1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.
2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.
3. Совокупности уравнений с двумя переменными.
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ f2 (х) = g₂ (х)
Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.
Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравнение f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — множеством решений этого уравнения.
Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.
Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство
1 +2 × 5 = 12. Следовательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.
Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в верное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.
Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множество Т решений этого уравнения можно записать так:
Упражнения
1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений: а) х — у = 5;
б) у = Зх; в) Зх — 2у == 16.
2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение? Можно ли сказать, что любая пара чисел является решением данного уравнения?
3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?
4. Даны два уравнения: х + у = 9 и х — у = 1. Найдите пару чисел, которая: а) является решением первого уравнения, но не является решением второго; б) является решением второго уравнения, но не является решением первого; в) является решением и первого и второго уравнений; г) не является решением ни первого уравнения, ни второго.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Система двух уравнений с двумя переменными имеет вид:
<
f₁ (х, у) = g₁ (х, у)
f2 (х, у) = g₂ (х,у)
Решением этой системы является любая пара чисел (а; b), обращающая каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. Множество таких пар есть пересечение множества решений первого уравнения с множеством решений второго.
Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве X, если их множества решений совпадают.
Пример 1. Решим систему уравнений
х — 2у = 4, используя метод алгебраического сложения.
Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2 и первое уравнение сложим со вторым, получим систему
(Зх + 4у) + (2х — 4у) = 5 + 8
После приведения подобных членов данная система примет вид: Зх + 4у = 5
Решением данной системы является пара чисел х = 13/5, у = — 7/10.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Общее уравнение прямой— уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.
Уравнение прямой в отрезкахимеет вид х/а + у/b = 1, где а и b- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.
Уравнение прямой с угловым коэффициентомимеет вид у = кх + b, где к = tg ά — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b
ордината точки пересечения прямой с осью Оу/
Уравнение прямой, проходящей через две точкиА(х], у]) и В(х2 ,у2), имеет вид
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле
Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А(6; 2) и В(-3;8). )
Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек
А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = — 2/3х + 6.
Преобразуем последнее уравнение
к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b =6.
Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С2 — 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.
Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх — 4у + 11 = 0 и 4х — у — 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) — точка пересечения этих прямых.
Острый угол между двумя прямыми, заданными:
— общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С2 — 0
— общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂
вычисляется по формуле tg φ = | (k ₁ — k ₂) | (1 + k ₁ × k ₂)|
Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х — 1 и у = -2х + 4.
Условие параллельности двух прямых, заданных:
-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С2= 0, имеет вид Ах / А ₂ = В₁/ В₂;
— уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет видk₁= k₂.
Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:
— общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С2 = 0, имеет вид Ах А ₂ + В₁ В₂ = 0;
— уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет видk₁k₂ = — 1
Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и параллельной прямой 4х — 2у + 5 = 0.
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИс центром в начале координат и радиусом R имеет вид х 2 + у 2 = /? 2 ; уравнение окружности с центром в точке А<а; b) и радиусом Rимеет вид (х — а) 2 + <у - b) 2 = /? 2 ; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах 2 + Ау г + Вх + Су + О = 0.
Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной
1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
2. Совокупности неравенств с двумя переменными.
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Система неравенств f₁ (х) > g₁ (х) и f2 (х) > g₂ (х) имеет вид:
<
f₁ (х) > g₁ (х)
f2 (х) > g₂ (х).
Решением этой системы является всякое значение переменной х , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Неравенство |х| 0, равносильно системе
или двойному неравенству —а — 6(х + 2)
3 (3 + 2х) —7 есть числовой промежуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х g₁ (х) и f2 (х) > g₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде
[
f₁ (х) > g₁ (х) (1)
f2 (х) > g₂ (х) (2).
Решением совокупности неравенств с одной переменной называется всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.
Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Неравенство |х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:
[
х > а
х 0 или f₁ (х) × g₁ (х) (1) > 0 равносильно
совокупности (дизъюнкции) систем:
[
f (х) > 0
g (х) > 0.
[
f (х) х — 1,
Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.
Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:
Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежуток ]2; ¥[, а множество решений неравенства х > 1 — промежуток — ]1; ¥[. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение. Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.
П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала.
ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Совокупность уравнений и неравенств
Совокупность уравнений (неравенств) – это несколько неравенств или уравнений, решения которых нужно объединить.
Совокупность выглядит вот так:
Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).
То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).
Наглядно эту идею можно представить так:
решение системы решение совокупности
В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а во втором – вынесем за скобку икс.
\( \left[ \begin\frac<3>>6\\ x(x-7) 18\\ x(x-7) квадратные с одной переменной. Решая их по отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – неважно), находим корни: — у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\); — у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\). А окончательным ответом будут они все, то есть:
Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы только одно значение: \(-3\) (потому что только оно подходит обоим уравнениям сразу).
Совокупности уравнений, неравенств, систем и т.п.
Вообще в школьных учебниках алгебры о совокупностях информации очень мало. Про совокупности упоминается лишь вскользь, да и то в старших классах. С нашей точки зрения это не очень справедливо хотя бы потому, что использование совокупностей довольно удобно при оформлении решений уравнений, неравенств и их систем. Давайте восполним этот пробел.
Ниже представлен материал, дающий общее представление о совокупностях уравнений, неравенств, систем и их всевозможных комбинаций. Здесь вы найдете определения совокупностей и их решений, принятые обозначения, а также поясняющие примеры.
Навигация по странице.
Что такое совокупность уравнений, неравенств, систем?
Сразу скажем, что если у Вас сформировано четкое представление о системах уравнений и системах неравенств, то определения совокупностей воспримутся очень легко. Прочитав их, Вы сразу почувствуете, будто уже их встречали.
Информация из учебников [1, с. 24; 2, с. 129; 3, с. 64-65] позволяет записать следующее определение совокупности уравнений:
Совокупностями уравнений называются записи, представляющие собой несколько расположенных друг под другом уравнений, которые слева объединены квадратной скобкой, и обозначающие множество всех таких решений, которые являются решениями хотя бы одного из уравнений совокупности.
Давайте проведем параллель между системами и совокупностями. Системы записывают с помощью фигурной скобки, а совокупности – с помощью квадратной, системы обозначают множество решений, которые являются решениями каждого уравнения системы, а совокупности – множество решений, которые являются решениями хотя бы одного уравнения совокупности.
Для наглядности приведем примеры совокупностей уравнений: , .
Здесь заметим, что в школе при записи совокупностей часто не используют квадратную скобку, а просто перечисляют через запятую составляющие этой совокупности. Так последняя совокупность из предыдущего абзаца может быть записана как x+y 2 +z 4 =0 , x·y·z=0 , z=5 .
Аналогично определяется и совокупность неравенств:
Совокупность неравенств – это запись, представляющая собой несколько записанных одно под другим неравенств, объединенных слева квадратной скобкой, и обозначающая множество решений, являющихся решениями хотя бы одного из неравенств совокупности.
Это определение находится в согласии с описанием совокупностей неравенств, приведенным в учебнике Мордковича [1, с. 222] .
Вот пример совокупности неравенств .
При описании совокупностей при надобности можно уточнять число составляющих их уравнений и неравенств, число переменных и вид уравнений и неравенств. К примеру, совокупность из предыдущего абзаца – это совокупность двух неравенств с одной переменной x , причем составляющие ее неравенства – целые рациональные первой степени.
Под знак совокупности можно поместить не только уравнения или неравенства по отдельности. Есть смысл рассматривать, например, совокупность уравнения и двух неравенств, неравенства и системы уравнений, совокупность двух систем неравенств и т.п. При этом главное сохранять смысл, заключающийся в совокупности, — она означает множество решений, являющихся решением хотя бы одного объекта совокупности.
Для примера приведем совокупность двух систем неравенств и совокупность такого вида .
Что называется решением совокупности?
К совокупностям непосредственно относятся их решения. Дадим определения решений совокупностей с одной переменной, а также с двумя, тремя и большим числом переменных.
Решением совокупности с одной переменной называется такое значение переменной, которое является решением хотя бы одного составляющего элемента совокупности.
Например, если речь идет о совокупности уравнений с одной переменной, то решение совокупности – это значение переменной, которое является решением хотя бы одного составляющего ее уравнения. Так x=3 – это решение совокупности неравенств , так как 3 является решением первого неравенства. А вот нуль не является решением записанной совокупности, так как это значение не является решением ни одного неравенства совокупности, действительно, 0>1 и 0 2 ≥4·0+2 – неверные числовые неравенства.
Решением совокупности с двумя, тремя и большим числом переменных называется двойка, тройка и т.д. значений переменных, являющаяся решением хотя бы одного объекта совокупности.
В качестве примера рассмотрим следующую совокупность . Пара значений (3, 0) есть решение этой совокупности, так как она является решением системы , потому что 3+0>0 и 3≥3 — верные неравенства. А пара значений x=−1 , y=2 не является решением совокупности, так как она не является решением ни уравнения x 2 +y 2 =4 , ни системы неравенств .
Иногда используются термины «частное решение совокупности» и «общее решение совокупности». Под частным решением совокупности понимают одно отдельно взятое решение, а общим решением называют множество всех частных решений совокупности. Но чаще говорят просто о решении совокупности, а уже из контекста черпают дополнительную информацию, о частном или об общем решении идет речь.
В заключение заметим, что из определения совокупности и ее решений следует такой вывод: решение совокупности есть объединение решений всех элементов, составляющих совокупность. А решение систем, напомним, есть пересечение решений всех ее элементов.
Продолжить изучение темы рекомендуем материалом статьи равносильные совокупности.
, 
.
.
и совокупность такого вида 
.
, так как 3 является решением первого неравенства. А вот нуль не является решением записанной совокупности, так как это значение не является решением ни одного неравенства совокупности, действительно, 0>1 и 0 2 ≥4·0+2 – неверные числовые неравенства.
. Пара значений (3, 0) есть решение этой совокупности, так как она является решением системы 
, потому что 3+0>0 и 3≥3 — верные неравенства. А пара значений x=−1 , y=2 не является решением совокупности, так как она не является решением ни уравнения x 2 +y 2 =4 , ни системы неравенств