Составьте уравнение окружности описанной около треугольника abc

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

составить уравнение окружности описанной около треугольника abc если заданы координаты его

Составить уравнение окружности описанной около треугольника abc если заданы координаты его вершин a(0;3) b(4;0) c(4;3)

• Артём Званский
• Геометрия 2019-06-15 19:37:57 2 2

решение окончательно искривленное, но.

если расставить точки, то увидим прямоугольный треугольник=gt; АВ-гипотенуза тр-ка и поперечник окружности

обретаем центр АВ

получаем центр окр М(2;1,5)

R=AM= корень из (x2-x1)^2+(y2-y1)^2

AM=корень из (2-0)^2+(1,5-3)^2

АМ=корень из 4+2,25=корень из 6,25

получаем ур-е (х-2)^2+(y-1,5)^2=6,25

вектор ас имеет проекции

ас х = (4 — 0) = 4; ас у = (3 — 3) = 0

вектор bс имеет проекции

bс х = (4 — 4) = 0; bс у = (3 — 0) = 3

найдём скалярное творенье векторов ас и bс

ас bс = (4 0 + 0 3) = 0

следовательно векторы ас и вс перпендикулярны.

угол асв — прямой и опирается на поперечник аb

Найдём поперечник ав

IabI = (0 + 4) + (3 + 0) = 5

Радиус окружности равен половине поперечника R = 2,5.

Центр окружности O расположен посредине между точками а и b

Найдём координаты точки О

xО = (0 + 4)/2 = 2; уО = (3 + 0)/2 = 1,5

Запишем уравнение окружности (х — хО) + (у — уО) =R

Окружность, описанная около треугольника

Определение и формулы круга, описываемого вокруг треугольника

Круг, проходящий через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении средних перпендикуляров к сторонам треугольника.

Круг может быть описан вокруг любого треугольника и только одного.

Радиус \(\ \mathrm \) окружности, описываемой вокруг треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его четверной области:

Радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла (следствие теоремы синуса):

В правом треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.

Примеры решения проблем

Найти радиус окружности, описанной около треугольника \(\ \mathrm \) со стороной \(\ \mathrm \) и углами \(\ \angle A=60 \) и \(\ \angle B=75^ <\circ>\)

Радиус \(\ R \) окружности, описываемой вокруг треугольника, найден из уравнения

Сумма углов произвольного треугольника равна \(\ 180^ <\circ>\) , поэтому

Теперь вы можете найти радиус окружности:

В треугольнике \(\ \mathrm \) стороны \(\ \mathrm \), \(\ \mathrm \). Найдите все углы треугольника, если радиус окружности равен \(\ \mathrm \).

Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла

Из письменных равенств находим синусы углов B и C треугольника:

\(\ \sin \angle C=\frac<2 R>=\frac<8><8>=1, \sin \angle B=\frac<2 R>=\frac<6><8>=\frac<1> <2>\) откуда следует, что \(\ \angle C=90^ <\circ>\) и \(\ \angle B=30^ <\circ>\)