Составление уравнения движения механической системы

Раздел 1. Основные понятия и определения

1.1. Способы образования механических моделей с конечным числом степеней свободы

Числом степеней свободы механической системы называется число независимых координат, однозначно определяющих положение всех её материальных точек. В задачах динамики положение точек системы меняется с течением времени, следовательно, координаты точек являются функциями времени.

Основная задача динамики состоит в определении этих функций или, как говорят, в определении движения системы. После этого по известным формулам сопротивления материалов определяются внутренние усилия, напряжения и деформации в элементах колеблющегося тела.

Любая реальная механическая система состоит из бесконечного числа материальных точек, связи между которыми не являются абсолютно жёсткими, поэтому число степеней свободы реальной механической системы бесконечно велико. Решение задачи о колебаниях таких систем представляет собой весьма сложную проблему. Получить точное аналитическое решение, как правило, невозможно, а часто и нецелесообразно, поэтому при переходе от реального объекта исследования к расчётной схеме приходится вводить упрощения, связанные с ограничением числа степеней свободы системы.

Можно указать три основных способа образования механических моделей с конечным числом степеней свободы системы.

Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются совсем невесомыми элементами (при этом они могут считаться как жёсткими, так и деформируемыми), а наиболее массивные части принимаются за абсолютно твёрдые тела, которые, в случае их сравнительно небольших размеров, считаются материальными точками.

Например, пружина (рис. 1,а) и балка (рис. 1,б) считаются безмассовыми и упругими, а полосы (рис. 1,в) — безмассовыми и жёсткими. В качестве обобщённой координаты приняты горизонтальное (рис. 1,а) и вертикальное (рис. 1,б ,в ) перемещения. Все указанные модели представляют собой системы с одной степенью свободы.

Аналогичным образом можно образовывать модели с любым конечным числом степеней свободы.

Второй способ состоит в том, что распределённые по всему объёму системы свойства податливости сосредотачиваются в конечном числе точек или линий. При этом система представляется в виде совокупности упруг о- сочленённых жёстких элементов.

Например, упругая балка с непрерывно распределённой массой может быть приближённо заменена рядом жёстких звеньев, соединённых упругими шарнирами, количество которых определяется требуемым уровнем точности решения задачи (рис.2).

Третий способ основан на некоторых предположениях об изменении конфигурации системы в процессе колебаний.

Например, для системы грузов, соединённых пружинами (рис. 3) можно принять, что отношение между перемещениями неизменны во времени, а отношение заранее назначается.

В результате движение системы полностью описывается одной функцией времени, например , через которую выражаются перемещения всех точек системы. Таким образом, реальный объект приведён к механической модели с одной степенью свободы.

По этому же способу для балки на двух опорах можно принять, что форма изогнутой оси остается неизменной в любой момент, а изменяется только её масштаб. Тогда вертикальное перемещение точек балки при её колебаниях, представляющее собой функцию двух переменных, можно представить в виде

где f ( x ) -постоянная функция формы, а q ( t ) -переменная функция времени, являющаяся единственной неизвестной величиной задачи. Одна и та же реальная механическая система может быть приведена к модели с одной или несколькими степенями свободы любым из трёх перечисленных способов.

1.2. Классификация сил, действующих при колебаниях

При определённых допущениях все разнообразные по своей природе внешние и внутренние силы, действующие в колеблющейся системе, можно разделить на несколько характерных групп.

Обобщенные вынуждающие (возмущающие) силы — это внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, не зависящие от движения системы, но влияющие на него. Причины возникновения этих сил весьма разнообразны. Например, при работе электродвигателя, установленного на балке или на каком-либо фундаменте, вследствие неуравновешенности ротора возникает центробежная сила инерции, вертикальная составляющая которой вызывает колебания опорной конструкции. Этот вид возбуждения колебаний называется инерционным. Возможны другие причины возникновения вынуждающих сил, например, периодические изменения давления в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания или периодические изменения сил притяжения электромагнитов, питаемых источником переменного тока.

Все перечисленные случаи представляют собой силовое возбуждение вынужденных колебаний. В некоторых случаях возбуждение колебаний задаётся кинематически , например автомобиль, движущийся по неровной дороге. Такое возбуждение всегда можно заменить эквивалентным силовым возбуждением.

Весьма разнообразны законы изменения возмущающих сил во времени. Наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы. Особую роль здесь играет гармоническая вынуждающая сила, т.е. сила, которая изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Такая сила возникает при работе машин с равномерно вращающимися роторами. Машины с кривошипо-шатунными механизмами также вызывают появление периодической возмущающей силы, которая, однако, не является гармонической.

Возможны также колебания, обусловленные действием непериодических вынуждающих сил, представляющих собой случайные функции времени — случайные процессы. К последним относится, например, уже упоминавшееся воздействие неровной дороги на движущийся автомобиль.

Обобщенные позиционные силы — это силы, зависящие от положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти силы обусловливают способность системы совершать свободные колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна отклонению системы. Свойства упругих связей при этом определяются коэффициентом жесткости, который представляет собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость. При этом упругие свойства связей невозможно определить одним коэффициентом и приходится использовать так называемую упругую характеристику, уравнение которой F = F ( x ) иллюстрируется графиком в координатах x , F . Упругая характеристика строится расчетным путём или экспериментально.

Наряду с силами упругости восстанавливающими свойствами обладают также сила плавучести и в определенных случаях сила тяжести.

Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей и направлены противоположно движению. Эти силы совершают необратимую работу, что приводит к диссипации (рассеянию) механической энергии, поэтому иногда их называют диссипативными силами. Обычно силы трения препятствуют движению; исключение составляют автоколебательные системы. Диссипативные свойства описываются при помощи характеристик трения, которые представляют собой графические зависимости вида . В ряде случаев характеристика трения может быть нелинейной или разрывной.

Силы смешанного характера могут развиваться в сложных механических системах. Характерной особенностью таких сил является принципиальная невозможность их разложения на вышеперечисленные составляющие типа F ( t ) , F ( x ) , F ( ). В качестве примера рассмотрим параметрическую систему — маятник, на который действует вертикальная сила (рис. 4). Момент внешних сил относительно оси шарнира равен сумме моментов силы веса mg и силы F :

.

Этот восстанавливающий момент M зависит не только от смещения , но и от времени t , причём выражение нельзя представить в виде суммы , т.е. невозможно выделить восстанавливающую и возмущающую составляющие общего момента. В автоколебательных системах возможно действие сил вида , также неразложимых на элементарные составляющие типа F ( x ) и .

1.3. Классификация колебаний

Все многообразие окружающих нас колебательных процессов можно классифицировать по ряду характерных признаков.

В соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени, различают периодические и непериодические колебания.

Периодические колебания подчиняются закону:

где величина T называется периодом колебаний. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс почти периодических колебаний, для которых

,

где — почти период, а — сколь угодно малая величина.

Простейшими и в то же время наиболее часто встречающимися являются гармонические колебания (рис.5), которые описываются уравнением

,

где А — амплитуда колебаний; — круговая (или циклическая, или угловая) частота; — фаза колебаний; — сдвиг фазы; величина, обратная периоду колебаний, называется секундной частотой и измеряется в герцах:

.

1 Гц соответствует одному циклу изменения за 1 с .

Часто встречаются периодические, но негармонические колебания (рис. 6). Их всегда можно рассматривать как сумму простых гармонических колебаний. Процесс разложения периодических негармонических колебаний на простые гармонические составляющие (гармоники) называется гармоническим анализом и выполняется при помощи рядов Фурье.

Кроме того, часто встречаются следующие виды колебаний: затухающие (рис. 7,а), нарастающие (рис. 7,б), биения (рис. 7,в).

Все рассмотренные (рис.7) виды колебаний происходят с постоянной частотой при монотонном изменении амплитуды. Возможны также колебания с переменной частотой и постоянной амплитудой или переменными частотой и амплитудой.

Колебания могут происходить относительно нулевого отсчетного уровня, смещённого и переменного.

По способу возбуждения различают 4 типа колебаний: свободные, вынужденные , параметрические и автоколебания.

Свободными (или собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения, вызывающего у точек системы начальное отклонение от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря наличию упругих внутренних сил, восстанавливающих равновесие.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на неё в течение всего процесса колебаний внешних периодически изменяющихся вынуждающих сил.

Параметрическими называются такие колебания упругой системы, в процессе которых периодически изменяются физические параметры систе —

мы — величины, характеризующие её массу или жесткость.

Автоколебаниями упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер взаимодействия которых определяется самим колебательным процессом.

Классификацию колебаний проводят также по виду деформации, возникающей в элементах колеблющейся системы. В частности, применительно к стержневым системам различают продольные, поперечные ( изгибные) и крутильные колебания.

1.4. Методы получения дифференциальных уравнений движения

Можно выделить 3 способа составления уравнений движения. Наиболее общей формой таких уравнений являются уравнения Лагранжа:

( i = 1,2. n ), (1)

где К — кинематическая энергия системы, t — время; — обобщённые координаты; — обобщенные скорости; — обобщенная сила; n — число степеней свободы системы.

Для системы с конечным числом степеней свободы из уравнений (1) можно получить важные соотношения частотного характера, которые удобны при исследовании колебательных систем определенных типов.

Так, в задачах о свободных колебаниях упругих систем без трения обобщенные силы выражаются через потенциальную энергию системы П в виде

( i = 1,2. n ). (2)

При этом уравнения Лагранжа принимают вид

( i = 1,2. n ). (3)

Прямой способ. По этому способу из системы (рис. 8,а) мысленно выделяются сосредоточенные массы, и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка, находящаяся под действием позиционных восстанавливающих сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты (рис. 8,б); для каждой точки записывается соответствующее дифференциальное уравнение движения.

Обратный способ. Здесь после отделения сосредоточенных масс рассматривается оставшаяся безынерционная система жёстких и упругих связей (так называемый безмассовый скелет), которая находится под действием кинетических реакций (сил инерции) отделённых частей системы, причём эти силы инерции выражаются через обобщённые ускорения (рис. 8,в). Для безмассового ( безынерционного ) скелета системы формируются статические соотношения.

При анализе свободных колебаний некоторых консервативных систем с одной степенью свободы удобно применять энергетический способ, который основан на законе сохранения энергии, согласно которому, сумма кинетической и потенциальной энергий системы в процессе колебаний остается неизменной.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Дифференциальное уравнение движения системы в теоретической механике

Дифференциальное уравнение движения системы:

Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из

Систему дифференциальных уравнений (3) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (3) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы. Для нахождения движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы нужно проинтегрировать, следовательно, систему дифференциальных уравнений. Эту задачу не удается точно решить в общем случае даже для одной точки. Она исключительно трудна в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах) и совершенно неразрешима в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах).

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой линии.

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени.

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные первые интегралы и не могут полностью описать движения всех точек системы, однако они иногда характеризуют важные стороны движения системы в целом.

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными.

Общие теоремы динамики являются следствиями системы дифференциальных уравнений движения точки или соответственно системы точек.

• Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
• Теорема об изменении кинетического момента
• Теорема об изменении кинетической энергии
• Потенциальное силовое поле
• Движение несвободной материальной точки
• Относительное движение материальной точки
• Геометрия масс
• Свойства внутренних сил системы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Курсовая работа: Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы

Министерство образования РФ

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет имени академика С.П. Королева (Тольяттинский филиал)

Кафедра математики и механики

Курсовая работа по теоретической механике

«Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы»

Тольятти 2006 г.

1. Исходные данные

2. Исследование относительного движения материальной точки

3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механической системы

3.1. Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

3.2. Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

4. Определение реакций в опорах вращающегося тела

5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода

5.1. Составление уравнений движения системы методом Лагранжа

5.2. Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки

5.3. Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости

Список использованных источников

Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным механическим направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам.

Для закрепления навыков самостоятельного решения задач механики во втором семестре изучения теоретической механики студенты СГАУ выполняют курсовую работу, в которой необходимо провести комплексный анализ движения системы с двумя степенями свободы, пользуясь различными методами теоретической механики.

Теоретическая механика, как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими материальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделями являются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела и деформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшие системы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, и перемещающейся по телу материальной точки.

1. Исходные данные

Сплошной равносторонний треугольник со стороной , имеющий массу вращается вокруг шарнира . В точке – середине канала , на пружине жёсткостью закреплён шарик массой . При вращении треугольника шарик может совершать колебательные движения вдоль канала .

Рисунок 1.1. Схема механической системы

2. Исследование относительного движения материальной точки

Движение материальной точки в подвижной системе отсчета описывается дифференциальным уравнением относительного движения:

(1.1)

Здесь – относительное ускорение материальной точки; – сумма всех внешних и внутренних сил; и – переносная и кориолисова силы инерции соответственно.

Свяжем подвижную систему отсчета с движущимся вдоль канала шариком. Ось проведём вдоль канала, причём возрастание координаты сонаправленно с движением шарика относительно трубки; а ось направим перпендикулярно ей. Вращение треугольника вместе с системой координат вокруг шарнира является переносным движением для шарика. Относительным движением является его перемещение вдоль канала .

Дифференциальное уравнение движения (2.1) для данной системы примет вид:

(2.2)

Рисунок 2.1. Исследование относительного движения материальной точки

Абсолютные значения сил:

;

, где ;

– при постоянной угловой скорости вращения , тогда , где – радиус вращения шарика вокруг шарнира ;

, т. к. угол между относительной и угловой скоростями прямой, отсюда , а направление определяется по правилу Жуковского.

Возьмём проекцию дифференциального уравнения относительного движения (2.2) на координатную ось подвижной системы координат:

(2.3)

Радиус переносного вращения шарика:

(2.4)

С учётом значений сил и формулы (2.4), уравнение (2.3) принимает вид:

Отсюда получаем значение реакции связи :

(2.5)

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 2).

Теперь спроецируем дифференциальное уравнение (2.2) на координатную ось :

(2.6)

При подстановке известных значений получим:

(2.7)

Приведём (2.7) к следующему виду:

(2.8)

Здесь – это собственная частота. Для нахождения зависимости решим данное уравнение.

– решение искомого дифференциального уравнения будет складываться из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения .

Общее решение имеете вид: (2.9).

Найдём частное решение уравнения (2.8), оно будет иметь вид: . Первая и вторая производные: , .

Подставляя частное решение и его производные в (2.8), получим:

Находим значения постоянных коэффициентов: , .

(2.10)

Тогда, исходя из (2.9) и (2.10), решение исходного дифференциального уравнения:

Для определения констант интегрирования, используем начальные условия:

, или ; откуда .

, или , откуда .

Подставив значения и , и сгруппировав слагаемые, получим дифференциальные уравнения относительного движения шарика и его скорости:

(2.11)

Здесь , , , , .

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 1).

3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механической системы

3.1 Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

Механической системой называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек. Получаемые для системы материальных точек теоремы и соотношения можно распространить и на системы, состоящие из одного или нескольких взаимосвязанных твердых тел. Ограничения, накладываемые на движение точек и тел механической системы, называются связями. Исходя из принципа освобождаемости от связей, движение каждой точки системы можно рассматривать как движение свободной точки, если заменить действие связей реакциями этих связей. Тогда для каждой точки, согласно основному уравнению динамики материальной точки, имеем:

(3.1.1)

и – масса и ускорение некоторой точки механической системы; и – внешние и внутренние силы (уже включают в себя реакции связей).

Уравнение (3.1.1) – это основное уравнение динамики, следствием его являются теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии. Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счёт внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.

Теорема об изменении кинетического момента формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра:

(3.1.2)

Здесь – кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра ; он является мерой движения системы вокруг этого центра и складывается из кинетических моментов всех точек и тел, входящих в эту систему; – главный момент внешних сил относительно неподвижного центра .

Определим главный момент внешних сил:

, где и – плечи сил тяжести шарика и треугольника;

(3.1.3)

Определим кинетический момент системы. Он складывается из кинетических моментов шарика и треугольника: .

Рисунок 3.1.1. Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

, где модуль переносной скорости равен .

(3.1.4)

, – момент инерции треугольника относительно шарнира . Определим его по теореме Штейнера:

(3.1.5)

(3.1.6)

Учитывая (3.1.4) и (3.1.6), кинетический момент системы равен:

(3.1.7)

Продифференцируем выражение (3.1.7):

(3.1.8)

Подставив найденные значения в (3.1.2), теорема об изменении кинетического момента примет вид:

(3.1.9)

3.2 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

При действии внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение механической системы вокруг шарнира , последнее слагаемое в левой части равенства (3.1.9) обращается в нуль:

, ; отсюда .

Тогда выражение (3.1.9) примет вид:

(3.2.1)

направлен противоположно главному моменту внешних сил, то есть, против часовой стрелки.

Внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение конструкции, равен:

(3.2.2)

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 3).

4. Определение реакций в опорах вращающегося тела

Определим реакции в опоре вращающегося тела методом кинетостатики. Он заключается в решении задачи динамики средствами (уравнениями) статики. Для каждой точки механической системы справедливо основное уравнение динамики:

(4.1)

Здесь и – масса и ускорение некоторой точки системы; – сумма всех активных сил и реакций связей, приложенных к ней.

Основному уравнению динамики (4.1) можно придать вид уравнения статики:

(4.2)

Здесь – сила инерции точки механической системы.

Рисунок 4.1. Определение реакций в опорах вращающегося тела

Для заданной механической системы уравнение статики (4.2) имеет вид:

(4.3)

Для определения реакции шарнира нам необходимо и достаточно взять за координатные оси – неподвижные оси и , и определить составляющие реакции шарнира на эти оси:

(4.4)

Подставив значения сил, получим:

(4.5)

Теперь спроецируем (4.2) на неподвижную ось :

(4.6)

Подставив известные значения сил, получим:

(4.7)

Полную реакцию в шарнире можно найти по формуле: , где и определяются выражениями (4.5) и (4.7); график её зависимости от времени приведён в приложении к курсовой работе (рис. 4).

5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода

5.1 Составление уравнений движения системы методом Лагранжа

Уравнения второго рода являются одним из наиболее удобных приёмов составления уравнений движения механических систем. Они имеют следующий вид:

(5.1.1)

Здесь – кинетическая энергия системы; , , , – обобщённые координаты, скорости и силы соответственно; – число степеней свободы.

Уравнения (5.1.1) образуют систему уравнений второго порядка относительно функций , а порядок данной системы равен . Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат . В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством инвариантности.

Как видно из (5.1.1), для получения уравнений Лагранжа необходимо найти соответствующие производные от кинетической энергии системы и определить обобщённые силы.

Определим кинетическую энергию системы. Она будет складываться из кинетических энергий треугольника и шарика: .

Подставив значение из (3.1.5), получим:

(5.1.2)

Кинетическая энергия шарика определяется его массой и относительной и переносной скоростями:

С учётом известных значений скоростей, получим:

(5.1.3)

Кинетическая энергия системы равна:

(5.1.4)

Найдём производные от кинетической энергии согласно (5.1.1):

(5.1.5) (5.1.6)

(5.1.7) (5.1.8)

Рисунок 5.1.1. Определение кинетической и потенциальной энергий системы

Теперь, исходя из (5.1.1), нужно определить обобщённые силы. Данная механическая система является консервативной, мы можем определить обобщённые силы через потенциальную энергию по формуле:

(5.1.9)

Найдём потенциальную энергию. Она будет складываться из работ консервативных сил по перемещению тела из нулевого положения: . За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начальный момент времени, при :

– энергия положения шарика;

– энергия положения прямоугольника;

– потенциальная энергия силы упругости;

Потенциальная энергия системы равна:

(5.1.10)

Найдём обобщённые силы:

(5.1.11)

(5.1.12)

Теперь можем записать систему уравнений Лагранжа II рода:

(5.1.13)

(5.1.14)

5.2 Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки

(5.1.13) и (5.1.14) – это система уравнений Лагранжа II рода; первое из них представляет собой дифференциальное уравнение относительного движения. При сравнении (5.1.13) с уравнением относительного движения (2.7) видно, что уравнения тождественны:

(2.7)

(5.1.13)

5.3 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

(5.1.14) – это уравнение уравнения движения твердого тела без ограничения на закон изменения угловой скорости вращения. Определим величину внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение:

(5.1.14)

При действии внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение, уравнение (5.1.14) примет вид:

(5.3.1)

(5.2.2)

Сравним с полученным ранее значением:

(3.2.2)

Итак, два разных способа определения внешнего момента дали один результат.

6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости

Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания – это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).

Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Согласно основному уравнению статики, для того чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

(6.1)

– обобщённые силы; – число обобщённых координат в механической системе.

В нашем случае механическая система находится в потенциальном силовом поле; из уравнений (6.1) получаем следующие условия равновесия:

(6.2)

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения. Достаточные условия устойчивости положений равновесия для консервативных систем определяются теоремой Лагранжа – Дирихле: «Положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в нём потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум».

Определим положения равновесия для заданной механической системы, используя ранее найденные обобщённые силы (5.1.11) и (5.1.12) из системы уравнений:

(6.4)

Решение системы средствами MathCAD приведено в приложении Б к курсовой работе.

Для нашей механической системы имеем:

Первое положение равновесия: , .

Второе положение равновесия: , .

Используя теорему Лагранжа – Дирихле определяем, что первое положение равновесия является не устойчивым, а второе – устойчивым.

Рисунок 6.1. Положения равновесия механической системы

Найдем вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам:

Для исследования устойчивости положения равновесия необходимо исследовать на знакоопределенность матрицу жесткости, составленную из значений выражения (6.5) в этом положении равновесия.

1)

Положение равновесия не устойчивое

2)

Положение равновесия устойчивое

В данной курсовой работе была исследована механическая система с двумя степенями свободы. В результате были достигнуты изначально поставленные цели, а именно:

— получен закон относительного движения материальной точки;

— составлено уравнение движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента, определено значение внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение конструкции;

— найдены реакции в опорах вращающегося тела;

— проведено исследование движения механической системы с помощью уравнений Лагранжа II рода, в результате которого получены уравнение относительного движения материальной точки и закон изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости;

— определены положения равновесия механической системы и исследована их устойчивость;

В приложениях к курсовой работе приведены результаты численного интегрирования, а так же графики зависимостей определяемых величин.

Список использованных источников

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. и др.: Курс теоретической механики, том 1 и том 2, Москва, «Наука», 1970.

2. Яблонский А.А., Норейко С.С.: Курс теории колебаний, Москва, Высшая школа, 1966.

3. Динамика точки и механической системы: Учебное пособие для курсового проектирования / Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А.; Под ред. проф. В.С. Асланова. – Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара, 2001 – 84 с.