Составьте уравнения графиками которых являются прямые

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r₁ , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r₂ прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

1. параллельной к прямой
   

   4x + 5y = 7 ;

   (8)

2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

где r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Составьте уравнения, графиками которых являются прямые AB, CD и EF, изображённые на рисунке 5?

Математика | 5 — 9 классы

Составьте уравнения, графиками которых являются прямые AB, CD и EF, изображённые на рисунке 5.

Решение Вашего задания во вложении.

Графиком уравнения является прямая MN а графиком второго уравнения прямая KP составьте систему уравнений найдите решение уравнений и докажите что оно еденственное?

Графиком уравнения является прямая MN а графиком второго уравнения прямая KP составьте систему уравнений найдите решение уравнений и докажите что оно еденственное.

Решите, пожалуйста?

Я буду Вам ояень благодарна * .

* Запишите формулой линейные функции, графики которых прямые a, b, и c, изображённые на рисунке 4.

Составьте формулу прямой пропорциональности графиком которой является прямая АВ проходящая через точку — 6 9) помогите))?

Составьте формулу прямой пропорциональности графиком которой является прямая АВ проходящая через точку — 6 9) помогите)).

Составьте уравнения, графиками которых являются прямые AB, CD и EF, изображённые на рисунке?

Составьте уравнения, графиками которых являются прямые AB, CD и EF, изображённые на рисунке.

На рисунке изображён график функции?

На рисунке изображён график функции.

На рисунке изображены прямые а d и c запишите формулы функции, графиками которых являются данные прямые?

На рисунке изображены прямые а d и c запишите формулы функции, графиками которых являются данные прямые.

Прямые AB и CD, EF и KL, изображённые на рисунке 6?

Прямые AB и CD, EF и KL, изображённые на рисунке 6.

24 взаимно перпендикулярные прямые.

Найдите градусные меры углов COF и FOB.

Пересекаются ли изображённые на рисунке : отрезок EF и луч ST?

Пересекаются ли изображённые на рисунке : отрезок EF и луч ST?

Запишите уравнения прямых AB, CD и EF, изображенных на рисунке 9?

Запишите уравнения прямых AB, CD и EF, изображенных на рисунке 9.

6. Помогите пожалуйста!

Прямые AB и CD, EF и KL, изображённые на рисунке 7?

Прямые AB и CD, EF и KL, изображённые на рисунке 7.

25, взаимно перпендикулярны.

Найдите градусные меры углов COF и FOB.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Составьте уравнения, графиками которых являются прямые AB, CD и EF, изображённые на рисунке 5?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

S = v * t — формула пути — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 1) 35 : 5 = 7 (км / ч) — скорость парохода по течению реки ; 2) 35 : 7 = 5 (км / ч) — скорость парохода против течения реки ; 3) (7 + 5) : 2 = 6 (км / ч) — собственная скорость парохода..

1. ) Сколько желтых роз вырастили ребята? 48 — 6 = 42(р. ) Ответ : 42 розы.

48 : 6 = 8(роз. ) — желтых.

3 + 4 + 2 + 6 = 15 частей всего 30 : 15 = 2 стакана одна часть 2 * 4 = 8 стаканов грибов.

250 / 10 = 25 платьев 25 + 2 = 27 пальто шили в день 27 * 10 = 270пальто за 10 дней.

12 / 2 = 6 (шт. ) — было значков 12 + 6 = 18(шт. ) — было открыток Ответ : 18 открыток было у Ани.

Хм 1) 12 : 2 = 6 (з) — было значков 2) 12 + 6 = 18 (открыток) ответ : 18.

Нет нельзя потому что лир не меняется.

Очевидно, что в такую картинку превращается число, у которого первая цифра нечетная, а вторая делится на 4 нечетных цифр : 5 (1, 3, 5, 7, 9) цифр, делящихся на 4 : 3 (0, 4, 8) всего чисел : 5 * 3 = 15 Ответ : 15 чисел.

983102 \ 10000 = 98, 3102 50932102 \ 1000000 = 50, 932102 611007 \ 10000 = 6, 11007 64953344 \ 1000000 = 64, 953344.

4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости

Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.

Прямая, проходящая через начало координат

Построение графика по заданной функции

Пусть переменная \(y\) пропорциональна переменной \(x\) с коэффициентом пропорциональности \(k\) :

Давайте договоримся, что \(x\) здесь — это независимая переменная, а \(y\) — зависимая. Коэффициент \(k\) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что \(y\) является (однородной) линейной функцией от \(x\) . Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат \((0, 0)\) . Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку \((x_1, y_1)\) . Для этого положим, например, \(x_1 = 1\) . Тогда \(y_1 = k \cdot 1 = k\) . Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции \(y\) от \(x\) . Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку \((x_1, y_1)\) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции \(y=\frac<1> <2>x\) .

Восстановление функции по графику

Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями \(x\) и \(y\) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные \(x\) и \(y\) . Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку \((0,0)\) .

Заранее ясно, что это уравнение имеет вид

От нас фактически только требуется найти значение константы \(k\) . Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от \((0,0)\) , и определим ее координаты \((x_1, y_1).\) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением

При этом следует особо подчеркнуть, что константа \(k\) не зависит от выбора точки \((x_1, y_1).\) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве \((x_1, y_1),\) мы придем к одному и тому же значению \(k\) . Таким образом,

Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.

Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью \(x\) . Тогда значение \(y\) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что \(k = 0\) и переменную \(y\) можно всё еще формально считать функцией от \(x\) :

Во-вторых, прямая может совпасть с осью \(y\) . В этом случае в каждой ее точке \(x = 0\) . Формула для константы \(k\) оказывается неприменимой, потому что число \(x_0\) , стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию \(y\) от \(x\) , которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять \(y\) за независимую переменную и формально рассматривать \(x\) как функцию от \(y<:>\)

Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси \(y\) , удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так:

Это соотношение между \(x\) и \(y\) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел \((x_1, y_1)\) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.

Произвольная прямая

Восстановление функции по графику

Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?

Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Поместим в точку \((x_0, y_0)\) начало новой системы координат с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями \(x\) и \(y\) старой системы.

Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны

\(\begin x_1′ \\ y_1′ \end = \begin x_1 \\ y_1 \end — \begin x_0 \\ y_0 \end = \begin x_1 — x_0 \\ y_1 — y_0\end.\)

Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением

Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:

Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем

Что и решает поставленную задачу.

При желании, можно еще выразить функцию \(y\) от \(x\) в явном виде:

\(y = k\,x — k\,x_0 + y_0\)

\(y = k\,x + b,\) где \(b = — k\,x_0 + y_0.\)

Значения констант \(k\) и \(b\) не зависят от выбора точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям \(k\) и \(b\) . Заметим, что из-за дополнительного слагаемого \(b\) переменные \(x\) и \(y\) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа \(k\) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение \(k\) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси \(x\) . Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент.

Константу \(b\) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная \(y\) равна \(b\) при \(x = 0\) . Иными словами, \(b\) — это точка на оси \(y\) , в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если \(b = 0\) , то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее.

Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида

при подходящем выборе констант \(k\) и \(b\) . Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента \(k = \frac\) знаменатель обращается в ноль. Это происходит, если \(x_1 = x_0\) . Это значит, что прямая перпендикулярна оси \(x\) (и соответственно параллельна оси \(y\) ). При таких обстоятельствах \(x\) неизбежно утрачивает роль независимой переменной, но может формально рассматриваться как функция от \(y\) :

\(x = 0 \cdot (y — y_0) + x_0.\)

В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:

\((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).\)

При этом, однако, выбор двух пар параметров \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.

Построение графика по заданной функции

Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции \(y\) от \(x\) , которая определяется как

где \(k\) и \(b\) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси \(y\) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров \(k\) и \(b\) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:

Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке \((0, b)\) и с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид:

Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции

представляет собой прямую линию при любых значениях параметров \(k\) и \(b\) . Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) . В качестве \(x_0\) и \(x_1\) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда

\(y_0 = b\) (при \(x_0 = 0\) ),
\(y_1 = k+b\,\) (при \(x_1 = 1\) ).

Проводим прямую через точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров \(k = \frac<1><3>\) и \(b = 1\) представлен на следующем рисунке.

Конспект

\(1\) . Линейная функция \(y = k\,x + b\) называется однородной при \(b = 0\) и неоднородной при \(b \ne 0.\) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам.

\(2\) . Уравнение прямой, проходящей через начало координат: \(y = \frac x,\) где \((x_1, y_1)\) — координаты произвольной точки, принадлежащей этой прямой \((x_1 \ne 0).\) Исключение: прямая совпадает с осью \(y\) . Тогда уравнение прямой: \(x = 0.\)

\(3\) . Уравнение произвольной прямой: \(y-y_0 = \frac (x-x_0),\) где \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — координаты двух различных произвольных точек, принадлежащих этой прямой. Исключение: прямая проходит через точку \((x_0, y_0)\) параллельно оси \(y\) . Тогда уравнение прямой: \(x = x_0\) .