Составление уравнений прямой параллельной к прямой онлайн

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂, которые не параллельны:

.

(1)

.

(2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂(Рис.1).

Прамая L₁ должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M₁ должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

и поскольку M₁(x₁, y₁, z₁) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L₁, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L₂, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₂ прямой L₂, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(8)

паралленьно другой прямой L₂ :

(9)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= <1, 1, −3>прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

(10)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(12)

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <−13/24,1/6,−1/8>то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(20)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= <5, −8, 3>прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(24)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <11/35,2/35,−13/35>то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Онлайн калькулятор. Уравнение прямой проходящей через две точки

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти параметрическое и каноническое уравнение прямой проходящей через две точки.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения прямой и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение прямой

Выберите необходимую вам размерность:

Введите координаты точек.

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения прямой

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для составления уравнения прямой

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение прямой.

Прямая — один из базовых элементов геометрии. Используя уравнения прямых можно существенно упростить решение многих задач.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.