Составьте квадратные уравнения по их корням

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение и его корни

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac<1> <2>\right)(x+3) $$

$$ x_1 = \frac<1><2>, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac<5><2>, \quad x_1 x_2 = — \frac<3> <2>$$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ \left(x-\frac<1> <3>\right) \left(x-\frac<1> <2>\right) = x^2- \left(\frac<1><3>+\frac<1> <2>\right)x+\frac<1> <3>\cdot \frac<1> <2>= x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>$$

Искомое уравнение: $x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>= 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) \frac<3><5>$ — один корень

$$ \left(x-\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-2 \cdot \frac<3> <5>x+ \left(\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-\frac<6> <5>x+\frac<9><25>$$

Искомое уравнение: $x^2-\frac<6> <5>x+ \frac<9> <25>= 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

$$ <\left\< \begin x_2+12 = -3 \\ 12x_2 = c \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_2 = -15 \\ c = 12 \cdot (-15) = -180 \end \right.> $$

Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -15, c = -180

Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

Не решая его, постройте уравнение:

а) с корнями $y_1 = \frac<1>, y_2 = \frac<1>$

По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2-\frac<5> <7>y-\frac<1> <7>= 0 \iff 7y^2-5y-1 = 0 $$

б) с корнями $y_1 = \frac ,y_2 = \frac $

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2+\frac<39> <7>y+1 = 0 \iff 7y^2+39y+7 = 0 $$

Квадратные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Равенство , в котором х—неизвестное и а не равно нулю, представляет собой общий вид квадратного уравнения.

В этом уравнении называется высшим членом, bх — членом, содержащим первую степень неизвестного, а с — свободным членом.

Квадратное уравнение есть уравнение 2-й степени. При b = 0 и с = 0 оно принимает вид = 0 и называется неполным.

Уравнения также называются неполными.

Уравнение называется приведенным.

Если все члены уравнения разделить на а, оно примет вид приведенного уравнения

в котором

Напомним, что решением или корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого вместо неизвестного уравнение обращается в верное равенство. Например, числа 3 и —3 являются корнями уравнения

Числа 3 и 5 являются корнями уравнения

Числа и 0 являются корнями уравнения

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).

Решение неполных квадратных уравнений

1. Уравнения вида

Уравнение имеет единственное решение х = 0. Действительно, так как , то из следует, что , а потому и х = 0. Любое другое значение буквы х не будет решением уравнения .

2. Уравнение вида

Уравнение равносильно уравнению

Если одновременно а > 0 и с > 0 или одновременно а

решений ие имеет, так как квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу . Значит, и исходное уравнение также не имеет действительных корней. Например, уравнения

действительных корней ие имеют:

Если же одновременно а>0 и с 0, то будет положительным числом. В этом случае уравнение , а вместе с ним и исходное уравнение имеют два решения:

т. е. два корня:

(Мы здесь воспользовались тем, что уравнение, например, удовлетворяется как при х = 7, так и при х = — 7.) Например, уравнение имеет два решения:

т. е. два корня: 5 и —5.
Уравнение имеет два решения:
т. е. два корня: и

3. Уравнения вида

Уравнение равносильно уравнению

Но уравнение имеет два решения:

т. е. два корня: 0 и .

Следовательно, и равносильное уравнение имеет те же два корня.

Обратим внимание на то, что один из двух корней уравнения вида всегда равен нулю.

Примеры:

Уравнение имеет два корня: 0 и .

Решение полного квадратного уравнения

1. Для решения уравнения

преобразуем его левую часть путем выделения полного квадрата (см. стр. 107):

Теперь мы можем заменить уравнение

равносильным ему уравнением

Так как , получим, что

Теперь рассмотрим в отдельности три возможных случая.

Случай 1.

В этом случае преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное не может иметь действительных корней, так как квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу

Случай 2.

а потому

Преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное будет иметь одно решение:

один корень .

Случай 3.

будет равно либо

Следовательно, первоначальное уравнение будет иметь два решения:

Оба эти решения можно записать так:

Выражение называется дискриминантом* уравнения

Из формулы (I) видно, что корни квадратного уравнения определяются дробью, знаменателем которой служит удвоенный коэффициент высшего члена, а числителем—коэффициент при неизвестном первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из дискриминанта.

Мы видели, что один корень квадратного уравнения

определяется по формуле

а другой—по формуле

В том случае, когда уравнение имеет два различных действительных корня.

В том же случае, когда оба корня становятся одинаковыми. В этом случае условимся говорить, что уравнение имеет опять же два действительных корня, но не различных, а одинаковых. Этот повторяющийся два раза корень будем называть двукратным корнем или корнем кратности два.

Наконец, в том случае, когда уравнение не имеет ни одного действительного корня. (Как мы узнаем дальше, в этом случае уравнение имеет два различных мнимых корня.)

Таким образом, квадратное уравнение всегда имеет два корня: либо действительных различных, либо действительных одинаковых, либо мнимых различных. Например, уравнение имеет два различных действительных корня . Уравнение имеет два одинаковых действительных корня: , т. е. имеет один двукратный корень 5. Уравнение имеет два различных мнимых корня: . Уравнение имеет два равных корня: ,, т. е. один двукратный корень, равный нулю. Уравнение имеет два равных корня: и т. е. один двукратный корень 3. Уравнение имеет три равных корня: т. е. один трехкратный корень, равный нулю.

Уравнение имеет один корень 3, кратность которого равна q (иначе говоря, один корень кратности q).

Поясним происхождение понятия кратного корня. Уравнение

можно представить в виде

Приравнивая нулю каждый множитель, содержащий неизвестное, получим q корней, каждый из которых равен 3, т. е. число 3 окажется корнем кратности q. Корень, кратность которого равна единице, называется простым.

Уточнение определения о равносильности уравнений

Теперь, когда мы ввели понятие о кратности корней уравнения, нам необходимо уточнить определение о равносильности уравнений, данное ранее (стр. 185).

Если всякий корень кратности q одного уравнения являете я корнем той же кратности другого уравнения и наоборот, то такие уравнения называются равносильными.

не равносильны. (Для первого уравнения единица является двукратным корнем, а для второго лишь простым.) Уравнения

не равносильны. (Для первого уравнения число 7 является трехкратным корнем, а для второго лишь двукратным.)

Примеры квадратных уравнений:

Значит,

Уравнение действительных корней не имеет.

Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению

Задача:

В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины (рис. 74). Длину первой комнаты хотят сделать в раза больше ее ширины, а длину второй — равной 7,2 м.

Найти ширину этих комнат, если их общая площадь должна быть равной 56,7 кв. м.

Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой х.
Тогда площадь первой комнаты будет равна , а площадь второй . По условию задачи
или

Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условиям задачи. Но самой задаче удовлетворяет лишь первый корень, так как ширина комнаты отрицательной быть не может.

Итак, искомая ширина равна 4,2 м.

Задача:

Пароход должен был пройти расстояние 48 км с определенной средней скоростью. Но по некоторым причинам он шел первую половину пути со скоростью, на 2 км в час меньшей, и вторую половину со скоростью, на 2 км большей, чем ему полагалось. Таким образом, пароход затратил на весь путь 5 час. На сколько минут опоздал пароход?

Пусть средняя скорость парохода должна была быть х км в час. На прохождение первой половины пути пароход затратил часа, а второй половины часа.

Получилось дробное уравнение. Преобразуем его к виду целого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, входящих в него. После этого получим:

Числа 10 и , несомненно, являются корнями уравнения

Но мы еще не можем быть уверены в том, что они являются и корнями первоначального уравнения

так как во время преобразований мы умножили левую и правую части уравнения (1) на выражение , содержащее неизвестное.

Проверка показывает, что оба эти числа удовлетворяют и первоначальному уравнению.

Действительно, оба равенства

оказываются верными. Итак, числа 10 и удовлетворяют уравнению

Но из них только число 10. удовлетворяет условиям самой задачи, так как в этой задаче скорость отрицательной быть не может. Значит, средняя скорость парохода была равной 10 км в час.

Теперь выясним, насколько же минут опоздал пароход с прибытием к месту назначения. Поскольку все расстояние было равно 48 км, а средняя скорость, с которой он должен был пройти это расстояние, составляла 10 км/час, на весь путь он должен был затратить часа, т. е. 4 часа 48 мин. Но пароход затратил на весь путь 5 час. Значит, он опоздал на 12 мин.

Квадратное уравнение вида ax2+kx+c=0

Квадратное уравнение вида

Применяя к уравнению общую формулу, получим:

Этой формулой следует пользоваться лишь тогда, когда коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.

За дискриминант квадратного уравнения можно принимать выражение

Примеры:

Приведенное квадратное уравнение

Применяя к уравнению общую формулу, получим:

В том случае, когда р — четное, т. е. формула принимает вид:

что можно записать и так:

Последнюю формулу следует применять в тех случаях, когда в приведенном уравнении коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.

Примеры:

Свойства корней квадратного уравнения

Корни уравнения обозначим через и Как известно,

Итак, . Например, для уравнения

2. Полученный результат можно записать и в таком виде:

Для уравнения получим, что

Итак, в приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:

3. Полученные результаты можно сформулировать и иначе: в приведенном квадратном уравнении коэффициент при неизвестном первой степени равен взятой с противоположным знаком сумме корней, т. е.

а свободный клен равен произведению корней, т. е.

Корень многочлена

Корнем многочлена (целой рациональной функции)

называется всякое число, которое, будучи подставлено в этот многочлен вместо буквы х, обращает значение многочлена в нуль. Например, числа 1; —2; 5 суть корни многочлена

2. Совокупность корней многочлена

это то же самое, что и совокупность корней уравнения

3. Буква х, входящая в многочлен обозначает собой независимую переменную, т. е. величину, могущую принимать любые значения. Та же буква х в уравнении

обозначает, собой величину неизвестную, могущую принимать лишь такие значения, которые удовлетворяют этому уравнению. Корнями многочлена

будут как раз корни уравнения

можно находить путем решения уравнения

Разложение на множители многочлена

Разложение на множители многочлена

Теорема:

Многочлен тождественно равен произведению

где и —корни этого многочлена.

Докажем теорему двумя способами.

Способ 1. Обозначим корни многочлена через и . Тогда (см. стр. 296).

что и требовалось доказать.

Выражения как раз представляют собой корни и уравнения а значит, и корни многочлена .

Замечание:

Если и будут действительными и различными числами, то линейные множители в разложении будут действительными и различными. Если же и будут мнимые, то и линейные множителябудут также мнимыми. В том случае, когда разложение примет вид

Примеры:

1) Корни многочлена суть 10 и . Поэтому

2) Корни многочлена суть и 2. Поэтому

3) Корни многочлена суть 3 и. 5.

Составление квадратного уравнения по его корням

Способ 1. Пусть являются корнями квадратного уравнения; Тогда само уравнение (см. стр. 296) будет:

Примеры:

1) Если корни уравнения 3 и 5, то само уравнение будет:

2) Если корни , то уравнение

3) Если корни , то уравнение

Способ 2. Если корни уравнения то само уравнение будет:

Этот способ мы можем применить к составлению уравнений любых степеней.

Пусть корни уравнения 3; 5 и 10, тогда само уравнение будет:

Пусть корни уравнения — 1; —2; —3; —4. Тогда само уравнение будет:

Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции

Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции

Но правая часть этого тождества будет точным квадратом тогда и только тогда, когда

В этом случае мы получаем, что

Итак, трехчлен 2-й степени будет точным квадратом линейной функции с действительными коэффициентами тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю, а коэффициент при высшем члене положителен.

Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным

Биквадратное уравнение

Целое уравнение, содержащее только четвертую, вторую и нулевую степени неизвестного, называется биквадратным.

Общий вид биквадратного уравнения таков:

Решим несколько биквадратных уравнений с числовыми коэффициентами.

Примеры:

1.Найти все корни уравнения

Примем за новую неизвестную, т. е. положим, что Тогда получим, что

Принимая сначала получим, что Принимая затем получим, что

Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

2. Найти все действительные корни уравнения

Положив получим, что из этого уравнения следует, что

Отсюда, во-первых, и, во-вторых, . Первое уравнение имеет два корня: 3 и —3. Второе уравнение действительных корней не имеет.

Итак, данное биквадратное уравнение имеет лишь два действительных корня: 3 и —3.

3. Показать, что уравнение не имеет ни одного действительного корня. Полагая , получим:

Уравнения действительных корней не имеют, а поэтому и данное биквадратное уравнение не имеет ни одного действительного корня.

Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное

есть квадратное уравнение относительно z. Уравнение

есть квадратное уравнение относительно

Примеры:

Полагая получим, что Отсюда Принимая сначала получим, что отсюда Принимая затем получим, что отсюда и Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

2. Найти действительные корни уравнения

Перепишем уравнение в виде:

Полагая получим:

Принимая сначала получим:

Принимая затем получим;

Последнее уравнение действительных корней не имеет. Поэтому первоначальное уравнение имеет лишь два действительных корня:

Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени

Общий вид возвратного уравнения 3-й степени таков:

Общий вид возвратного уравнения 4-й степени таков:

1. Решим возвратное уравнение 3-й степени:

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого перепишем уравнение в виде:

Последнее уравнение удовлетворяется и тогда, когда х+1 =0, и тогда, когда Ни при каких других условиях оно не удовлетворяется.

Решая уравнение х+1 =0, получим, что х = —1.

Решая уравнение получим:

Итак, первоначальное уравнение имеет три корня:

2. Решим возвратное уравнение 4-й степени:

В этом уравнении х не может равняться нулю. Поэтому мы можем разделить все члены данного уравнения на и записать его в следующем виде:

Полагая получим, что

Принимая все это во внимание, получим следующее уравнение с неизвестным у:

Отсюда найдем два значения неизвестного у, а именно: у = 6 и у = 4. Принимая сначала получим, что Отсюда найдем два значения неизвестного х, а именно:

Принимая затем получим, что откуда найдем еще два значения неизвестного х, а именно

Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

Вопрос о решении разобранных в этой главе типов уравнений будет рассмотрен полнее во второй части курса.

Теорема Виета

Теорема Виета:

Если квадратное уравнение имеет корни и , то выполняются соотношения: ; . И наоборот, если для некоторых чисел существуют числа и , удовлетворяющие соотношениям и , то числа и являются корнями уравнения Если и — корни квадратного уравнения , то квадратный трехчлен раскладывается на множители:

Многие простые квадратные уравнения могут быть решены с помощью теоремы Виета без вычисления корней по основной формуле.

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к квадратным

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Целые алгебраические уравнения и их классификация

Уравнение с одним неизвестным называется целым алгебраическим, если обе его части являются целыми алгебраическими выражениями от неизвестного. Например, уравнения

не являются целыми алгебраическими. Первое из них содержит в знаменателе выражение х + 2 зависящее от неизвестного х. Такого рода уравнения называются дробными алгебраическими. Второе содержит выражение x + 1, зависящее от неизвестного х, под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными.

Важнейшими из алгебраических уравнений являются целые алгебраические. Это обусловлено тем, что решение дробных и иррациональных уравнений может быть сведено к решению целых (с некоторыми приемами такого сведения мы познакомимся в § 16, 17 этой главы).

Обратимся теперь к классификации целых уравнений. Прежде всего напомним, что два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого.

В первой части книги было установлено, что если к обеим частям уравнения добавить любой многочлен от неизвестного, то каждое решение исходного уравнения будет решением преобразованного, и обратно, каждое решение преобразованного уравнения будет решением исходного, так что преобразованное уравнение будет равносильно исходному.

В силу этого любое целое алгебраическое уравнение может быть преобразовано в равносильное, в одной части которого находится многочлен от неизвестного, не содержащий подобных членов, а в другой части нуль. Для этого достаточно «перенести все члены уравнения в одну часть», т. е. добавить к обеим частям уравнения выражение, противоположное одной из его частей, а затем раскрыть скобки и привести подобные члены.

и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, в

Степень многочлена, получающегося в одной части уравнения после указанных преобразований, называется степенью исходного уравнения.

есть уравнение второй степени, уравнение

есть уравнение третьей степени и т. д.

Неполные квадратные уравнения

Уравнение второй степени называется иначе квадратным уравнением. Любое квадратное уравнение, после перенесения всех его членов в одну часть и приведения подобных членов, приводится к виду

где x — неизвестное, а, b, с —коэффициенты, причем а называется старшим коэффициентом квадратного уравнения, b— средним коэффициентом, с — свободным членом.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов равен нулю. Так как старший коэффициент равняться нулю не может, в неполном уравнении должен обращаться в нуль средний коэффициент или свободный член или оба вместе, так что неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих трех видов:

Уравнение очевидно, имеет единственное решение x = 0. Действительно, так как то из следует, что и потому х = 0.

Уравнение равносильно уравнению

Здесь могут представиться два случая (если исключить разобранный выше случай c = 0). Если а и с имеют одинаковые знаки, то уравнение не имеет решений, ибо квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу . Если а и с имеют противоположные знаки, то положительно и уравнение а вместе с ним и исходное уравнение имеет два решения

Неполное квадратное уравнение последнего вида решается посредством разложения левой части на множители. Именно, вынося х за скобку, получим

Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю. Приравнивая к нулю первый множитель, получим одно решение Приравнивая к нулю второй множитель ах + b получим второе решение

Итак, мы рассмотрели все виды неполного квадратного уравнения. Формулируем результаты:

I. . Уравнение имеет единственное решение x = 0.

II. . Уравнение не имеет решений, если знаки а и с одинаковы. Если же знаки а и с противоположны, то уравнение имеет два решения:Эти два решения сливаются в одно x = 0, если с = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.

HI. Уравнение имеет два, решения: и Они различны при и сливаются в одно при b = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.

Приведенное квадратное уравнение

Решение полного квадратного уравнения мы начнем со случая, когда старший коэффициент равен единице. В этом случае уравнение называется приведенным. Общее квадратное уравнение легко преобразуется в равносильное ему, приведенное посредством деления
обеих частей уравнения на старший коэффициент.

Для решения приведенного уравнения

в общем виде применим прием выделения полного квадрата суммы, который применяется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Рассмотрим как квадрат первого слагаемого, равного x, р х — как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Очевидно, что за это второе слагаемое нужно взять Затем добавим квадрат второго слагаемого, т. е. и сразу вычтем его, чтобы не изменить левую часть уравнения. Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду

Это последнее уравнение равносильно исходному, так как его левая часть тождественно равна левой части исходного уравнения.

Далее, перенесем последние два члена в правую часть уравнения с противоположными знаками. Получим новое уравнение

равносильное предыдущему. Теперь могут представиться три случая.

Случай 1.Преобразованное уравнение, а
следовательно и исходное, не может иметь решений, ибо квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу

Случай 2. B этом случае преобразованное
уравнение будет удовлетворяться только при т. е. при Таким образом, в этом случае уравнение имеет единственное решение.

Случай 3. Преобразованное уравнение удовлетворяется, если

Таким образом, в этом случае уравнение имеет два решения:

Оба эти решения удобно записать в виде одной формулы:

Корень приведенного квадратного уравнения равен половине среднего коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.

Итак, при решении приведенного квадратного уравнения могут представиться три случая:

Случай 1. —уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2. — уравнение имеет единственное решение:

Случай 3. —уравнение имеет два решения, вычисляемых по формуле

Очевидно, что при решении квадратного уравнения нет
необходимости заранее исследовать, который из трех случаев имеет место.

Можно сразу записать решение по формуле, и результат сам покажет, который из случаев имеет место.

Именно, если имеет место первый случай формула приводит к невозможному действию — извлечению квадратного корня из отрицательного числа. Во втором случае оба корня,
вычисленные по формуле, сливаются в один В этом случае принято говорить, что уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулу (1) для решения приведенного квадратного уравнения иногда удобно применять в несколько преобразованной форме следующим образом. Очевидно, что

и, следовательно, согласно формуле (1),

Формула (2) иногда оказывается удобнее формулы (1), например, если р и q целые числа и р нечетное число или если коэффициенты р и q являются буквенными выражениями. Если же р и q целые числа и р четное число, то формула (1) удобнее.

