Совместная система уравнений называется определенной если она имеет

Системы линейных уравнений: основные понятия

— это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

— это последовательность чисел ( k ₁, k ₂, . k_n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x ₁, x ₂, . x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Переменная x_i называется , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x_i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x ₁, x ₃ и x ₄. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x ₁, x ₃ и x ₅. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x ₅ = x ₄.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x ₁ = b ₁, x ₂ = b ₂, . x_k = b_k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r k . Остальные ( k − r ) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x ₂, x ₅, x ₆ (для первой системы) и x ₂, x ₅ (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x ₁, x ₂, . x_r — разрешенные, а x _{r + 1}, x _{r + 2}, . x _k — свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным ( x _{r + 1} = t _{r + 1}, x _{r + 2} = t _{r + 2}, . x_k = t_k ), а затем найти значения x ₁, x ₂, . x_r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует метод Гаусса.

Каждое уравнение системы можно записать в более компактной форме

,

где — знак суммирования, — коэффициент в — ом уравнении при неизвестной , — свободный член — ого уравнения; при этом изменяется от 1 до , а — от 1 до .

Упорядоченная совокупность чисел , которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое из уравнений системы (1) в верное числовое равенство, называется решением системы (1).

Другими словами: решением системы (1) является некоторый вектор .

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными, или эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Элементарными преобразованиями системы (1) будем называть преобразования вида:

1. Перестановка любых двух уравнений;

2. Умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля;

4. Отбрасывание уравнения, все коэффициенты которого и свободный член равны нулю.

Справедливо следующее утверждение.

Ø При элементарных преобразованиях система (1) переходит в равносильную ей систему.

Приведем пример решения системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований.

Пример 1 . Решите с помощью элементарных преобразований следующую систему линейных уравнений

.

Будем использовать для обозначения эквивалентности систем уравнений знак Û .

(первое уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму)

(третье уравнение умножим на (-1) и прибавим к первому)

(второе уравнение умножим на (-1) и прибавим к третьему)

(первое уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму, а затем умножим его же на (-2) и прибавим к третьему)

(третье уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму)

(второе уравнение умножим на (-1) и после этого переставим с третьим)

.

Мы привели исходную систему к виду, разрешенному относительно неизвестных, откуда .

,

.

Получили три верные числовые равенства.

Итак, искомое решение , то есть исходная система оказалась совместной и определенной.

Анализируя процесс решения системы, сделаем несколько наблюдений.

1. В каждом уравнении преобразованной системы содержится ровно одна неизвестная (а остальные исключены), но четкого плана ее получения не видно.

2. Преобразованная система содержит 3 уравнения – столько же, сколько и исходная. Технически это понятно, так как использовались только три первые из элементарных преобразований, а четвертое применять не потребовалось.

3. В процессе преобразований уравнений системы фактически изменялись только ее коэффициенты и свободные члены.

Метод последовательного исключения неизвестных принадлежит великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) и, естественно, носит его имя.

Этот метод был усовершенствован известным французским математиком Камилем Мари Эдмоном Жорданом (1838-1922) и в новом виде стал называться методом Жордана-Гаусса .

Мы рассмотрим последовательно оба метода: метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса .

В плане использования третьего наблюдения введем понятие матрицы.

Матрицей размера будем называть прямоугольную таблицу, состоящую из чисел и имеющую строк и столбцов.

Числа, входящие в матрицу, принято называть ее элементами и обозначать , где индекс означает номер строки, а индекс — номер столбца матрицы, на пересечении которых стоит данный элемент .

Сама матрица сокращенно обозначается символом или просто заглавной буквой:

.

При этом — ая строка состоит из элементов , а — ый столбец – из элементов . При матрицу будет называть квадратной порядка . Для квадратной матрицы вводится понятие главной диагонали, состоящей из элементов .

Матрица , у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной, а в случае — скалярной матрицей.

Скалярная матрица при называется единичной и обозначается или просто (когда порядок матрицы фиксирован).

Треугольной будем называть квадратную матрицу, все элементы которой ниже (или выше) главной диагонали равны нулю.

Ступенчатой матрицей назовем матрицу, в которой каждая строка, кроме первой, начинается с нулей, причем их число возрастает с ростом номера строки, но последняя строка содержит по крайней мере один ненулевой элемент.

Примерами ступенчатой матрицы могут служить матрицы

, ,

, .

Заметим, что треугольная матрица является частным случаем ступенчатой. Примером треугольной матрицы служит матрица .

Теперь мы можем установить соответствие между системами линейных уравнений и матрицами.

Для каждой системы (1) линейных уравнений с неизвестными можно составить матрицу из коэффициентов этой системы

и матрицу из коэффициентов системы и ее свободных членов :

.

Таким образом, матрица отличается от матрицы наличием еще одного ( — ого) столбца – столбца свободных членов.

Матрицу принято называть матрицей системы (1), а матрицу — расширенной матрицей системы.

С другой стороны, имея матрицу , всегда можно записать соответствующую систему линейных уравнений (1).

В полной аналогии с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений введем элементарные преобразования строк матрицы:

1. Перестановка любых двух строк;

2. Умножение любой строки на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, отличное от нуля;

4. Выбрасывание нулевой строки.

Если матрица получена из матрицы с помощью одного или нескольких (цепочки) элементарных преобразований, то такие матрицы принято называть эквивалентными и обозначать этот факт .

С помощью элементарных преобразований строк любую (ненулевую) матрицу можно привести к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Покажем это на примере.

Пример 2 . Приведите к ступенчатому виду матрицу

Матрица является целочисленной, т.е. все ее элементы целые числа. В первом столбце нет элементов ± 1 (а именно такие элементы очень удобны для элементарных преобразований, что будет видно из дальнейшего).

Можно было бы первую строку умножить на , создавая на месте элемента , но это приведет к потере целочисленности матрицы и поэтому к относительно неудобным последующим вычислениям.

Поступим иначе: умножим третью строку на и прибавим к первой, тогда

Теперь (для создания нулей в первом столбце) умножим первую строку новой матрицы на и прибавим ко второй, а после умножения ее же на прибавим к третьей строке.

Умножим третью строку полученной матрицы на и прибавим ко второй:

Умножим вторую строку на и прибавим к третьей:

Матрица — ступенчатая.

Цепочку преобразований матрицы к ступенчатой матрице можно записать следующим образом:

.

Замечание. Можно ввести понятие элементарных преобразований и для столбцов матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Числа называются коэффициентами системы ; — свободными членами , — неизвестными . Количество уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу неизвестных.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной .

Система (5.1) называется однородной , если все свободные члены равны нулю:

В отличие от однородной, систему общего вида (5.1) называют неоднородной .

Систему (5.1) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы

свободные члены записываем в столбец свободных членов

а неизвестные — в столбец неизвестных

Матричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет вид

Матричную запись (5.3) системы уравнений можно представить в эквивалентной форме

Тогда решение системы представляется столбцом и удовлетворяет равенству

т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы.

Относительно системы уравнений нас интересуют ответы на следующие вопросы:

1. Совместна система или нет?

2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или нет?

3. Если решение единственное, то как его найти?

4. Если система имеет бесконечно много решений, то какова структура множества решений?

5. Как в бесконечном множестве решений системы определить одно решение, наилучшее с практической точки зрения?

6. Если система несовместна, то как определить ее приближенное решение?

Правило Крамера

Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных , т.е. систему

где матрица системы — квадратная n-го порядка:

Ее определитель обозначим

Теорема 5.1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение . Так как определитель матрицы отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение имеет единственное решение:

где — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца , учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы

Заметим, что в скобках записано разложение определителя по i-му столбцу, т.е. , что и требовалось доказать.

1. На практике при больших правило Крамера не применяется, так как вычисление определителя n-го порядка требует большого числа арифметических операций. Поэтому применяются более экономичные алгоритмы. Обычно, правило Крамера используется, когда нужно найти только несколько неизвестных (например, одну) среди многих. В теоретических исследованиях правило Крамера незаменимо и используется весьма продуктивно.

2. Если и хотя бы один определитель , то система несовместна. Если , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера

Решение. Составим матрицу системы . Вычислим ее определитель

Так как определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение (см. теорему 5.1). Находим определители и неизвестные

Условие совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему (5.3) линейных уравнений с неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы :

Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.

Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .

Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы ее ранг не изменяется. Следовательно, .

Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства следует, что базисный минор матрицы является базисным минором расширенной матрицы . Поэтому столбец является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы , а, значит, и всех столбцов матрицы . Следовательно, существуют числа , удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.

Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.

Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения

Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы

Ранг матрицы равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы

Следовательно, . Поэтому система несовместна (не имеет решений).