Составьте уравнение кривой точки которой равноудалены от

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

1.6. Первая основная задача аналитической геометрии на плоскости

Основных задач аналитической геометрии на плоскости две. Первая из них: Для заданной линии найти ее уравнение. Вторая задача – обратная: По заданному уравнению линии построить линию.

Начнем с рассмотрения первой, более трудной, задачи. Трудность решения этой задачи очевидна: ведь нужно найти математическое уравнение, которому будут удовлетворять координаты любой точки данной линии, и только они. Для достаточно сложных линий (например, для линии, образованной свободным движением руки) точное решение этой задачи вообще оказывается невозможным – только приближенное. Однако для не слишком сложных и, главное, четко описанных линий их уравнения найти можно. Мы, например, без труда сделали это в предыдущем параграфе для линий, изображенных на рис. 1.12 и 1.13. Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Найти уравнения вертикальной прямой L1 и горизонтальной прямой L2, изображенных на рис. 1.14.

Решение. Уравнения этих прямых очевидны: X= A – уравнение прямой L1, Y = B – уравнение прямой L2. Действительно, этим уравнениям удовлетворяют координаты любой точки соответствующих прямых, и только они. В частности, Y = 0 – это уравнение оси Ox, а X = 0 – уравнение оси Oy.

Пример 2. Найти уравнение прямой L, изображенной на рис. 1.15.

Решение. Как известно из школьного курса математики, наклонная прямая – это график линейной функции вида Y = Kx + B. Значит, уравнение данной прямой L имеет вид Y = Kx + B. Нам только нужно найти параметры K и B этого уравнения.

Используем рис. 1.15. Так как точки М1(-2; 0) и М2 (0; 1) лежат на прямой L, то их координаты (X; Y) должны удовлетворять уравнению прямой. Подставляя эти координаты в уравнение прямой Y = Kx + B, получим систему из двух равенств:

Решая ее, находим: ; B = 1. Следовательно, уравнение данной прямой L таково: . Или, в неявной форме, .

Пример 3. Найти уравнение окружности L с центром в заданной точке и заданным радиусом R (рис. 1.16).

Решение. Для любой точки М(X; Y) окружности L, и только для точек этой окружности, имеет место равенство:

Реализуя это равенство с помощью формулы (3.1) расстояния между двумя точками, получим:

.

Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим равносильное равенство:

. (5.1)

Это и есть искомое уравнение указанной окружности L.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат (; ), то ее уравнение примет вид:

Это уравнение, кстати, совпадает с уравнением (4.11), полученным ранее другим путем.

Пример 4. Найти уравнение линии, состоящей из точек, равноудаленных от оси Ох и от точки .

Решение. Пусть М(X; Y) – произвольная точка указанной линии, а N (x; 0) – проекция точки М(X; Y) на ось Ох (рис. 1.17). По условию задачи для любой точки М(X; Y) линии и только для точек этой линии. Если использовать формулу (3.1) расстояния между двумя точками, то это равенство примет вид:

После возведения в квадрат обеих частей и очевидных упрощений оно примет вид: . Это и есть уравнение указанной в задаче линии. Судя по этому уравнению, эта линия – парабола Y = X2, поднятая на вдоль оси Оу (рис. 1.18).

А теперь рассмотрим вопрос о Приближенных уравнениях линий. Чаще всего этот вопрос возникает, когда речь идет о линиях, полученных в результате экспериментов.

А именно, пусть экспериментальным путем изучается зависимость Y = F(X) между двумя величинами. Например, зависимость урожайности культуры Y от количества внесенных под нее удобрений X; пройденного пути Y от времени движения X; прибыли предприятия Y от величины затрат X и т. д. В ходе эксперимента для ряда значений X определяются соответствующие значения Y, что приводит к экспериментальной таблице вида

Данные этой таблицы можно изобразить и графически в виде системы экспериментальных точек М1 (X1; Y1), М2 (X2; Y2), … МN (Xn; Yn) (рис. 1.19). По этим экспериментальным данным нужно получить искомое уравнение Y = F(X), связывающее Y с X. Такое уравнение называется Эмпирической формулой, а сама задача получения такой формулы называется Задачей построения эмпирической формулы.

В этой задаче фактически идет речь о нахождении уравнения Y = F(X) линии L по точкам М1, М2, … МN, которые, вообще говоря, на этой линии не лежат, так как они содержат в себе неизбежные погрешности эксперимента и, кроме того, содержат результат влияния различных неучтенных факторов (помех). Поэтому искомая линия L может отличаться от линии L*, непосредственно соединяющей экспериментальные точки. В частности, линия L* может иметь весьма причудливую форму, в то время как сама линия L будет простой и гладкой (например, прямой). Линия L должна как бы сглаживать линию L*, устраняя ее незначительные перепады, связанные с неточным положением экспериментальных точек.

При нахождении эмпирической формулы Y = F(X), а значит, и соответствующей ей линии L, приходится решать две частные задачи.

Первая из них – выбор Типа эмпирической формулы. То есть выбор того класса функций, к которому принадлежит искомая функция Y = F(X). Во многих случаях класс функций, из которого подбирается эмпирическая формула, подсказывается теоретическими представлениями о характере изучаемой зависимости (зависимость линейная вида Y = Kx или Y = Kx + B, квадратичная вида , обратно пропорциональная вида , показательная вида и т. д.). Или, если указанные теоретические представления отсутствуют, то класс функций для эмпирической формулы подбирают по характеру расположения экспериментальных точек.

После того, как вид эмпирической формулы выбран, то есть первая частная задача решена, остается определить Наилучшие значения входящих в эту формулу числовых коэффициентов. Эта задача (вторая частная задача) уже более легкая, ибо решается стандартным методом – Методом наименьших квадратов. В соответствии с этим методом наилучшими значениями параметров эмпирической формулы считаются те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от эмпирической кривой Y = F(X) была бы минимальной.

Вручную реализовывать метод наименьших квадратов трудоемко, но это и не требуется – это обычно делается по стандартным программам на ЭВМ.

Впрочем, в простейшем (и наиболее часто встречающимся на практике) случае, когда экспериментальные точки располагаются приблизительно по прямой, можно обойтись и без метода наименьших квадратов – можно все сделать вручную, графическим путем.

В этом случае эмпирическая формула Y = F(X) строится, естественно, в виде уравнения прямой Y = Kx + B. Параметры и B этого уравнения имеют наглядный геометрический смысл (рис.1.20), поэтому могут быть найдены из чертежа. Сама прямая L, сглаживающая экспериментальные точки, строится на глаз, вручную. Этот графический путь почти исключает вычисления, он нагляден, и при достаточном навыке дает результаты ненамного худшие, чем метод наименьших квадратов.

Кстати, этим путем можно построить и достаточно хорошие эмпирические формулы для ряда экспериментальных кривых – параболы, гиперболы и т. д., но на этом останавливаться не будем.

1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

2. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(x; y), равноудаленная от начала координат и от точки A(-4; 2). Лежат ли на этой линии точки B(-2;1), C(2;3), D(1;7)?

3. Найти уравнение линии, по которой движется точка, оставаясь постоянно вдвое ближе к оси Ох, чем к оси Оу. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – крест из прямых и .

4. Найти уравнение линии, состоящей из таких точек, что разность расстояний от каждой из них до точек F1(-2;-2) и F2(2;2) равна 4. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – гипербола.

5. По данным эксперимента, представленным в таблице, графическим путем подобрать эмпирическую формулу вида Y = Kx + B.