Совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными

Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить

Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности — прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры — система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

1. Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.

Пример 1

Вот примеры совокупности уравнений:

x + 1 = 0 , x 2 — 1 = — 8 x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5

Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5 .

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Приведем пример такой записи:

x + 3 > 0 , 2 · x + 3 ≤ 0 , 5

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части — это целые рациональные первой степени.

Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача — сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

x > 3 x 8 x — 5 x ≤ — 2 x 2 = 9 x 2 > 5 ( x — 6 ) · ( x — 8 ) = 0 x ≤ 3 x 2 + 2 · x — 8 > 0

Что такое решение совокупности

Решение — главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение — это значение x , при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

Возьмем неравенство x > 1 , x 2 ≥ 4 · x + 2 . Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она — верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0 > 1 и x 2 ≥ 4 · x + 2 неверна.

Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, — это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

x 2 + y 2 = 4 , x + y > 0 , x ≥ 3

Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3 ( 3 + 0 > 0 и 3 ≥ 3 — верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1 , ни ко 2 , ни к 3 они не подойдут.

В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим — их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

В продолжение темы мы советуем вам материал «Равносильные совокупности».

Системы уравнений с несколькими неизвестными. Системы следствия

Данная презентация может быть использована на уроках алгебры и начала математического анализа в 11 классе по УМК С.М Никольского и др. В презентации представлен материал для двух уроков:1. Системы уравнений с несколькими неизвестными.Основные понятия. 2. Системы — следствия

Просмотр содержимого документа
«Системы уравнений с несколькими неизвестными. Системы следствия»

Системы уравнений с несколькими неизвестными

Цель: рассмотреть системы уравнений с несколькими неизвестными, содержащие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции и способы их решения

Совокупность уравнений с несколькими неизвестными вида

называется системой уравнения.

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую упорядоченную пару чисел , при подстановке которой в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти множество всех ее решений или показать, что система решений не имеет.

Две системы уравнений называются равносильными, если совпадают множества всех их решений.

Несколько простейших утверждений о равносильности систем

1. Если уравнения системы поменять местами, то получится система, равносильная исходной.

2. Если в одном из уравнений системы перенести члены уравнения ( с противоположными знаками) из одной части уравнения в другую, то получится система, равносильная исходной.

3. Если обе части одного уравнения системы умножить на не равное нулю число, то получится система, равносильная исходной.

Несколько простейших утверждений о равносильности систем

4. Если одно из уравнений системы заменить суммой этого уравнения и какого – нибудь другого уравнения системы, то получится система, равносильная исходной.

5. Система, равносильная исходной системе, получается также, если в одном из уравнений:

А)привести подобные члены многочлена;

Б) применить формулы сокращенного умножения;

Методы решения систем уравнений

1. Метод подстановки ;

2. Метод сложения;

3. Графический метод.

Метод подстановки – основной для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Если в одном из уравнений системы выразить одно неизвестное через другое и подставить полученное выражение вместо первого неизвестного во второе уравнение, то получится система, равносильная исходной.

Задача: является ли пара чисел ( 1;2) решением системы

Решаем в классе:

• № 14.7 (а,в)
• № 14.8 ( б)
• № 14.10 ( а)
• № 14. 11 ( б)

• № 14.7 (б)
• № 14.8 ( а)
• № 14.10 ( б)
• № 14. 11 ( а)

Цель: ввести понятие системы – следствия и научиться решать системы уравнений с помощью алгебраических преобразований.

называют следствием системы уравнений

если каждое решение второй системы является решением первой системы.

Справедливы следующие утверждения:

К системе – следствию приводят следующие преобразования:

а) замена в уравнении системы разности

нулем ( т.е.приведение подобных слагаемых);

б) возведение одного из уравнений в четную степень;

в) освобождение от знаменателя в одном из уравнений системы;

г) потенцирование хотя бы одного уравнения системы.

Решаем в классе:

• № 14.20 (а,в)
• № 14.21 ( а,)
• № 14.23 ( а)

• № 14.20 (б,г)
• № 14.21 ( б,г)
• № 14.23 ( б)

Решение систем уравнений с двумя переменными методом замены неизвестных

Цель: научиться решать некоторые системы с двумя переменными методом замены неизвестных

• Среди трех пар чисел (1;1), (1;5), и (5;1) найдите решения системы :

Укажите метод решения системы двух уравнений

Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении, которое мы приведем только для систем двух уравнений с двумя переменными

Пусть дана система уравнений

и пусть система

имеет к различных

Тогда множество решений системы (1) есть объединение всех решений каждой из к систем:

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: