367 0,016024 2,516453 38,6174 12 124 102 101,46 0,005294 0,291565 84,90314 13 129 105 106,1651 0,011096 1,357478 149,1889 14 132 112 108,8171 0,028419 10,1311 369,1889 Итого: 1629 1299 1298,988 0,666742 435,7575 1738,357 Среднее значение: 116,3571 92,78571 х х х х 8,4988 11,1431 х х х х 72,23 124,17 х х х х Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения
Общие сведения
Классификация уравнений
Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».
Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.
Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.
К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.
Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.
Алгебраический вид
Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.
На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:
- Линейные.
- Квадратные (квадратичные).
- Кубические.
- Биквадратные.
- Высших порядков.
Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.
Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.
Линейные и квадратичные
Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:
- Записывается искомое выражение.
- При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
- Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.
- Правая часть сокращается на коэффициент при неизвестной.
- Записывается результат.
- Выполняется проверка посредством подстановки корня в исходное выражение.
Следует отметить, что линейное выражение с переменной может не иметь решений, поскольку иногда невозможно выполнить операцию сокращения. Например, 0t=85. Равенство не имеет корней, поскольку на нулевое значение делить нельзя, так как при этом получается пустое множество.
Следующим типом является уравнение квадратичной формы At 2 +Bt+C=0. Оно может иметь один или два решения. Однако бывают случаи, при которых корней нет вообще. Для получения результата вводится понятие дискриминанта «D=(-B)^2−4*А*С». Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:
- Записать выражение.
- Выполнить при необходимости математические преобразования по раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
- Вычислить значение D (D 0 — два решения).
- При D=0 формула корня имеет такой вид: t=-В/(2А).
- Если D>0, то решения определяются по следующим соотношениям: t1=[-В-D^(½)]/(2А) и t2=[-В+D^(½)]/(2А).
- Записать результат.
- Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.
Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.
Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.
Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v 2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.
Кубичеcкие и биквадрaтные
Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной. Однако в некоторых случаях можно применить формулы понижения степени или разложения на множители. Иными словами, суть решения алгебраических уравнений, степень которых превышает двойку, сводится к ее понижению различными методами.
Замена переменной производится на другую неизвестную величину. В примере (t 3 −2)+2t 3 −4=0 можно ввести следующий элемент — v=t 3 −2. В результате этого получится равенство такого вида: v+2v=0. Оно решается очень просто:
- Приводятся подобные элементы: 3v=0.
- Находится корень: v=0.
- Приравнивается к выражению, которое заменяли: t 3 −2=0.
- Находится корень (один, поскольку у радикала нечетная степень): t=[2]^(1/3).
- Проверяется условие: 2^(1/3)^3−2+2*(2^(1/3)^3)-4=4−4=0 (истина).
Биквадратные тождества решаются таким же методом. Однако существует еще один способ — разложение на множители. Его необходимо разобрать на примере решения выражения «4m 4 −324=0». Решать нужно по такому алгоритму:
- Упростить (вынести четверку за скобки и сократить на нее): 4 (m 4 −81)=m 4 −81=0.
- Разложить на множители (разность квадратов): (m 2 −9)(m 2 +9)=(m-3)(m+3)(m 2 +9)=0/
- Решить три уравнения: m1=3, m2=-3, m3=-3 и m4=3.
- Результат: m1=-3 и m2=3.
- Проверка: 4*(-3)^4−324=0 (истинно) и 4*(3)^4−324=0 (истинно).
Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.
Пример решения
На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:
- Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4.
- Выполнить математические преобразования: 2v 4 −32−4p-v 2 +4+v 2 −4-v 4 +16+4=v 4 −16+4p+4=0.
- Ввести замену v 4 −16=m: m+4p+4=0.
- Вывести формулу нахождения параметра: р=-(m/4)-1.
- Подставить величину m: р=-1-(v 4 +16)/4.
- C учетом соотношения равенство будет иметь такой вид: v 4 −16+4[-(v 4 +16−4)/4]+4=-32+8=0 (корней нет, поскольку -24 4 −12=0.
- Корни: v1=[12]^(¼) и v2=-[12]^(¼).
- Отрицательного корня v2 не существует, поскольку показатель радикала — четное число.
- Результат: v1=[12]^(¼).
- Проверка: <[12]^(¼)>^4−16+4=16−16=0 (истина).
Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.
Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.
http://ecson.ru/economics/econometrics/zadacha-1.postroenie-regressii-raschyot-korrelyatsii-oshibki-approximatsii-otsenka-znachimosti-i-prognoz.html
http://nauka.club/matematika/algebra/uravneniya-s-parametrom.html