Запоминать формулу (2) нет необходимости, так как она
непосредственно получается из формулы для решения общего квадратного уравнения, которая будет выведена в следующем параграфе.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Уравнение не имеет действительных решений.

Пример:

Решение:

Это уравнение не приведенное. Оно равносильно приведенному

которое получается из исходного посредством деления обеих его частей на 2. Решая это последнее уравнение, получим

Замечание:

Из вывода формулы для решения квадратного уравнения следует, что числа

если только они имеют смысл, действительно являются корнями квадратного уравнения Поэтому проверка корней посредством подстановки в уравнение может быть нужна только для контроля правильности вычислений.

Общее квадратное уравнение

Для решения общего квадратного уравнения достаточно его привести, т. е. преобразовать, к приведенному, разделив обе его части на старший коэффициент, и затем воспользоваться формулой для корней приведенного уравнения. Именно так был решен последний пример в предыдущем параграфе.

Однако целесообразно провести эти преобразования в общем виде и получить формулу, позволяющую решить общее квадратное уравнение без предварительного приведения.

Итак, пусть дано уравнение . Поделив обе его части на а, мы получим равносильное приведенное уравнение

к которому можно применить результаты предыдущего параграфа.

Положив мы получим

Если уравнение имеет решение, т. е. если последнюю формулу можно еще несколько упростить. Именно,

Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле

Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять, существует решение или нет. Именно, уравнение не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3) приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного числа.

Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если

отличается только положительным множителем от выражения находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).

Выражение называется дискриминантом уравнения

Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один:

Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен дроби, знаменателем которой является удвоенный старший коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из дискриминанта.

Если удобно принять b = 2k (например, если b есть целое четное число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае уравнение имеет вид

Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле

Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если

отличается только положительным множителем от выражения отличается только положительным множителем от выражения находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).

Выражение называется дискриминантом уравнения

Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же. дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один:

Согласно формуле (3),

Итак, уравнение решается по формуле

Пример:

Решение:

Замечание:

Введение иррациональных чисел не является последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся еще так называемые комплексные числа, после введения которых действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными числами.

Замечание:

Формула (3) пригодна, конечно, и для решения неполных квадратных уравнений. Например, для уравнения формула (3) дает

в соответствии с прежним результатом *)

Замечание:

Иногда нужно рассматривать уравнение первой степени как частный случай квадратного, в котором старший коэффициент равен нулю. Это целесообразно, например, если некоторая задача, поставленная в общем виде, приводит к квадратному уравнению, в котором, в зависимости от численных данных задачи, коэффициенты изменяются и, в частности, старший коэффициент может принимать значение, равное нулю.

*) Строго говоря, не обязательно равен b, именно: при при b

применима при наравне с формулой (3), но она, вообще говоря, менее удобна из-за большей сложности знаменателя.

При а = 0 формула (5) дает

Если в этом результате взять верхний знак, получим

т. е. мы действительно получаем корень уравнения первой степени bх+c=0. Нижний знак приводит к бессмысленному результату, так как знаменатель обращается в 0.

Формула (5) оказывается удобной при приближенном решении квадратного уравнения в случае, если старший коэффициент очень мал по сравнению с остальными коэффициентами.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Квадратные уравнения, так же как уравнения первой степени, оказываются полезными при решении многих задач. Заметим, что если задача приводится к решению квадратного уравнения, обычные приемы и правила арифметики оказываются бессильными для решения такой задачи, в то время как задачи, приводящиеся к уравнениям первой степени, по большей части могут быть решены и средствами арифметики.

При решении задачи, сводящейся к квадратному уравнению, необходимо, после того как уравнение составлено и решено, производить проверку полученных корней по смыслу задачи. При этом часто оказывается, что из двух полученных корней отвечает смыслу задачи лишь один.

Задача:

Дети поехали на лодке и поднялись на веслах на 6 км от пристани против течения реки. Затем они ловили рыбу, останавливаясь в разных местах. Через 3 часа они оказались в 2 км ниже первой остановки и, окончив ловлю, пошли на веслах обратно к пристани. Всего они пробыли на лодке 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/час.

Решение:

Обозначим скорость лодки в стоячей воде (в км/час) через х. Тогда скорость лодки при. движении против течения реки равна х — 2 км/час, при движении по течению равна х+2 км/час.

Дети гребли против течения реки 6 км, на это они затратили затем 3 часа ловили рыбу и затем гребли 4 км по течению реки, на что затратили часа. Итак,

Уравнение составлено. Умножим обе его части на общий знаменатель (При этом уравнение может приобрести лишние корни.) Получим

После очевидных преобразований мы получим

Оба корня удовлетворяют уравнению (1), что легко проверяется подстановкой их в это уравнение. Однако по смыслу задачи подходит только первый корень

Задача:

Периметр прямоугольника равен 20 см. Площадь этого прямоугольника равна 25 см ² . Определить стороны прямоугольника.

Решение:

Обозначим длину основания прямоугольника через х см. Тогда высота прямоугольника равна 10 — х см, ибо сумма длин основания и высоты равна полупериметру. Следовательно, площадь прямоугольника равна

По условию задачи

Уравнение имеет единственный корень х = 5, и он подходит по смыслу задачи.

Задача:

Сторона квадрата ABCD равна 10 см. От его вершин в направлении обхода по часовой стрелке (рис. 42) отложены равные отрезки А а, В b, С с, D d, и точки а, b, с, d соединены прямыми. Площадь квадрата abcd равна 40 см. Определить длину отрезка А а.

Решение:

Обозначим длину отрезка А а через х см. Тогда длина каждого из отрезков а В, b С, c D, d A равна 10 — х см. Треугольники aBb, cDd, будучи приложены по гипотенузам, составляют прямоугольник со сторонами х и 10—х см и, следовательно, сумма их площадей равна x (10 — х)см ² — Точно так же сумма площадей треугольников aAd и bСс равна x (10 — х) см ². Но

Это уравнение действительных решений не имеет. Следовательно, и задача не имеет решения.

Ответ. Задача не имеет решения.

Проведем теперь исследование последней задачи, выяснив, как следует изменить условие задачи, чтобы подобная задача имела решение. При этом будет вскрыта причина, в силу которой данная задача не имеет решения. С этой целью поставим задачу в общем виде, заменив все численные данные буквами. Итак, пусть сторона квадрата ABCD равна 1 см и площадь квадрата abcd равна s см ² .

Рассуждая таким же образом, как при численных данных, мы получим для х = А а уравнение

Решая по формуле (4), получим

Для того чтобы уравнение, к которому свелось решение задачи, имело действительные решения, необходимо и достаточно, чтобы число было положительным или нулем, т. е. чтобы В задаче, которую мы рассматривали, это условие выполнено не было.

Однако даже если уравнение имеет решение, задача может решений не иметь, если корни не подходят по смыслу задачи. В нашей задаче корень х будет подходить по смыслу задачи в том и только в том случае, если так как точка а должна находиться между точками А и В. Очевидно, если корень

удовлетворяет поставленному требованию, то ему удовлетворяет и второй корень

так как Геометрический смысл этого обстоятельства ясен: если отрезок заменить отрезком аВ = АВ— Аа = получится равный вписанный квадрат.

Таким образом, для выяснения условия существования решения задачи остается установить, когда Очевидно, всегда положительно.

Для выполнения неравенства необходимо и достаточно выполнение неравенства которое в свою очередь вытекает из неравенства

Итак, задача имеет решение в том и только в том случае, если т. е. если данная площадь не меньше половины площади квадрата ABCD и меньше всей площади этого квадрата.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения

Рассмотрим сначала приведенное квадратное уравнение

Его корни выражаются через коэффициенты р и q посредством выведенной выше формулы

Но во многих приложениях квадратных уравнений часто возникает необходимость выразить коэффициенты квадратного уравнения через его корни. Соответствующие выражения проще всего вывести, сложив и перемножив корни. Сделаем это:

Итак, средний коэффициент приведенного квадратного уравнения равен сумме его корней, взятой с обратным знаком. Свободный член приведенного квадратного уравнения равен произведению его корней.

Выведенные формулы называются формулами Виета *).

Теперь легко вывести соотношение между коэффициентами и корнями для общего квадратного уравнения. Общее квадратное уравнение равносильно приведенному

В силу формул Виета имеем

Итак, средний коэффициент общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на сумму корней, взятую с обратным знаком; свободный член общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на произведение корней.

*) Виет—французский математик. Родился в 1540 г., умер в 1603 г.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида

с данными коэффициентами а, b, с, причем а ≠ 0. Коэффициенты а, b, с называются соответственно старшим коэффициентом, средним коэффициентом и свободным членом квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице. Корнями квадратного трехчлена называются те значения буквы х, при которых трехчлен обращается в нуль. Иными словами, корнями трехчлена называются корни уравнения

Пусть являются корнями приведенного квадратного трехчлена Тогда, в силу формул Виета,

Теперь не представляет труда разложить трехчлен на множители. Действительно,

где — корни трехчлена

Замечание:

Эта формула применима, конечно, только в случае, если трехчлен имеет действительные корни. Если же действительных корней нет, трехчлен не может быть разложен на множители первой степени. В самом деле, если допустить, что

которые при подстановке вместо х обращают в нуль множители правой части, являлись бы корнями трехчлена Но это противоречит условию, что квадратный трехчлен действительных корней не имеет.

Для общего квадратного трехчлена имеем:

где — корни трехчлена

Составление квадратного уравнения по данным корням

Пусть даны два числа , различные или равные. Требуется построить приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями

Очевидно, что в качестве такого уравнения можно взять

или, после раскрытия скобок,

Действительно, если вместо x подставить , или , левая часть уравнения обратится в нуль, ибо один из сомножителей окажется равным нулю.

Из формулы Виета следует, что составленное уравнение является единственным решением поставленной задачи. Действительно, если уравнение имеет корни его коэффициенты р и q выражаются через по формулам

т. е. оно совпадает с составленным выше.

Итак, существует единственное приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями данные числа . Коэффициенты этого уравнения выражаются через по формулам Виета.

Примеры и приложения

Рассмотрим несколько примеров на применение результатов § 6—8.

Пример:

Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Мы дадим два решения этого примера.

Первое решение. Уравнение имеет корни Их квадраты и Согласно формулам Виета искомое уравнение имеет коэффициенты

Второе решение. Пусть — корни данного уравнения. Тогда искомое уравнение имеет коэффициенты и Преобразуем их так, чтобы их было легко выразить непосредственно через коэффициенты данного уравнения, минуя вычисление . Именно,

Мы пришли к тому же ответу, но при значительно меньших вычислениях.

Ответ.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и у. Так как сумма и произведение чисел х и у нам известны, это уравнение составляется по формулам Виета, именно, оно есть

Решая его, получим Один из его корней мы должны принять за x, другой за у. Так как это можно сделать двумя способами, мы получим два решения системы

Ответ.

Рассмотренный в последнем примере прием применяется к любой системе уравнений вида

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и —у. Так как сумма этих двух чисел равна 7, а произведение x( —у) равно —xy = — 44, вспомогательное уравнение есть

Решив его, получим Один из этих корней мы должны принять за х, другой за —у. Сделав это двумя возможными способами, получим два решения системы

Ответ.

Рассмотренный в последнем примере прием может быть применен к любой системе уравнений вида

В случае, если вспомогательное уравнение при решении системы

не имеет действительных корней, то и сама система действительных решений не имеет.

Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту и дискриминанту

При выводе формулы для решения квадратного уравнения мы выяснили, что значение дискриминанта уравнения определяет число корней уравнения. Именно, если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант равен нулю, то корни совпадают, и, наконец, если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Формулы Виета дают дополнительные сведения о корнях квадратного уравнения. Мы ограничимся рассмотрением приведенного квадратного уравнения.

Начнем исследование с рассмотрения уравнения, свободный член которого q отрицателен. В этом случае дискриминант наверное положителен, так что уравнение имеет два различных действительных корня Далее, произведение корней равно отрицательному числу q. Следовательно, один из корней положителен, другой отрицателен. Наконец, Отсюда следует, что при р > 0 сумма корней отрицательна, и следовательно, отрицательный корень имеет большую абсолютную величину. Если р 0 оба корня положительны. Случай р = 0 здесь невозможен, так как при р = 0; q > 0 дискриминант

Результаты проведенного исследования можно объединить в следующую таблицу, в которую мы включаем для полноты и очевидные результаты при q = 0.

Случай 1. q 0. Отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

b) р = 0. Корни равны по абсолютной величине.

c) р 0. Один корень равен нулю, другой отрицателен.

b) p = 0. Оба корня равны нулю.

a) Два различных корня одного знака, противоположного знаку р.

b) Два равных корня, их знак противоположен знаку р.

c) Действительных корней нет.

Биквадратные уравнения

называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения легко сводится к решению квадратного уравнения с последующим извлечением квадратного корня.

Для этого достаточно принять за новую неизвестную Ввиду того, что

биквадратное уравнение относительно х является квадратным относительно у. Решив это квадратное уравнение, мы получим, вообще говоря, два значения для у. Извлекая из этих значений квадратные корни (со знаками + и -), если это возможно, мы получим искомые корни биквадратного уравнения.

Пример:

Решение:

Положим Тогда и уравнение преобразуется в следующее:

Решая его, получим

Итак, для имеются две возможности:

Таким образом, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Решение примера можно оформить по-другому, не вводя новой буквы. Именно, записать данное уравнение в виде

Для биквадратного уравнения число действительных корней вдвое больше числа положительных корней вспомогательного квадратного уравнения

Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения нового неизвестного

Способ упрощения уравнения посредством введения нового неизвестного применим не только к биквадратным уравнениям. Решение весьма многих уравнений может быть упрощено при помощи этого приема. Однако невозможно дать какие-либо исчерпывающие общие указания относительно того, когда этот прием может быть применен с успехом. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотрением нескольких примеров.

Пример:

Решение:

Это уравнение принадлежит к числу иррациональных уравнений, так как в нем неизвестное х входит под знаком квадратного корня. Посредством введения нового неизвестного оно легко сводится к квадратному уравнению.

Действительно, положим Тогда и, следовательно, уравнение преобразуется к виду

Итак, откуда х = 9, или Последнее равенство невозможно, ибо под мы должны понимать арифметическое значение квадратного корня, которое не может быть отрицательным.

Ответ. х = 9.

Пример:

Решение:

Данное уравнение есть уравнение четвертой степени — после раскрытия скобок и приведения подобных членов в левой части окажется многочлен четвертой степени относительно неизвестного х. Решение уравнений четвертой степени в общем виде весьма сложно. Однако решение данного выше уравнения не представляет никакого труда.

Введем новое неизвестное: Относительно этого нового неизвестного уравнение будет уже квадратным

Решая его получим

первом случае имеем

втором случае получаем

Итак, данное уравнение имеет четыре решения:

Ответ.

Подстановка в последнем примере подсказывалась самим видом уравнения. Аналогичная подстановка применима к любому уравнению вида

Некоторые уравнения четвертой степени можно привести к такому виду посредством несложного преобразования левой части.

Пример:

Решение:

Это уравнение легко приводится к виду, подобному разобранному в предыдущем примере. Действительно, преобразуем левую часть уравнения, выделив из третьего члена такое слагаемое, которое вместе с первыми двумя образует квадрат суммы. За такое слагаемое нужно взять . Получим

Уравнение приводится к виду

Положив получим

Первое из этих уравнений дает Второе не имеет действительных корней.

Ответ.

Указанный в этом параграфе прием можно применить, конечно, не к любому уравнению четвертой степени. Но в каждом частном случае легко проверяется, возможно ли применение этого приема или нет.

Возвратные уравнения

Уравнение четвертой степени

называется возвратным, если отношение свободного члена к старшему коэффициенту равно квадрату отношения коэффициентов при х и при т. е.

Возвратные уравнения легко решаются посредством специального введения нового неизвестного. Покажем это на примере.

Пример:

Решение:

Это уравнение возвратное, так как здесь

Прием заключается в следующем. Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и поделим обе части уравнения на . Получим

Введем новое неизвестное Тогда

Принимая это во внимание получим следующее уравнение относительно y

Решив его, получим

Возвращаясь к неизвестному х, мы получим относительно него два уравнения:

Умножив обе части уравнений на х, получим квадратные уравнения

Решив их, получим

Ответ.

Указанный в приведенном примере прием применим к любому возвратному уравнению.

Действительно, пусть уравнение

Обозначим отношение через m.Тогда, Принимая это во внимание и поделив обе части уравнения на , приведем уравнение к виду

Теперь ясно, что подстановка приведет к цели, ибо

Частным случаем возвратных уравнений являются так называемые симметрические уравнения Для них после преобразования к виду

применяют подстановку Тогда и уравнение приводится к квадратному относительно у.

Второй способ решения биквадратного уравнения

При решении биквадратного уравнения в случае, если q > 0, можно применить тот же прием, что и при решении возвратного уравнения. Именно, поделив обе части уравнения на , получим

Это последнее уравнение после подстановки приводится к квадратному.

Описанный прием особенно удобен в том случае, когда q является квадратом рационального числа.

Пример:

Решение:

Разделив обе части уравнения на , получим

Положим Тогда

Для у получаем уравнение

Теперь для х получаем два уравнения:

После умножения на х получим

Интересно отметить, что, решая обычным образом, мы получим решение в совершенно другой, более сложной форме:

Но на самом деле оба ответа, конечно, совпадают.

точно таким же образом легко убедимся, что

Ответ.

Совпадение в приведенном примере результатов двух способов решения биквадратного уравнения наводит на мысль о возможности упрощения в некоторых случаях иррациональных выражений вида , где a и b рациональные числа.

Действительно, пусть Тогда и, следовательно,

Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим биквадратное уравнение

Решив его по второму способу, получим для х новое выражение, которое будет проще исходного, если есть полный квадрат. Правда, после решения биквадратного уравнения необходимо установить, к которому из корней биквадратного уравнения следует приравнять интересующее нас число . Но этот выбор всегда легко сделать в каждом частном случае.

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Здесь так что указанный прием дает возможность упростить выражение. Положим Тогда

Пусть Тогда

Далее, так как х положительно, то тоже положительно, и следовательно,

Для х получаем такое уравнение:

Из этих двух значений искомым является ибо

при возведении в квадрат дает

Ответ.

Преобразование уравнений

Как было сказано выше, два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго является решением первого. В первой части книги были выяснены два типа преобразований, переводящих данное уравнение в равносильное:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение равносильно исходному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого уравнение равносильно исходному (ч. I, гл. VII, § 1).

Однако во многих случаях при решении уравнений приходится производить такие преобразования, после которых полученное уравнение не равносильно исходному, но является только его следствием. Дадим точное определение этого понятия в применении к уравнениям.

Определение. Если все решения уравнения А —В являются также решениями уравнения C—D, то второе уравнение называется следствием первого.

Смысл этого термина легко понять. Пусть А, В, Си D — данные алгебраические выражения от неизвестного лг. Допустим, что уравнение C — D есть следствие уравнения А = В. Это значит, что всякое значение буквы х, при котором удовлетворяется уравнение А = В, удовлетворяет и уравнению C — D. Иными словами, если А = В (т. е. х таково, что численные значения выражений А и В равны), то C = D. Таким образом, здесь слово «следствие» употребляется в том же смысле, что и в повседневной жизни.

Очевидно, что равносильность двух уравнений означает, что каждое из них является следствием другого. Понятия равносильности и следствия без всякого изменения переносятся на уравнения и системы уравнений с несколькими неизвестными.

Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих смысл введенных определений.

Уравнение есть следствие уравнения х— 2=1. Действительно, единственным решением второго уравнения является х = 3, и это решение является вместе с тем решением первого уравнения. То же самое можно обосновать следующим рассуждением: «Если х — 2=1, то х—3 и, следовательно, ».

Часто можно убедиться в том, что одно уравнение является следствием другого, не решая последнее. В том же примере это можно сделать, например, таким рассуждением: «Если х — 2=1, то следовательно, ».

