Спектральный признак устойчивости Неймана для разностной
ЛЕКЦИЯ 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
МЕТОДОМ КРАНКА – НИКОЛСОН.
Общая постановка разностной задачи уравнений математической
Физики.
Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений . При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные (будем в дальнейшем называть их одним общим термином – входные данные), задаются с определённой погрешностью. В процессе самого численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению решения.
Схемы, которые в процессе счёта усиливают начальные погрешности, называются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике.
Пусть имеется непрерывная дифференциальная задача для функции 
:
, (5.1.1)
где L – дифференциальный оператор, f – правые части (входные данные).
Общая формулировка такой задачи заключается в следующем. Требуется найти функцию u, удовлетворяющую уравнению (5.1.1) во внутренних точках области G, а на участках Гi границы 
необходимым граничным условиям, обеспечивающим корректность поставленной задачи.
Применительно к задачам математической физики принято говорить, что задача поставлена корректно, если выполнены два условия:
1) задача однозначно разрешима при любых входных данных из некоторого класса;
2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Это требование называют устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью.
Для применения разностного метода решения уравнений в частных производных на первом шаге заменяют область 
непрерывного изменения аргументов (независимых переменных) дискретной областью 
, где ωn – внутренняя часть сеточной области, γn – её граница. В простейшем случае сеточная область может быть образована совокупностью точек пересечения линий сетки, параллельных осям координат, удалённых друг от друга на расстояния 
. Они называются шагами сетки по соответствующим направлениям и представляют собой малые параметры. Узлы, лежащие внутри ωn, образуют совокупность внутренних узлов. Точки пересечений линий сетки с границей Г образуют γn – совокупность граничных узлов сеточной области. Разумеется, существует множество других способов построения сеточной области. В общем случае сетка может быть неравномерной, когда шаги hi по направлениям меняются (hi ≠ const). В случае криволинейной сетки за шаги сетки принимаются расстояния между соседними узлами, лежащими на одной линии.
При стремлении шагов сетки к нулю сетка сгущается, узлы равномерно покрывают расчётную область G и границу Г. Приближённые решение задачи (5.1.1) отыскиваются в узлах сетки. Совокупность значений приближённого решения в узлах сетки образует сеточную функцию yn, которая будет отличаться от значений точного решения un в одних и тех же узлах.
Разностная задача отличается от исходной задачи (5.1.1) и записывается в виде:
, (5.1.2)
где Ln – конечно-разностный оператор, аппроксимирующий оператор L; yn – приближённое сеточное решение; f n – проекция правой части на сеточную область.
Чаще всего задача (5.1.2) – это задача решения достаточно большой системы линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. Ошибка приближённого решения определяется как разность 
, а величина ошибки вычисляется по той или иной норме пространства сеточных функций:
, (5.1.3)
где за норму, например, 
можно принять максимальное по модулю значение yn в узлах разностной сетки 
:
(5.1.4)
Абстрактные формулировки (5.1.1) и (5.1.2) позволяют определить общие, не зависящие от конкретной задачи требования к разностной схеме (5.1.2) , выполнение которых гарантирует малость ошибки 
приближённого решения.
Главная теорема теории разностных схем даёт ответ на вопрос о близости приближённого и точного решения.
Теорема. Если разностная схема (5.1.2) аппроксимирует (приближает) задачу (5.1.1), т.е. 
, и решение задачи (5.1.2) устойчиво (непрерывно зависит от входных данных, 
, где C=const, не зависящая от h), то разностное решение yn сходится к точному un, т.е. 
. В этих определениях запись h→0 предполагает, что все шаги сетки hi→0.
Таким образом, мы видим, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то она сходится (из аппроксимации и устойчивости следует сходимость). Порядок точности и скорость сходимости схемы определяется её порядком аппроксимации.
Спектральный признак устойчивости Неймана для разностной
Задачи Коши.
Пусть дана непрерывная задача (5.1.1) и пусть на сетке её аппроксимирует задача (5.1.2). Будем рассматривать только линейные уравнения в частных производных и аппроксимирующие их линейные разностные схемы. В таком случае определение устойчивости может быть сформулировано следующим образом:
Определение. Разностная схема (5.1.2) устойчива, если для любой функции fn разностная задача (5.1.2) имеет единственное решение yn такое что:
(5.2.1)
с константой с, не зависящей от параметра h.
Неравенство (5.2.1) означает, что норма приближённого решения отличается от нормы входных данных 
на некоторую постоянную величину. Напомним, что в простейшем случае она может быть выражена соотношением (5.1.4).
Рассмотрим один из методов исследования устойчивости разностных схем, который называют методом гармоник или спектральным признаком устойчивости Неймана. Этот метод широко используется в исследовании разностных схем, аппроксимирующих эволюционные уравнения (5.1.4).
Будем рассматривать только задачу Коши и однородные уравнения. Кроме того, коэффициенты уравнений будем считать постоянными, “замораживая” их, даже если они фактически не постоянны в исходной задаче (5.1.1). При таких предположениях разностные уравнения имеют частные решения в виде гармоник произвольной частоты ω:
, (5.2.2)
где c=const; i – мнимая единица; α = ωh; ω – произвольные натуральные числа; λ=λ(α,τ,h) подлежит определению для каждой конкретной системы; (τ – шаг по t; h – шаг по х – в одномерной эволюционной задаче для функции u(x,t)).
После таких предположений входными данными для разностной задачи будут являться только начальные условия.
Условие устойчивости по начальным данным для решений (5.2.2) на основании определения (5.1.1) сводится к требованию ограниченности амплитуды λ этих гармоник:
(5.2.3)
Требуя выполнения неравенства (5.2.3) при произвольном α (т.е. для произвольных гармоник), мы можем найти необходимое условие устойчивости разностной схемы (5.1.2), которое может наложить некоторые ограничения на шаги сетки τ и h. Проверку условия (5.2.3) можно свести к более простому условию:
, (5.2.4)
где А – некоторая константа. Доказательство этого утверждения приведено в [4]. Неравенство (5.2.4) называется спектральным признаком Неймана устойчивости разностных схем.
Изложим широко применяемый на практике способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. Ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами. Будем исследовать устойчивость по начальным данным. Не умоляя общности рассуждений, исследование проведём на простейшем примере разностной задачи Коши:
(5.2.5)
запишем задачу (5.2.5) в виде:
(5.2.6)
Определим нормы 
и 
в линейных нормированных пространствах 
и 
равенствами:
(5.2.7)
Тогда условие устойчивости задачи (5.2.6):
(5.2.8)
в терминах (5.2.7) примет вид:
, (5.2.9)
где c=const не зависит от h (и от τ=rh, r=const). Условие (5.2.9) должно выполнятся при произвольных 
и 
.
В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных и 
, т.е. чтобы решение задачи
(5.2.10)
(5.2.11)
при произвольной ограниченной функции 
.
Свойство (5.2.11), необходимое для устойчивости (5.2.9) задачи (5.2.5), называется устойчивостью задачи (5.2.5) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение , внесённое в начальные данные задачи (5.2.5), вызовет возмущение решения задачи (5.2.5), которое в силу (5.2.10) не более чем в “с” раз превосходит возмущение начальных данных, причём “с” не зависит от h.
Для условия устойчивости задачи Коши (5.2.5) по начальным данным необходимо, чтобы условие (5.2.11) выполнялось, в частности, если есть какая-нибудь гармоника
(5.2.12)
где α – вещественный параметр, а 
— мнимая единица. Но решение задачи (5.2.10) при начальном условии (5.2.12) имеет вид:
(5.2.13)
где 
определяется путём подстановки выражения (5.2.13) в однородное разностное уравнение задачи (5.2.10):
(5.2.14)
Для решения (5.2.13) справедливо равенство:
Тогда для выполнения условия (5.2.11) необходимо, чтобы при всех вещественных α выполнялось неравенство:
(5.2.15)
(5.2.16)
где c1 – некоторая постоянная, не зависящая от α и τ. Условия (5.2.15) и (5.2.16) — необходимое спектральное условие Неймана для рассматриваемого нами примера. Спектральным оно называется по следующей причине.
Существование решения вида (5.2.13) показывает, что гармоника 
является собственной функцией оператора перехода
, (5.2.17)
который в силу разностного уравнения (5.2.10) ставит в соответствие сеточной функции 
, определённой на слое t=tp, сеточную функцию 
, определённую на слое t=tp+1. Число 
является соответствующим этой гармонике собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает точка на комплексной плоскости, когда α пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода.
Таким образом, необходимое условие устойчивости (5.2.16) можно сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующего разностному уравнению задачи (5.2.10), должен лежать в круге радиуса 
на комплексной плоскости. В нашем примере спектр (5.2.14) не зависит от шага τ. Поэтому условие (5.2.16) равносильно требованию, чтобы спектр 
лежал в единичном круге:
(5.2.18)
Воспользуемся сформулированным признаком для анализа устойчивости задачи (5.2.5). Спектр (5.2.14) представляет собой окружность с центром в точке 
и радиусом к на комплексной плоскости.
В случае 
эта окружность лежит внутри единичного круга (касаясь его в точке λ=1), при r=1 совпадает с единичной окружностью, а при 
лежит вне единичного круга .
Соответственно необходимое условие устойчивости (5.2.18) выполнено при 
и не выполнено .
В общем случае задачи Коши для разностных уравнений и систем разностных уравнений необходимый спектральный признак устойчивости Неймана состоит в том, что спектр 
разностной задачи при всех достаточно малых h должен лежать в круге
(5.2.19)
на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее выбранное положительное число ε .
Заметим, что если для разностной задачи спектр окажется не зависящим от h (и от τ), то условие (5.2.19) равносильно требованию, чтобы спектр 
лежал в единичном круге (3.19).
Под спектром разностной задачи в условии (5.2.19) понимается совокупность всех , при которых соответствующее однородное разностное уравнение (или система уравнений) имеет решение вида
, (5.2.20)
где u 0 – число (единица), если речь идёт о скалярном разностном уравнении, и числовой вектор, если речь идёт о векторном разностном уравнении, т.е. о системе скалярных разностных уравнений.
Если необходимое условие Неймана (5.2.19) не выполнено, то ни при каком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборе норм устойчивость имеет место.
Рассмотренный выше необходимый признак устойчивости Неймана для исследования разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, можно применять и в случае разностной задачи Коши с непрерывными, но не постоянными коэффициентами, а также для задач в ограниченных областях, когда граничные условия задаются не только при t=0, но и на боковых границах. Также этим признаком можно пользоваться и для исследования нелинейных задач.