Способ подстановки уравнения второй степени

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Предмет: Алгебра

Класс: 9

Раздел: Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Тип: Урок применения полученных знаний.

Оснащение урока:

• Рабочие формулы сокращенного умножения и корней квадратного уравнения.
• Учебник Ю.Н. Макарычева. Алгебра.
• Интерактивная доска, компьютер.
• Презентация с построенными графиками для вывода общего решения и алгоритмом решения систем уравнений второй степени способом подстановки.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, элементы метода проектов.

Общедидактические методы: проблемный, репродуктивный, наглядно-иллюстративный, частично – поисковый.

Цель урока

• Образовательная: Закрепление полученных знаний по теме “Решение систем уравнений второй степени” аналитическим способом.
• Воспитательная: Способствовать воспитанию ответственного отношения к учебному труду и доброжелательного отношения к окружающим.
• Развивающая: Способствовать развитию интереса к математике, логического мышления и внимания решением систем уравнений.

Ход урока

1. Организационный этап.

Подготовка внешней обстановки для работы на уроке.

2. Актуализация опорных знаний.

— Какие способы решения систем уравнений второй степени мы с вами рассмотрели на предыдущих уроках? (Мы познакомились с графическим и аналитическим способами решения систем уравнений второй степени).

— Как решить систему уравнений, содержащую линейное уравнение и уравнение второй степени графическим способом?

— Какие мы должны знать формулы и теоремы для решения систем уравнений второй степени аналитическим способом?

— Что такое система уравнений, и каким знаком обозначаем систему?

К вашему вниманию подготовлены построенные графики функций, которые даны в презентации. Мы должны решить их аналитическим способом и проверить полученные ответы на готовых графиках.

— Как мы решали системы уравнений второй степени способом подстановки?

(по алгоритму (Слайд 2)).

Алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки.

1. Выразим из уравнения первой степени одну переменную через другую.
2. Подставим полученное выражение в уравнение второй степени. Получаем уравнение с одной переменной.
3. Решим уравнение с одной переменной.
4. Найдем значения второй переменной.
5. Записываем ответ.

Дети сами формулируют тему урока, цели и задачи.

Тема: Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными (Слайд 1).

Цель: Закрепить полученные знания по теме “Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными” аналитическим способом.

Задачи: Учиться решать системы уравнений второй степени аналитическим способом, корректировать ошибки самостоятельно и с помощью учителя.

3. Этап применения, закрепления знаний и умений.

1) Решаем системы уравнений с использованием алгоритма у доски и в тетрадях.

Системы, которые были решены графически, мы будем решать аналитическим способом.

Получить в результате должны те же ответы. Если что-то не совпадает, то где-то допущена ошибка и эту ошибку общими усилиями должны найти.

Приступаем к заданиям.

Решить системы уравнений:

Из второго уравнения выражаем у через х, получаем у = х 2 , откуда методом подстановки в первое уравнение имеем -х 2 +2х+3=0.

Решаем приведенное квадратное уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 по теореме Виета и находим корни: 3, -1, отсюда 9; 1.

Ответ: (3; 9), (-1; 1). (Слайд 4)

Методом подстановки вместо у = 4+ х в первое уравнение, получаем х 2 + (4 + х) 2 = 16. Применяя формулу сокращенного умножения — квадрата суммы, получаем квадратное уравнение 2х 2 + 8х = 0. Решаем неполное квадратное уравнение 2х(х+ 4) = 0 методом интервалов. Получаем 0; -4, отсюда 4; 0.

Ответ: (0; 4), (-4; 0). (Слайд 6)

Методом подстановки в первое уравнение второго уравнения, получаем у 2 — у — 2 = 0; Решаем приведенное квадратное уравнение по теореме Виета. Находим корни: 2; -1. Откуда 5; .

Ответ:(5; 2), (2; -1). (Слайд 8)

Методом подстановки во второе уравнение первого получаем 2х 2 + х – 3= 0.

Решая полное квадратное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, находим 1; , отсюда 2; 3.25.

Ответ:(1; 2),(-1,5; 3,25). (Слайд 10)

2) Самостоятельная работа.

Решите системы уравнений аналитическим и графическим способами из № 429, № 430, стр.114, параграф 7 п.19.

Рефлексия:

— Какие цели и задачи ставили перед собой на уроке?

— Смогли ли вы достичь их?

— Оцените, пожалуйста, свою деятельность на протяжении всего урока!

— Какой вид деятельности вам больше понравился?

4. Этап подведения итогов урока.

За активную работу на уроке, учитывая ответы, как за устную, так и за письменную работу, выставляются заслуженные оценки.

5. Этап сообщения домашнего задания.

• №431, №433(а, б, в) стр.114 (легкие системы)
• №433, №443, №444 стр.114-115 (сильным ученикам)

Решите соответствующие системы уравнений аналитическим и графическим способами.

Решение систем уравнений второй степени способом подстановки (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Акатовская основная школа»

Гагаринского района Смоленской области

Открытый урок алгебры в 9 классе по теме:

«Решение систем уравнений второй степени способом подстановки».

Тема : Решение систем уравнений второй степени способом подстановки.

· повторить графический способ решения систем уравнений, алгоритм способа алгебраического сложения при решении систем уравнений;

· научиться применять данные способы при решении систем, содержащих уравнения второй степени;

· научиться решать системы уравнений способом подстановки.

• учиться преодолевать трудности и не боятся их;
• воспитывать познавательную активность.

· развивать умения правильно выбрать способ решения;

· способствовать развитию мыслительных операций таких как анализ и обобщение;

· интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика.

Тип урока : объяснение нового материала

Используемый метод: кейс-метод

1. Организационный момент.

3. Представление кейса учителем;

4. Индивидуальное изучение кейса каждым членом группы;

5. Разработка вариантов индивидуальных решений;

6. Обсуждение вариантов индивидуальных решений;

7. Подготовка к обсуждению и дискуссия.

8. Домашнее задание.

10. Подведение итогов.

1. Организационный момент .

Ребята, эпиграфом к нашему уроку взяты слова известного немецкого поэта и мыслителя Йоганна Вольфганга фон Гете.

«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближается к учителю». Думаю, сегодня на уроке у каждого из вас появится возможность, «приблизиться» к учителю.

Мы продолжаем работать над какой проблемой? (решение систем уравнений второй степени)

Какими способами мы уже научились решать системы уравнений второй степени? (графический и метод сложения).

Какой метод у нас еще встречался при решении систем линейных уравнений? (метод подстановки).

Этот метод широко распространен и им мы сегодня займемся.

И поможет нам в этом кейс.

3. Представление кейса учителем.

4. Индивидуальное изучение кейса каждым членом группы.

Выполни задания и запиши ответ в отведенное поле.

отметка о выполнении

Определить степень уравнения:

в) х 5 – 5х 4 у 2 + ху = 0

г) (х 2 — 2у 2 ) 2 = 5у

Является ли пара чисел решением уравнения?

а) 2х + 3у = — 4; (1; -2)

а) 2х — 3, если х = -3

б) 1 – 4х, если х =2

Выразить одну переменную через другую.

Проверь ответы и отметь результат проверки.:

х = 8 -2у или у = 4- 0,5 х

х= у – 1 или у = х +1

Ответь себе на вопросы, проговорите ответы в парах.

1. Что значит решить систему уравнений?

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

3. Сколько пар решений может иметь система уравнений?

4. Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

5. Какие способы уже применяли при решении систем уравнений второй степени?

6. Чем «ненадежен» графический метод?

7. Какие более надежные методы решения систем уравнений вы знаете?

Четвертый лист кейса:

Вспомнить алгоритм решения систем уравнений методом подстановки.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Решить систему уравнений по алгоритму:

Разработка вариантов индивидуальных решений.

Обсуждение вариантов индивидуальных решений.

Пример. Дана система уравнений.

Решим ее методом подстановки.

1. Выразим у из второго уравнения системы. Какое выражение для у мы запишем?

2 . Выразили у, что дальше? Подставим в первое уравнение.

— Что же мы видим? 1-ое уравнение системы зависит от одной переменной х.

— Какое это уравнение? Это квадратное уравнение.

— А решать их мы с вами умеем.

3. Выпишем 1-ое уравнение системы

— Решите его самостоятельно.

Решив уравнение, получаем х=3, х=5,5.

4. Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения вместо

— Найдите значения переменной у и запишите ответ.

Подготовка к обсуждению и обсуждение.

№ 429 (а, в) выполняем в парах.

6. Домашнее задание.

Инструктаж по выполнению домашнего задания.

«Комплимент», «Благодарю», «Три момента» (понравилось, огорчило, порадовало).

8. Подведение итогов.

— Вы все сегодня молодцы! Все активно участвовали в работе.

— Ребята, давайте еще раз вспомним эпиграф к уроку.

-Как вы считаете, удалось ли вам «приблизиться» к учителю?

Спасибо всем. Урок закончен.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 024 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

19. Решение систем уравнений второй степени

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 28.10.2021
• 70
• 0

• 28.10.2021
• 70
• 0

• 28.10.2021
• 356
• 43

• 28.10.2021
• 62
• 0

• 28.10.2021
• 93
• 0

• 28.10.2021
• 85
• 3

• 28.10.2021
• 73
• 0

• 28.10.2021
• 217
• 5

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.10.2021 262
• DOCX 45.1 кбайт
• 14 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Полтева Елена Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 380
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Способ подстановки уравнения второй степени

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13