Теперь сформулируем и докажем несколько теорем, обосновывающих некоторые преобразования данного уравнения в новое, являющееся следствием данного (или равносильного данному). Для полноты изложения поместим и две сформулированные выше теоремы из первой части книги.

Теорема:

Если к обеим частям уравнения добавить одно и то же число или один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное исходному.

Доказательство:

Пусть данное уравнение есть А = В, где А и В— алгебраические выражения от х, и пусть С есть число или многочлен, зависящий от х.

Если есть решение данного уравнения, т. е. такое число, при подстановке которого вместо буквы х выражение А становится действительно равным В, то при том же значении А+С=В+С.

Обратно, если такое, что при подстановке его вместо х А—С= В С, то при том же значении А —В.

Итак, каждое решение уравнения А = В оказывается решением уравнения A+С= B+С и, обратно, каждое решение уравнения А+ С= В+ С есть решение уравнения А = В. Уравнения А =В и А+С=В+С действительно равносильны.

Короче, все рассуждения можно провести так. Если (при некотором значении x) А = В, то (при том же значении x) А+С=В+С. Обратно, если (при некотором значении х) А—С—В—С, то (при том же значении х) А = В.

Замечание. В этой теореме существенно, что С есть число или многочлен. Если С есть дробное выражение, то теорема может оказаться неверной — может случиться, что решение уравнения А = В при подстановке в уравнение А+С=В+С дает бессмысленное равенство, если знаменатель С обращается в нуль. Например, уравнения

не равносильны: первое из них имеет корень х = 2, второе — корней не имеет.

Теорема:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то в результате этого преобразования получится уравнение, равносильное исходному.

Доказательство:

Пусть А = В есть данное уравнение, а — данное число. Тогда если (при каком-нибудь значении х) А = В, то (при том же значении х) Ас = Вс. Обратно, если (при каком-нибудь значении х) Ас = Вс, то (при том же значении x) А= В. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения Ас = Вс, и обратно, следовательно, уравнения А = В и Ас = Вс равносильны.

Теорема:

Если обе части уравнения умножить на один и тот же многочлен, то в результате этого преобразования получится уравнение, являющееся следствием исходного.

Доказательство:

Пусть А = В данное уравнение, С — данный многочлен от неизвестного х. Тогда, если (при каком-либо значении х) А = В, то (при том же значении x) АС=ВС. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения АС—ВС.

Следовательно, уравнение АС—ВС есть следствие уравнения А — В, что и требовалось доказать.

Замечание:

Уравнение АС=ВС есть следствие уравнения А = В, но оно не обязано быть ему равносильным. Действительно, из АС=ВС следует А = В, только если . Поэтому, решение уравнения АС = ВС может не быть решением уравнения А = В, если оно является решением уравнения С=0.

Например, умножая обе части уравнения х—3 = 0 на многочлен х — 2, мы получим новое уравнение (х—3)(x — 2) = 0, которое, кроме корня исходного уравнения x = 3, имеет еще корень х — 2.

Замечание:

В формулировке теоремы существенно, что С является многочленом. Если С есть дробное выражение, содержащее неизвестное в знаменателе, то преобразованное уравнение может не быть следствием исходного, если хотя бы один из корней исходного уравнения обращает в нуль знаменатель С. Например, умножив обе части уравнения

на выражение , мы получим новое уравнение

не являющееся следствием исходного.

Теорема:

Если обе части исходного уравнения возвести в степень с одним и тем же показателем, то полученное в результате этого преобразования уравнение будет следствием исходного.

Доказательство:

Пусть А = В — данное уравнение. Тогда если А = В (при некотором значении неизвестного х), то (при том же значении неизвестного Таким образом, каждое решение уравнения А —В является решением уравнения

Следовательно, уравнение есть следствие уравнения А = В.

Замечание:

Так же, как в теореме 3, здесь нельзя утверждать равносильность. Действительно, если то А = В или А = — В, так что корнями уравнения могут быть как корни уравнения А = В, так и корни уравнения А = — В. Например, возводя в квадрат обе части уравнения

корень которого x = 3 мы получим уравнение

корнями которого будут

Допустим теперь, что мы имеем два уравнения, причем известно, что второе уравнение является следствием первого, и допустим, что это второе уравнение мы умеем решать, т. е. можем найти все его корни. Тогда мы можем решить и исходное уравнение, так как среди корней второго уравнения находятся все корни исходного. Но не все корни второго уравнения обязаны быть корнями исходного, среди корней второго уравнения могут встретиться числа, не являющиеся корнями исходного уравнения. Поэтому, для того чтобы решить исходное уравнение, мы должны корни второго уравнения испытать посредством подстановки их в исходное уравнение и отобрать из них те корни, которые удовлетворяют исходному уравнению,

Дробные алгебраические уравнения

Дробные уравнения, т. е. такие, в одной или обеих частях которых находятся дробные рациональные выражения, содержащие неизвестное в знаменателе, решаются посредством сведения к целым уравнениям.

Для достижения этой цели можно, например, перенести все слагаемые правой части в левую с противоположными знаками, затем посредством обычных тождественных преобразований привести левую часть к виду частного от деления двух многочленов. После этих преобразований мы получаем новое уравнение, являющееся лишь следствием исходного, но не обязательно равносильное ему.

Действительно, всякое решение исходного уравнения, очевидно, является решением» преобразованного. Обратно, всякий корень преобразованного уравнения является корнем исходного, если только обе части исходного уравнения имеют смысл при подстановке этого корня. Однако может случиться так, что обе части исходного уравнения лишены смысла при некотором значении неизвестного, а левая часть преобразованного уравнения имеет смысл и обращается в нуль. Тогда такое значение неизвестного является корнем преобразованного уравнения, но не является корнем исходного. Таким образом, преобразованное уравнение действительно является следствием исходного, но не обязательно ему равносильно, так как может иметь лишние корни. Указанное обстоятельство может иметь место, если по ходу преобразований происходит взаимное уничтожение дробных выражений или производится сокращение дробей.

Например, производя в уравнений

указанные преобразования, мы получим уравнение

Уравнение (3), очевидно, есть следствие уравнения (1). Проверим это обычным рассуждением.

Если (х такое, что)

Но уравнение (1) не является следствием уравнения (3), так как уравнение (3) имеет корень х = 2, а как раз при х = 2 обе части уравнения (I) не имеют смысла.

Для того чтобы еще более уяснить это обстоятельство, посмотрим, почему нельзя рассуждать следующим образом: «Если х — 2 = 0, то x+1= 3; если х + 1 = 3, то Первая половина рассуждения верна безусловно — мы добавляем к обеим частям число 3. Вторая половина рассуждения была бы верна, если бы х был не равен 2. Но у нас как раз х = 2, и рассуждение теряет силу.

Таким образом, мы наметили путь, следуя которому, мы можем преобразовать любое дробное уравнение к уравнению вида

где А и В— многочлены, причем преобразованное уравнение является следствием исходного.

Умножив обе части последнего уравнения на В, мы получим новое уравнение A = 0, которое, согласно теореме 3 § 15, является следствием предыдущего, а потому и следствием исходного уравнения. Корень уравнения A = 0 может не быть корнем уравнения только тогда когда при его подстановке знаменатель В обращается в нуль.

Итак, любое дробное уравнение может быть преобразовано в целое уравнение, являющееся следствием исходного. Для этого достаточно перенести все слагаемые правой части в левую, затем посредством известных тождественных преобразований представить левую часть в виде частного от деления двух многочленов и, наконец, умножить обе части уравнения на знаменатель полученной дроби. (Это все равно, что приравнять числитель к нулю.) Если преобразованное уравнение удается решить, то среди его корней находятся все корни исходного уравнения, но могут быть и лишние корни. Их следует отбросить после испытания посредством подстановки в исходное уравнение.

Указанный путь не является единственным при решении дробных уравнений. Часто можно достигнуть цели быстрее, умножив обе части уравнения на многочлен, являющийся общим знаменателем всех дробей, находящихся в левой и правой частях исходного уравнения. Полученное таким образом целое уравнение является следствием исходного дробного, но не обязательно равносильно ему. Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решение:

Способ 1. Перенесем все слагаемые правой части в левую. Получим

Выполняя сложение дробей, мы пока не будем приводить целую часть (т. е. — 1) к общему знаменателю для упрощения выкладки. Получим

Сократив дробь на х— 2, что дает и выполнив сложение с целой частью, получим откуда приравняв числитель к нулю, получим —x+1 = 0; х = 1

Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что x = 1 есть действительно его решение. Таким образом, в данном случае выполненные преобразования не внесли лишних корней.

Указанную выкладку целесообразно сопровождать следующим рассуждением. Если

Итак, если х удовлетворяет уравнению, то х—. Действительно х=1 удовлетворяет уравнению, ибо

Способ 2. Общим знаменателем всех слагаемых уравнения является Умножив на него обе части уравнения, получим

и после очевидных преобразований

Первый корень преобразованного уравнения не является корнем исходного, ибо обе его части теряют смысл при х = 2. Второй корень удовлетворяет уравнению.

Приведенную выкладку можно обосновать так. Если

Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х—2 или х=1. Но в действительности из этих двух значений корнем данного уравнения является только х=1, ибо при х = 2 обе части данного уравнения не имеют смысла.

В приведенном примере сокращение дроби, оказавшееся возможным при решении по первому способу, избавило нас в данном случае от «лишнего» корня х = 2. Однако бывает и так, что, хотя уравнение решается первым способом и сокращение дроби осуществляется до конца, «лишние» корни все же возникают. Это видно из следующего примера.

Пример:

Решение:

и после преобразований

откуда получаем, сокращая на х — 2, что

и, следовательно, 4— х — 2 = 0; х = 2.

Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х = 2. Но в действительности х = 2 не удовлетворяет данному уравнению, ибо обе части его теряют смысл при х = 2. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Иррациональные уравнения

Всякое иррациональное уравнение, т. е. уравнение, в котором некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком корня, может быть преобразовано в целое алгебраическое уравнение, являющееся следствием исходного.

Доказательство этого утверждения в общем виде сложно, и мы ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.

Пример:

Решение:

В рассматриваемое уравнение входит только один радикал. Преобразуем уравнение, оставив радикал в одной его части, а все остальные члены перенесем в другую часть. Получим

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что приведет нас к новому уравнению, являющемуся следствием исходного. Это обусловлено теоремой 4 § 15 или обычным рассуждением при преобразовании уравнения:

«Если (x такое, что)

Решая преобразованное уравнение, получим Эти корни не обязаны быть корнями исходного уравнения, так как из выполнения равенства еще не следует, что

Может быть одно из двух: или или — и следовательно, удовлетворяется либо исходное уравнение, либо уравнение — И, в самом деле, корень

удовлетворяет исходному уравнению, а корень исходному уравнению не удовлетворяет, но удовлетворяет уравнению — .Указанный прием применяется во всех случаях, когда в уравнение входит только один радикал.

Пример:

Решение:

Уединив радикал, получим откуда следует Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим

Проверяя, убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.

Пример:

Решение:

Здесь имеются два радикала, и избавиться от них одновременно посредством однократного возведения в квадрат не представляется возможным. Мы решим этот пример тремя способами.

Способ 1. Уединим один из радикалов, а затем возведем уравнение в квадрат

Полученное уравнение содержит уже один радикал. Уединив его, получим

Возведя в квадрат еще раз, получим

Посредством подстановки в исходное уравнение убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.

Способ 2. Возведем в квадрат обе части исходного уравнения. Получим

Это уравнение содержит уже один радикал. Уединим радикал:

Теперь снова возведем в квадрат обе части уравнения. Получим и после очевидных преобразований приходим к уравнению

к такому же, какое было получено при освобождении от радикалов по первому способу.

Способ 3. Введем новую неизвестную Тогда Относительно новой неизвестной уравнение

содержит только один радикал. Далее,

и, наконец, Теперь вспомним, что

и, следовательно,

Таким образом, иногда при решении иррациональных уравнений следует комбинировать способ возведения в степень со способом введения новой неизвестной.

Ответ.

Пример:

Решение:

Способ 1. Представим уравнение в виде

и возведем обе его части в куб. При этом формулу куба разности двух чисел возьмем в следующем виде:

Кроме того, если х удовлетворяет исходному уравнению (а именно, в этом предположении мы и ведем преобразования, так как мы хотим построить уравнение, являющееся следствием исходного), то

Итак, преобразованное уравнение есть

Решая его, получим Подставляя в исходное уравнение, убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.

Способ 2. Положим Тогда и относительно нового неизвестного уравнение превращается в откуда Но Следовательно,

Ответ.

Пример:

Решение:

Решение этого примера по образцу второго примера затруднительно, так как в результате последовательного» уединения радикалов и возведения в степень получится уравнение четвертой степени, которое можно решить способом введения нового неизвестного, но не очень просто. Лучше сразу ввести новое неизвестное, положив

Таким образом, относительно новой неизвестной уравнение имеет вид

Освободившись от радикала, получим

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Далее, вспоминая, что получим относительно х два уравнения

Первое уравнение имеет корни Корнями второго являются

Все четыре корня удовлетворяют исходному уравнению, в чем легко убедиться посредством их подстановки в него.

Ответ.

Из рассмотренных примеров мы видим, что при решении иррациональных уравнений следует пользоваться методом уничтожения радикалов посредством возведения в степень или комбинацией его со способом введения нового неизвестного. В каждом частном случае следует, раньше чем приступить к выкладке, вдуматься в строение уравнения и составить план решения.

В заключение приводим еще один прием, который, несмотря на его искусственность, иногда оказывается полезным.

Пример: