Составление задач по линейному уравнению

Составление и решение задач с помощью линейных уравнений в 7-м классе

Разделы: Математика

Основная цель: учить составлять уравнения к задаче.

В ходе урока учащиеся смогут:

• находить связи между данными в задаче;
• использовать виды сравнения при составлении задач;
• решать линейные уравнения;
• составлять уравнения по тексту задачи;
• составлять задачу по схеме;
• составлять задачи к данному уравнению;
• оценить результат своей работы и результат работы групп;
• работать в группе.

Этапы урока:

1. Обзор
2. Мотивация
3. Составление и решение задач
4. Применение. Работа в группе
5. Обмен информацией
6. Рефлексия
7. Итог урока
8. Домашнее задание

Материалы к уроку:

1. Таблички с формулами: S = v · t, А = N · t, Д = N · t, С = Ц · К.
2. Листы бумаги с незаполненными таблицами.
3. Карточки для работы в группах.
4. Ватман, фломастеры.

Ход урока

I. Обзор

— Даны два числа: 30 и 12.
— Свяжите между собой два числа: 30 и 12. (Учащиеся, используя виды сравнений, связывают эти числа различными действиями).

1) (Сумма): 30 + 12 = 42
2) (Разностное сравнение): 30 – 12 = 18
3) (Кратное сравнение): 30: 12 = 2,5 (раз)

4) (Нахождение дроби от числа):

5) (Нахождение процентов от числа):

• 100% = 40%

— Сформулируйте вопрос к каждому действию.

(Ответы учащихся:
— Чему равна сумма чисел 30 и 12?
— На сколько одно число больше (меньше) другого?
— Во сколько раз одно число больше другого?
— Какую часть составляет одно число от другого?
— Сколько процентов составляет одно число от другого?)

В ходе обсуждения повторяются так же правила нахождения дроби от числа, процента от числа.

II. Мотивация

Учитель: Итак, используя эти два числа 30 и 12, мы составим задачи. Ещё Джанни Родари говорил, что чтобы научиться думать, надо научиться придумывать. Эти слова можно перефразировать так: «Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться их составлять».

— Как составлять задачи? Как авторы учебников составляют задачи?

Вот этому мы сегодня будем учиться.

— Представим себе: утро, вы собираетесь и идёте в школу (проходите какое – то расстояние S), далее, вы идете в школу, родители – на работу (выполняете какую – то работу Р). Для чего работать? Заработать деньги (Д – деньги). Для чего нужны деньги? Чтобы покупать в магазине товар (С – стоимость).

На доске появляется такая схема:

III. Составление задач и решение задач вместе с учителем

— Начнем с задач на стоимость.

— Cоставим задачу, извлекая данные из таблицы:

(В таблице выделенные данные становятся неизвестными величинами, а невыделенные – известными).

Дети составляют задачу по схеме: 30; 120; на 1; 420.

Мама купила яблоки и груши на сумму 420 рублей. Сколько килограммов яблок купила мама, если яблоки стоят 30 рублей за килограмм, а груши – 120 рублей?
(можно задать еще 3 вопроса к этой задаче по числу выделенных чисел).

(учащиеся рассуждая, заполняют пустые клетки таблицы)

Пусть х(кг) купили яблок, тогда груш купили (х + 1)кг; 30х(р.) уплатили за яблоки и 120(х + 1)р. уплатили за груши.
Зная, что за всю покупку уплатили 420 рублей, составим и решим уравнение: 30х + 120(х + 1) = 420 .
30х + 120х + 120 = 420
150х + 120 = 420
150х = 420 — 120
150х = 300
х = 300 : 150
х = 2.

Итак, 2кг яблок купила мама.

(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1).

Ответ: мама купила 2кг яблок.

— Составим еще 2 уравнения к этой задаче.

— Сформулируйте вопрос на нахождение количества купленных груш.
Сколько килограммов груш купила мама?

Пусть у (кг) груш купила мама, тогда (у — 1)кг купили яблок. 30(у — 1)р. — она уплатила за яблоки; 120у (р.) – мама уплатила за груши.
По условию задачи известно, что за всю покупку мама уплатила 420 рублей.
Составим и решим второе уравнение: 30(у — 1) + 120у = 420 .
30у — 30 + 120у = 420
150у = 420 + 30
150у = 450
у = 3.

Итак, 3кг яблок купила мама.

(Сверяем полученный результат с данными в таблице № 1).

Ответ: мама купила 3кг яблок.

— Сформулируйте вопрос на нахождение стоимости яблок.
Сколько денег мама уплатила за яблоки?

