Список литературы по квадратным уравнениям

Проект » Квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Автор: ученик 8»а» класса

Глава 1. Изучение литературы

Глава 2. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и приемах их решения

Глава 3. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава 4. Материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Глава 5. Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами.

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Цель: создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос: как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Гипотеза: Предполагаем, что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения

Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

Изучить дополнительные литературу и источники информации

Систематизировать нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

Разработать дидактический материал и провести его апробацию на факультативе в 8 классе

Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: приемы решения квадратных уравнений

Основной материал, связанный с изучением темы «Решение квадратных уравнений» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Алгебра-8 класс разобраны основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2.Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений, о нестандартных приемах их решения, в школьных учебниках отсутствуют. Поэтому в ходе работы над проектом изучалась дополнительная научная литература и другие источники информации.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений нестандартными приемами и перейти к следующему этапу в исследовании- научиться применять полученные знания на практике.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В III в. н. э. квадратное уравнение
х 2 – 20х + 96 = 0
без обращения к геометрии
решил великий древнегреческий математик Диофант (3век).

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

А) Общий вид квадратного уравнения

Б) Известные способы решения

Известные способы решения

полные приведённые квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

Неполные квадратные уравнения

— Нет корней, если –с/ a

Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах 2 + bx + с = 0 (а ≠ 0)

можно рассматривать как абсциссы точек пересечения

окружности с центром Q (- в/2 a ; ( a + c )/2 a ), проходящей через точку

1) если QA > ( a + c )/2 a , то
окружность пересекает ось Ох в двух точках
М(х₁; 0) и N (х₂; 0) , уравнение имеет
корни х₁ ; х₂

2) если QA = ( a + c )/2 a , то

окружность касается оси Ох в точке М(х₁; 0),
уравнение имеет корень х_1.

3) если QA a + c )/2 a , то окружность не имеет общих точек с осью Ох,
и уравнение
не имеет корней.

Проведя анализ, я заметил, что значения корней квадратного уравнения зависят от его коэффициентов. Следовательно, искать нестандартные приемы решения квадратных уравнений необходимо учитывая эти связи.

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Прием « переброски» старшего коэффициента

Материал для проведения проверочной работы по решению квадратных уравнений с помощью нестандартных приемов

Найденные нестандартные приемы было решение апробировать на факультативном занятии в 8 классе.

Цель данной работы: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Данная работа проведена в 2 этапа:

Были подобраны задачи для проведения работы.

Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

А) 4х 2 – 13х + 9 =0

Б) 1978х 2 – 1984х + 6=0

В) 4х 2 + 11х + 7 = 0

Г) 319х 2 + 1988х +1669=0

Д) 1999х 2 + 2000х+1=0

Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

А) 313х 2 +326х+13=0

Б) 839х 2 — 448х -391=0

В) 345х 2 – 137х – 208=0

Г) 939х 2 +978х+39=0

Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х 2 +5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х 2 -5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х 2 -5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х 2 -5х+2=0 4. -2; -3

5. х 2 -5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х 2 +5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х 2 +5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х 2 +5х+2=0 8. 2; 3

Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;

Наиболее возможное количество набранных баллов-17

Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: — М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970

2 А М.Л.Галицкий,.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение. 2001

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996

5. Штейнгауз В.Г.:Математический калейдоскоп.- М.: Бюро «Квантум»,2005

6.Знциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,1985

Защита проекта «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

В этом учебном году на уроках алгебры мы изучили тему «Квадратные уравнения и способы их решения».

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Недавно ко мне обратился мой знакомый -ученик 11 класса, который забыл общие формулы решения квадратного уравнения. Я сначала удивился, но потом задумался над тем, как помочь таким ребятам найти другие, ранее не изученные приемы решения квадратных уравнений, без применения основных формул решения квадратного уравнения.

Так появился учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»(Слайд1)_

Эпиграфом к проекту могут служить слова Сойера:(2слайд)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

Цель проекта;(3 слайд)

создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос (3 Слайд)

как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Я преположил(3слайд — гипотеза)

что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

План исследования (4слайд)

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Немного истории вопроса(5 слайд)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Однако, почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

В результате обобщения знаний о способах решения квадратных уравнений, анализа дополнительной литературы и других источников информации, найдены нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

(слайд7) метод переброски

Для проверки эффективности использования этих приемов я разработал дидактический материал и предложил провести занятие факультатива в 8 классе поданной теме. Цель занятия: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Проведен анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами (слайд 8)

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

Всего предложено 17 заданий.

За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл; наибольшее количество набранных баллов-17

Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений: заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а так же, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Слайд 10 Спасибо за внимание

первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Список литературы, использованной для практической работы

Скачать
презентациюЗадания по квадратным уравнениям >>

Список литературы, использованной для практической работы. 1. Большая советская энциклопедия /Гл. ред. Прохоров А.М.- 3-е изд. – М.: Советская энциклопедия,1970 — 30 томов. 2.Математический энциклопедический словарь/ Глав. ред. Прохоров Ю.В.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1995-846с. 3. Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. Никольский С.М. – М.: Большая Российская энциклопедия,1996, -527с. 4.Энциклопедический словарь юного математика /Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика,1985.-352с. 5.Энциклопедия для детей. Т.11 Математика. / Глав. ред. Аксенова М.Д.- М.: Аванта +, 1998.- 688с. 6. Самин Д.К. Сто великих открытий — М.: Вече, 2002-480с. 7. Самин Д.К. Сто великих ученых — М.: Вече, 2003-592с.

Слайд 24 из презентации «Задания по квадратным уравнениям» к урокам алгебры на тему «Квадратное уравнение»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Задания по квадратным уравнениям.ppt» можно в zip-архиве размером 3117 КБ.

Квадратное уравнение

«Франсуа Виет и его теорема» — Корни уравнения равны. Гипотеза. Выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет. Обратные корни. Математические открытия. Крупнейший французский математик 16 века. Кубическое уравнение. Квадратные уравнения. Теорема. Корни уравнения. Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений. Два многочлена тождественно равны.

«Решение уравнений с квадратным корнем» — Приложение. Свободный член. Свободный член приведенного уравнения. Уравнение. Квадратное уравнение. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Сумма коэффициентов. Графическое решение квадратных уравнений. Коэффициент. Доказательство. Разложение на множители. Способы решения квадратных уравнений.

«Решение неполных квадратных уравнений» — Взаимопроверка. Распределите данные уравнения на 4 группы. Тема урока. Решение неполных квадратных уравнений. Решение поставленной задачи. Первичное осмысление и применение изученного материала. Постановка учебной задачи. Накопление фактов. Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего.

«Нахождение корней квадратного уравнения» — Нахождение дискриминанта. Решение уравнений по формуле. Решение неполных квадратных уравнений. Свойства коэффициентов уравнения. Определение количества корней квадратного уравнения. Обратная теорема Виета. Способы решения квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения. Нахождение корней неполных квадратных уравнений.

«Математика «Квадратные уравнения»» — М.В. Ломоносов. Устно решите квадратное уравнение. е) При каком значении а уравнение имеет один корень? Решите уравнение с буквенными коэффициентами. Квадратное уравнение aх2+bх+с=0 полное неполное b=0 или c=0. Решение квадратных уравнений. Цель: научиться видеть рациональный способ решения квадратных уравнений.

«Задания по квадратным уравнениям» — Команда «Треугольники». История квадратного уравнения. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Круг. Рене Декарт. Треугольник. Диофант. Цели урока. Франсуа Виет. Уравнение x2+9=0 имеет два корня. Формы решения квадратных уравнений. Корень. Квадрат. В корень смотреть – вникать в существо дела. Энциклопедии по математике для учащихся.

Всего в теме «Квадратное уравнение» 34 презентации

Научно-исследовательсий проект по теме «Квадратные уравнения и способы их решения»

Данная работа была выполненена в рамках научно-практической конференции «Шаг в науку». Работа заняла второе место в конкурсе научно-исследовательских проектов, была представлена на заседании ГМО учителей математики. Презентацию к работе можно скачать здесь: https://yadi.sk/i/bBw7ic-X791BCg

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Квадратные уравнения и способы их решения»

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна,

1. Опрос учащихся 8-10 классов и его результаты, стр. 3-4
2. История квадратных уравнений…………………стр. 5-9

1. Квадратные уравнения в Вавилоне. стр. 5
2. Квадратные уравнения в Индии. стр. 5-6
3. Квадратные уравнения в Китае. стр. 6
4. Квадратные уравнения в Древней Греции. стр. 7
5. Квадратные уравнения в Древнем Египте. стр. 7-8
6. Квадратные уравнения в Средней Азии. стр. 8-9
7. Квадратные уравнения в Европе. стр. 9

1. Способы решения квадратных уравнений . стр. 10-14
2. Итоги. стр.14
3. Список литературы . стр.15

Образовательное учреждение: МОУ «Лицей №1», город Подольск Московской области, ул. Большая Серпуховская, д.2/24, тел. 63-01-82

Название тезисов: «Квадратные уравнения и способы их решения».

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна, учитель математики.

Изучить устные приёмы решения квадратных уравнений.

Гипотеза:

Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.

Актуальность:

В 8 классе в курсе алгебры изучается тема «Квадратные уравнения». При изучении этой темы затруднение вызывает решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, так как в ходе решения необходимо выполнять много вычислений , извлекать корни из больших чисел. Исходя из актуальности данной проблемы, мне стало интересно найти и изучить приёмы и способы, облегчающие решение всех этих задач.

Задачи проекта:

Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений; устные способы их решения. Научиться применять данные способы при решении уравнений с большими коэффициентами. Подобрать тренировочные упражнения для отработки изученных приёмов.

Методы исследования:

1. Работа с научно-популярной литературой для более детального изучения проблемы.

2. Социологическое исследование.

3. Анализ полученных результатов, обработка данных

Этапы исследования:

1. Опрос на тему: «Квадратные уравнения. Способы их решения. Трудности при решении».
2. Изучение теоретического материала по дано теме и различных способов решения квадратных уравнений.
3. Освоение устных приёмов решения квадратных уравнений
4. Создание презентации для использования на занятиях математического кружка или для самостоятельного изучения учащимися данного вопроса.

«Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду».

Лев Николаевич Толстой.

Проводя опрос, учащимся разных классов (8-10) был предложен ряд вопросов (с вариантами ответов):

1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения? Да или Нет

2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?

А. выделение полного квадрата

Б. по формуле через D

В. по формуле через D 1 Г. другие.

3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?

А. не знаю формул

Б. сложно вычислять

В. путаю коэффициенты Г. допускаю вычислительные ошибки Д. слишком много времени уходит на решение

Е. не испытываю затруднений

4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений? Да или Нет

1. Первый вопрос (Умеете ли вы решать квадратные уравнения?).

Абсолютно все участники анкетирования умеют решать квадратные уравнения.

1. Второй вопрос (Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете? ).

Большинство учеников по показаниям опроса при решении уравнений чаще всего пользуются приобретёнными в школе навыками (через D или D 1 ).

1. Третий вопрос (Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?).

Проблемы, возникающие у учащихся разных классов, в целом одинаковы, они заключаются в сложности вычислительных действиях.

1. Четвёртый вопрос ( Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений?).

Многие участники анкетирования пользуются школьными приёмами решения квадратных уравнений, но при этом знают другие способы.

• Все школьники умеют решать квадратные уравнения.
• Некоторые знают иные пути решения, но в основном они пользуются обычными школьным приёмом нахождения корней через D.
• Способ решения квадратных уравнений через D подходит для всех квадратных уравнений, но, как выяснилось в ходе опроса, при решении уравнений с большими коэффициентами возникают затруднения, связанные с вычислением: сложно вычислять и велика вероятность допустить вычислительные ошибки.
• В некоторых случаях этих трудностей можно избежать.

2.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость обратить внимание на квадратные уравнения в Древности была вызвана потребностью решения задач, связанных с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне [1] . В их клинописных текстах встречаются уравнения типа:

X 2 + X = ; X 2 — X = 14, 5.

В действительности правило решения этих уравнений, предложенное в Вавилоне, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, всё же в клинописных текстах отсутствуют общие методы решения квадратных уравнений.

2.2. Квадратные уравнения в Индии

Уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой встречаются задачи на квадратные уравнения. Индийские учёные внесли огромный вклад в науку, учёный Брахмагупта (VII в.) в свою очередь, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой установленной форме:

ах 2 + bх = с, а > 0.

В данном уравнении коэффициенты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты собственно совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары [2] :

«Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Вот уравнение соответствующее задаче:

Бхаскара пишет под видом (он раскрывает скобки, домножая уравнение на 64, и переносит все неизвестные в левую часть, а известные в правую):

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

х 1 = 16, х 2 = 48. [2]

Сейчас метод, используемый Бхаскарой в этой задаче, известен как выделения полного квадрата.

2.3. Квадратные уравнения в Древнем Китае

Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах». Это слабо согласованная книга более старых трудов разных авторов, предназначенная для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. Задачи на квадратные уравнения встречаются именно там.

Вот одна из них:

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота, на расстоянии 20 бу (1 бу=1,6м) от северных ворот (вне города) стоит столб, если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» [1]

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников ВЕД и АВС получим . Поэтому чтобы определит неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2 +(k+l)-2kd=0 , в данном случае уравнение имеет вид: х 2 +34х-71000=0, откуда х=250 (бу). Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали.

2.4. Квадратные уравнения в Древней Греции.

Знаменитый древнегреческий математик Диофант, живший предположительно в III веке н. э., умел составлять и решать квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления квадратных уравнений.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х.

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

у 2 — 20у + 96 = 0.

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летосчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax 2 + bx = c умножением всех

членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения.

А в общей сложности все м атематики Древней Греции для решали линейные и квадратные уравнения геометрически [1] . Выбирали способ решения квадратного уравнения, обращая внимание на его вид.

2.5. Квадратные уравнения в Древнем Египте.

Познания о древнеегипетской математике сформированы главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках [7] . Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000г. до н.э. Это папирусы Ринда (по имени обнаружившего его ученого), хранится один из них в Лондоне, другой большой папирус находится в Москве. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера.

Вот надпись из берлинского папируса эпохи среднего царства (2000-1800г. до н.э.):

«Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это» [6] .

Ответ звучит так (геометрическое решение):

Возьми квадрат со стороной 1, и возьми от 1, то есть в качестве стороны второй площади. Помножь на самого себя; это дает . Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за , то сложи обе площади вместе; это дает . Возьми корень отсюда: это будет . Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит в 10? 8 раз.

Далее текст на папирусе прочесть невозможно, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 ×( ) = 6 — второго.

Древнеегипетские вычислители использовали дроби вида , где k-целое положительное число и дроби , . Условие задачи можно записать так: х 2 + ( ) +2х 2 =100. Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным [6] .

2. 6. Квадратные уравнения в Средней Азии.

Знаменитым среднеазиатским ученым, изучавшим квадратные уравнения, был ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Он насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих

уравнений слагаемые, а не вычитаемые.

При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Ал — Хорезми излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал – мукабала [1] . Слова «аль-джебр» и «алмукабала» означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений [3] .

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения.

При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение звучит так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения [3] .

2.7. Квадратные уравнения в Европе.

В Европе формулы для решения квадратных уравнений, по образцу ал — Хорезми, были впервые изложены в « Книге абака» итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году [4] .

Он самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому установленному виду:

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имелся у французского учёного Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Из итальянских математиков Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. стали учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни [5] . Лишь в XVII в. благодаря труду Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3 . С пособы решения квадратных уравнений

Для начала повторим то, что нам уже известно. Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида: де — x свободная переменная, a,b и c — коэффициенты, причём a 0 .

В школьной программе мы изучаем всего несколько различных способов решения квадратных уравнений, такие как:

1. Решение через дискриминант, при этом:

1. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле
2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет единственный корень ;
3. Если D , то действительных корней нет;

1. Решение через D 1 (в случае если коэффициент b чётной), который находится по формуле D 1 где k = , отсюда формула нахождения корней: . Данный способ облегчает решение уравнения, но коэффициент b не всегда чётный;

1. Исходя из теоремы Виета, учащиеся методом подбора могут находить корни приведённого квадратного уравнения. По теореме Виета в уравнении сумма корней равна его второму коэффициенту , а произведение – свободному члену q, тоесть: ;
2. Также учениками изучается способ выделение полного квадрата, используется он реже всего.

Т еперь давайте разберём способы, облегчающие решение некоторых квадратных уравнений:

Способ № I : «Решение уравнений способом «переброски»». [9]

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем: х 1 = и х 2 = .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, отсюда и название. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета.