Способ подстановки систем уравнений 7 класс видеоурок

Способ подстановки систем уравнений 7 класс видеоурок

Решим систему уравнений:

Выразим из первого уравнения у через х:

Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения , мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).

Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.

В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой

Пара (1; 4) — решение системы (1).

Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.

На рисунке 66 построены графики уравнений и . Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.

Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:

Выразим из второго уравнения х через у:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение

Решим полученное уравнение с одной переменной у:

Подставим в уравнение вместо у число 4,5:

Ответ: х=—3, у = 4,5.

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 1. Решим систему:

В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:

Решим систему (2). Из уравнения находим, что . Подставив это значение х в уравнение , получим уравнение с переменной у:

Решим это уравнение:

Пара (11; —9) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.

На рисунке 67 изображены графики уравнений 2x + 3у = — 5 и х — Зу = 38.

График уравнения , т. е. прямая , проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).

Пример 2. Решим систему:

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной . Из этого уравнения находим, что . Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:

Ответ: х = 6, у= — 2.

Пример 3. Решим систему

Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:

Сложив уравнения почленно, получим:

Подставив это значение х в уравнение , найдем, что у = 19.

Ответ: х=—14, у —19.

#70 Урок 31. Способ подстановки. Решение систем уравнений. Алгебра 7 класс.

Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классПодробнее

Решение систем уравнений методом подстановкиПодробнее

Алгебра 7 класс. Решение систем уравнений методом подстановкиПодробнее

7 класс, 38 урок, Метод подстановкиПодробнее

Решение систем уравнений. Способ подстановки. Алгебра 7 классПодробнее

Решение системы уравнений способом подстановки. План решения. Алгебра 7 класс.Подробнее

#71 Урок 32. Метод сложения. Решение систем уравнений. Алгебра 7 класс.Подробнее

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 7 класс СИСТЕМА УРАВНЕНИЙПодробнее

Алгебра 7 класс. 17 октября. Решаем систему методом подстановки #1Подробнее

Способ подстановки. Алгебра. 7 класс.Подробнее

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YПодробнее

7 класс. Решение систем линейных уравнений способом подстановкиПодробнее

Алгебра. 7 класс. Урок 7. Решение систем линейных уравнений методом подстановки.Подробнее

Решение систем линейных уравнений способом подстановки.Подробнее

Решение систем уравнений методом подстановки. 7 классПодробнее

Метод подстановки. Алгебра 7-9 классПодробнее

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ. Урок | АЛГЕБРА 7 классПодробнее

Алгебра 7 класс. Урок 3 — Решение системы линейных уравнений. Метод подстановки (сложные случаи)Подробнее

7 класс// АЛГЕБРА // Системы уравнений с двумя переменными — Способ подстановкиПодробнее