Составим и решим уравнение: z + 120((z / 30) + 1) = 420 .
z + 120(z / 30) + 120 = 420
z + 4z + 120 = 420
5z = 420 — 120
5z = 300
z = 60.

Итак, 60 рублей мама уплатила за яблоки.

(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1). Получилось!

Ответ: 60 рублей мама уплатила за яблоки.

— Сформулируйте четвертый вопрос.
Сколько денег мама уплатила за груши?

Составим и решим уравнение: 30((a / 120) — 1) + а = 420 .
30a / 120 — 30 + а = 420
a / 4 — 30 + а = 420
5a / 4 — 30 = 420
5a / 4 = 420 + 30
5a / 4 = 450
a = 360.

Итак, за груши мама уплатила 360 рублей.
(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1). Получилось!

Ответ: 360 рублей мама уплатила за груши.

— К составленным четырем уравнениям придумайте задачи на движение, работу.
(Заслушиваются составленные задачи, в ходе обсуждения корректируется текст задач).

IV. Применение (Работа в группах)

(Формируется 6 групп по 4 человека в каждой группе. Задачи предлагаются на разные темы).

Задание группе №1
А) Решить задачу, заполняя таблицу:
У кассира набралось монет достоинством в 50, 20 и 10 р. всего на сумму 1600 рублей. Определить, сколько было монет каждого достоинства, если число 20-рублевых монет было на 10 меньше, чем 50-рублевых, а число 10-рублевых монет было в 2 раза больше, чем 50-рублевых.

Б) Составить задачу про монеты 20, 10, 5 р. Рассказать условие задачи по её уравнению
5х + 3·(х + 40) + 2·(х + 40)·3 = 4800.
В) Проверить тождество 50·3 + 20·(3 + 5) + 10(3·5) = 460.
Заменить в тождестве число 3 всюду буквой в. Составить задачу и решить её.

Задание группе № 2
А) Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Когда длину прямоугольника увеличили на 3м, а ширину оставили той же самой, то площадь прямоугольника увеличилась на 36м 2 . Найти первоначальные размеры прямоугольника. (Изобразить условие на рисунке).
Б) Составить и решить задачу про площади двух прямоугольников на основе уравнения
(х + 12)2х — х·2х = 48.
В) Составить и решить аналогичную задачу на основе тождества
(20 + 5)·4·20 — 20·(4·20) = 400.
Проверить тождество. Всюду в нем заменить число 20 буквой у.

Задание группе № 3
А) Решить задачу, заполняя таблицу:

По круговой дорожке, длина которой 360м, движутся навстречу друг другу два конькобежца. Скорость первого конькобежца на 2м/с больше скорости второго. Определить скорости конькобежцев, если они встречаются через каждые 90с.
Б) Рассказать и решить задачу на основе следующего уравнения:
30х + 30(х — 2) = 240.
В) Составить и решить задачу на основе числового тождества
20·8 + 20(8 – 3) = 260. Всюду в тождестве заменить число 8 буквой а.

Задание группе № 4
А) Решите задачу:
Во дворе бегают куры и поросята, причем число голов равно 19, а число ног 54. Сколько кур и сколько поросят?
Б) Составить и решить похожую задачу к следующему уравнению:
4в + 2·(10 – в) = 38.
В) Составить задачу про число вершин 15 различных многоугольников (из них 8 квадратов, а остальные – треугольники) на основе тождества
4·8 + 3(15 – 8) = 53. Заменить в тождестве число 8 буквой у. Рассказать условие задачи. Решить задачу.

Задание группе № 5
А) Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6 часов, мастер – 8 часов, и вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик?
Б) Рассказать и решить аналогичную задачу на основе следующего уравнения:
30х + 30(х — 2) = 240.
В) Составить и решить задачу на основе числового тождества
20·8 + 20(8 – 3) = 260. Всюду в тождестве заменить число 8 буквой а.

Задание группе № 6
А) Решить задачу, заполняя таблицу:

Фермер ехал от села до станции на велосипеде со скоростью 15км/ч, а от станции до города поездом со скоростью 50км/ч. Весь путь он проехал за 5ч. Сколько часов он ехал на велосипеде и сколько поездом, если поездом он проехал расстояние, на 55км большее, чем на велосипеде?
Б) Составить и решить задачу на основе следующего уравнения:
12к — 4·(6 – к) = 8.
В) Составить и решить задачу на основе тождества:
6·80 — 5·(100 – 80) = 380.
Проверить это равенство. Заменить в нем число 80 буквой х. Рассказать условие составленной задачи.

V. Обмен информацией

Группы представляют результаты своей работы: зачитывают задачи, показывают решение и схемы, определяют вид задачи, отвечают на вопросы, которые возникли у учащихся.

VI. Рефлексия

Учащиеся оценивают свою работу на уроке, оценивают ответы учащихся, что получилось, чему ещё надо научиться.

VII. Итог урока

VIII. Домашнее задание

1) Составить уравнение на основе тождества, заменив в нем число 30 буквой k:

2) Составить задачу к полученному уравнению.

Итак, в ходе урока учащиеся продемонстрируют умение:

1. определять вид текстовой задачи;
2. устанавливать связи между компонентами задачи;
3. находить способ решения, соответствующий условию задачи;
4. составлять символические схемы и таблицы;
5. составлять уравнение к задаче;
6. составлять задачи по заданному уравнению.

Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений

Содержание

Раньше с помощью уравнений вы часто решали текстовые задачи, так как этот способ наиболее универсален и прост для нахождения ответа. В данном уроке:

• сформулируем основные понятия
• разберем алгоритм действий
• узнаем, на что обращать особое внимание
• прорешаем примеры таких задач

Для лучшего понимания темы вспомним, что такое текстовая задача:

Текстовая задача – описание с помощью слов какой-то ситуации, где в итоге требуется что-то из перечисленного:
— дать количественную характеристику какого-то элемента этой ситуации
— установить наличие какого-то отношения между элементами (либо его отсутствие)
— определить вид этого отношения

О том, что такое линейное уравнение, мы говорили в предыдущем уроке.

Решение задачи и математическая модель

Когда от нас требуется решить задачу, мы должны с помощью правильной цепочки действий над имеющимися в задании данными выполнить указанное в ней требование.

Почему важно научиться решать задачи? Часто они описывают какие-то реальные ситуации, которые вам будут попадаться в жизни дальше. И их придется решать.

В процессе нахождения ответов для разнообразных текстовых задач мы можем математическим языком (с помощью цифр) записать все данные. В результате перевода условия задачи из словесного в математический язык и получается уравнение. Это уравнение часто называют математической моделью ситуации.

Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.

Мы должны не просто составить уравнение по написанному в задаче условию, но и, конечно, решить его. То есть необходимо найти корень составленного уравнения. Но и найденный корень – это, как правило, еще не решение.

В младших классах вы находили ответы для задач попроще. Далее они станут сложнее и сложнее, и с найденным корнем уравнения нужно будет произвести какие-то дальнейшие действия. А потом необходимо обязательно удостовериться, не противоречит ли полученный ответ логике.

Важно: Иногда бывает, что у задачи нет правильного ответа и нужно быть особо внимательным при его формулировке.

Рассмотрим на самом простом примере

Несколько ребят на уроке труда собирали яблоки в саду около школы. Всего они насобирали $29$ кг яблок. Каждый из учеников собрал по $4$ кг яблок. Сколько ребят собирали яблоки в саду около школы?

Составим уравнение, обозначив количество учеников за $x$. Получим: $$4x = 29$$ $$x = \frac <29><4>$$$$x = 7,25$$

У нас получилось нецелое число. Но может ли быть количество ребят нецелым числом? Конечно, нет, поэтому такая задача решения не имеет.

Ответ: решения нет.

Разберем другой пример.

Сейчас папе $46$ лет, а сыну $16$. Сколько лет назад папа был старше сына в $3$ раза?

Сначала найдем разницу в возрасте папы и сына: $$46-16 = 30$$ То есть, сын родился, когда папе было $30$ лет. Эта разница в возрасте будет сохраняться всю жизнь. Например, когда ребенку было $5$ лет, то папе все равно было на $30$ лет больше.

Теперь по условию задачи обозначим за $x$ возраст сына в момент, когда он был в 3 раза младше папы. Тогда папе в это же время было $3x$ лет. А разница между $3x$ и $x$, как мы выяснили, равна $30$ годам.

Составим уравнение: $$3x-x = 30$$ Упростим и решим его: $$2x = 30$$ $$x = 15 (лет)$$ Получили ли мы ответ? Еще нет, так как мы нашли только возраст сына. А в задаче требуется узнать, сколько лет назад случилась описанная ситуация. Если сейчас сыну $16$ лет, а тогда ему было $15$, то найдем разницу: $$16-15 = 1 (год)$$ То есть, мы выяснили, что папе было в $3$ раза больше, чем сыну один год назад. Это и будет ответом на нашу задачу.

Ответ: $1$ год назад.

Как видите, в данном задании найденный корень уравнения еще не был нужным нам ответом, и необходимо было решать дальше.

Важно: корень составленного к задаче уравнения – это часто еще не ответ на поставленный в ней вопрос!

Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения

Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:

1. Выбрать, какую неизвестную величину обозначить за переменную $x$.
2. Через введенную переменную выразить остальные неизвестные величины.
3. На основе имеющихся данных составить уравнение и решить его.
4. При необходимости найти другие неизвестные величины.
5. Проанализировать, соответствуют ли полученные результаты смыслу задачи.
6. Сформулировать и записать ответ.

Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу.

К примеру, решим такую задачу: в столовой на одной полке было в $2$ раза больше кружек, чем на другой. Перед очередным классом с первой полки взяли $16$ кружек, но потом на другую поставили $4$. В итоге на обеих полках оказалось одинаковое количество кружек. Найдите, сколько на каждой полке кружек было первоначально.

Решение. Обозначим исходное количество кружек на второй полке за $x$ и составим таблицу:

Так как по условию задачи кружек на обеих полках стало поровну, то $$2x-16 = x+4$$ Упростим и решим, перенеся $x$ влево, а $16$ вправо с противоположным знаком: $$2x-x = 16+4$$ $$x=20$$ Так мы нашли исходное количество кружек на второй полке. Тогда на первой полке было: $$20\times 2 = 40 (кружек)$$

Ответ: на первой полке было $40$ кружек, а на второй $20$.

Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной

Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения

Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения:

• Проанализировать условие задачи, обозначить неизвестное буквой и составить уравнение.
• Решить полученное уравнение.
• Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Задачи с решениями

Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.

Пусть сторона AB=x.

Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43

$$5x+3 = 43 \iff 5x = 40 \iff x = 40:5 = 8$$

AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см

Ответ: 8 см, 16 см и 19 см

Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.

Пусть x – расстояние между станциями.

По условию разность затраченного времени:

Решаем: $ \frac <60>— \frac <70>= \frac<1> <2>| \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210 $

Расстояние между станциями 210 км

Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?

Пусть x — количество изготовленных деталей.

Количество деталей в день, шт./дни

Количество дней, дни

По условию разность между количествами деталей в день:

Решаем: $ \frac <4>— \frac <5>= 12 | \times 20 \iff 5x-4x = 240 \iff x = 240 $

Бригада изготовила 240 деталей.

Ответ: 240 деталей

Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.

Пусть x — меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6

$$ 90-6 = 3x+x \iff 4x = 84 \iff x = 21 $$

Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.

Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?

Пусть x — число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.

$$ \frac<37+x> <13+x>= 3 \iff 37+x = 3(13+x) \iff 37+x = 39+3x \iff 37-39 = 3x-x \iff $$

$$ \iff 2x = -2 \iff x = -1 $$

Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.

$$ \frac<37+x> <13+x>= 2 \iff 37+x = 2(13+x) \iff 37+x = 26+2x \iff 37-26 = 2x-x \iff $$

Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.

Ответ: год назад; через 11 лет

Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?

Пусть x — возраст сына в этом году.

Возраст сына, лет

Возраст отца, лет

И для отца, и для сына пройдёт три года:

$$ 4(x+1)-5(x-2) = 3 \iff 4x+4-5x+10 = 3 \iff 4x-5x = 3-14 \iff -x = -11 $$ $$ x = 11 $$

Сейчас сыну 11 лет.

В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.

Ответ: 11 лет и 47 лет.

Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.

Пусть x — первая цифра данного числа, число десятков.

По условию разность чисел:

$$ (70-10x+x)-(10x+7-x) = 9 \iff 70-9x-9x-7 = 9 \iff $$ $$ \iff -18x = 9-63 \iff -18x = -54 \iff x = 3 $$

Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.

Данное число 34.

Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?

Пусть x – расстояние от посёлка до станции.

Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:

30 мин+12 мин = 42 мин = $\frac<42><60>$ ч = 0,7 ч

$ \frac<25>— \frac <32>= 0,7 | \times 32 \cdot 25 $

$ 32x-25x = \frac<7> <10>\cdot 32 \cdot 25 = 7 \cdot 16 \cdot 5 $

$ 7x = 7 \cdot 16 \cdot 5 \iff x = 16 \cdot 5 = 80 $

Расстояние 80 км.

Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.

Пусть x — исходное число.

Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x — на количество десятков, последняя 4 – на количество единиц. Соотношение чисел:

Решаем: $ 4004+10x = 54x \iff 4004=44x \iff x = \frac<4004> <44>= \frac<1001> <11>= 91 $

Исходное число x = 91.

Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?