Составьте уравнение сферы с центром в точке

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51621

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Составьте уравнение сферы с центром в точке

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211).

Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы радиуса R равна 2R.

Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и
(а; b; с) — координаты точки С, а (х; у; z) — координаты точки М, то условие (1) принимает вид

Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение

(x — a) 2 + (y — b) 2 + (z — c) 2 = R 2 (2)

B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение

Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим

(x — 2) 2 + (y + 3) 2 + (z — 5) 2 = 36.

Задача 3. Найти центр и радиус сферы

Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что
а = — 4, b = 3, с = 0, R = 10. Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением сферы.

Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:

Следовательно, данная поверхность имеет уравнение

Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3.

Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С.

Иначе, шар радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.

Теорема. Через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит и притом единственная сфера.

Пусть А, В, D, Е четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Достаточно доказать, что существует и притом единственная точка, С, равноудаленная от четырех данных точек. Очевидно, точка С и будет центром сферы, проходящей через данные точки.

Через точки А, В, D, которые, очевидно, не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость р и единственная окружность. Пусть С₁ — центр этой окружности. Очевидно, множество всех точек пространства, равноудаленных от трех точек А, В, D — это перпендикуляр l к плоскости р, проходящий через точку C₁ (рис. 212).

Рассмотрим теперь точки А и Е. Множество всех точек пространства, равноудаленных от точек А и Е, — это плоскость q, перпендикулярная прямой АЕ и проходящая через середину отрезка АЕ. Плоскость q обязательно пересечет прямую l , так как точка Е не лежит в плоскости р. Очевидно, что точка С, являющаяся пересечением плоскости q с прямой l, будет равноудаленной от всех четырех данных точек А, В, D, Е. Из построения видно, что точка С — единственная точка пространства, удовлетворяющая этому условию.

Презентация к уроку №2 на тему «Уравнение сферы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Раздел: Прямоугольная система координат и векторы в пространстве Тема урока: Уравнение сферы Школа НИШ ФМН г. Астана Учитель математики: Косова Г.П. 2017-2018 уч. год.

Цель обучения 10.4.4 знать уравнение сферы и применять его при решении задач;

Критерии оценивания: воспроизводит определение сферы и шара; воспроизводит уравнение сферы; составляет уравнение сферы по заданным условиям; по уравнению второго порядка восстанавливает уравнение сферы, её центр и радиус; выясняет принадлежность точек сфере; определяет точки пересечения сферы с осями координат. Учащийся

Проверка домашней работы 1.Составить уравнение сферы с центром в точке (-1; 2;3) радиуса 4. Ответ: 2) Составить уравнение сферы с центром в точке (0; 5;-6) и радиусом равным . Ответ:

Работа по группам Задания группы 1 Сфера задана уравнением: а) Найдите координаты центра и радиус сферы б) Найдите значение m, при котором точки А(m;-3;0) и В(5; -1;m-1) принадлежат данной сфере

3) Найти центр и радиус сферы х2+у2+z2 -2х+4у-4z-7=0 Центр: (1;-2;2), радиус 4.

4) Составить уравнение сферы с центром в точке (1; 3;-2) , проходящей через начало координат. Ответ:

Решение: а) Центр: (2;-3;0), радиус 7.

б) Найдите значение m, при котором точки А(m;-3;0) и В(5; -1;m-1) принадлежат данной сфере Ответ: точки А(m;-3;0) и В(5; -1;m-1) принадлежат данной сфере при

Задания группы 2 Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2;-1;4) и В(2;7;10) а) Составьте уравнение сферы Центр сферы – середина отрезка АВ О(2;3;7) – центр сферы

б) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Oxy Ответ: 2

Задания группы 3 Сфера задана уравнением Найдите координаты центра и радиус сферы Центр: (-2;1;2), радиус 3.

Самостоятельная работа: 1.Сфера задана уравнением а) Назовите координаты центра и радиус сферы. б) Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1;3;-1), В(4;0;2) Уровень В 2. Сфера с центром в точке О(0;1;-2) проходит через точку А(-3;1;2) а) Составьте уравнение сферы б) Найдите координаты точек оси абсцисс, принадлежащих данной сфере Уровень А

Уровень С 3. Найдите радиус и центр сферы, заданной уравнением:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 875 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 21.05.2018
• 2355
• 56

• 20.05.2018
• 526
• 0

• 20.05.2018
• 343
• 0

• 20.05.2018
• 557
• 0

• 20.05.2018
• 1044
• 0

• 19.05.2018
• 457
• 0

• 19.05.2018
• 256
• 0

• 19.05.2018
• 2408
• 182

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.05.2018 4567
• PPTX 329.8 кбайт
• 26 скачиваний
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Косова Галина Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 24800
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.