Проекция точки на плоскость онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения
Для нахождения проекции точки M0 на плоскость α, необходимо:
- построить прямую L, проходящую через точку M0 и ортогональной плоскости α.
- найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).
Общее уравнение плоскости имеет вид:
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:
(3) |
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
Выразим переменные x, y, z через рараметр t.
(4) |
Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.
A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0, |
A 2 t+Ax0+B 2 t+By0+C 2 t+Cz0+D=0, |
(5) |
Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1 точки M0 на плоскость (1).
Пример 1. Найти проекцию M1 точки M0(4, -3, 2) на плоскость
(6) |
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:
(7) |
Из выражений (7) находим:
Проекцией точки M0(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:
Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
Условие
Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0
Решение
Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector
Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости. Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти параметрическое и каноническое уравнение прямой проходящей через две точки. Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения прямой и закрепить пройденный материал. Выберите необходимую вам размерность: Введите координаты точек. В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел. Прямая — один из базовых элементов геометрии. Используя уравнения прямых можно существенно упростить решение многих задач. Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел. Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список! Добро пожаловать на OnlineMSchool. http://reshimvse.com/zadacha.php?id=31787 http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_to_line/
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1Онлайн калькулятор. Уравнение прямой проходящей через две точки
Найти уравнение прямой
Ввод данных в калькулятор для составления уравнения прямой
Дополнительные возможности калькулятора для составления уравнения прямой
Теория. Уравнение прямой.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.