Способ сложения систем уравнений 7 класс

Урок по алгебре в 7-м классе на тему: «Решение систем линейных уравнений способом сложения»

Разделы: Математика

1. Научить решать системы уравнений способом сложения;

2. Отработать алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения;

3. Воспитание внимания, точности, логики рассуждения.

Оборудование : учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Алгебра-7 класс, проверочный материал.

Ход урока

I. Организационный момент:

Сегодня на уроке мы должны научиться решать системы уравнений способом сложения.

II. Устный счет:

1. Дано уравнение 4x-3y=-2. Укажите какое-либо решение (пару чисел (x;y)) этого уравнения.
2. Выразите переменную y через x , если 3x-0.5y=1.
3. Решите систему уравнений
4. Является ли пара чисел (-2; -1) решением системы уравнений
5. Четыре медвежонка тяжелее медведицы на 30 кг, а два таких медвежонка легче медведицы на 80 кг. Найдите массу медведицы.

III. Объяснение нового материала.

Составим систему уравнений для задачи с медвежатами. Пусть масса медведицы х кг, а одного медвежонка у кг.

Решим данную систему способом подстановки, при этом ответим на вопросы:

Метод подстановки

1. Правильно ли выразили одно неизвестное через другое в одном из уравнений?
2. Правильно ли вы подставили полученное выражение в другое уравнение?
3. Правильно ли вы решили уравнение с одной неизвестной?
4. Правильно ли вы подставили найденное значение для вычисления значения другой неизвестной?

В результате получаем: х=190, у=55.

А теперь подумаем, как решить эту систему методом сложения?

Умножить одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

у=55, а х=80+2*55 , х=190.

Какие можно поставить вопросы к методу сложения?

Метод сложения

1. Каковы коэффициенты при х и y?
2. При какой неизвестной вы делали коэффициенты противоположными?
3. Для какого уравнения требуется дополнительный множитель, и какой именно?
4. Все ли члены выбранного уравнения вы умножили на этот множитель?
5. Правильно ли вы выполнили сложение левых и правых частей уравнений в полученной системе?
6. Правильно ли вы решили уравнение с одной неизвестной?
7. В какое уравнение вы подставили полученное значение неизвестной?
8. Правильно ли вычислено значение другой неизвестной?

Подумайте, а можно ли решить данную систему графически?

Если да, то дома оформить решение графически.

IV. Закрепление изученного материала.

Решите систему уравнений методом сложения.

а)3

Закончите решение системы:

б)

Работа с учебником. Глава VI,§ 16 п 43 стр 203, алгоритм стр205- прочитать.

Выполнить у доски (парами) № 1147 (а;б)

а)Ответ:(2;1)

б) Ответ: (-8;-4).

Самостоятельная работа по учебнику: № 1147 (в;г)

в)

г)

Ответ: в) (60;30), г) (2; -1/4).

V. Домашняя работа:

выполнить графически систему уравнений, если сможете, рассмотреть примеры 1-3 учебника, решить №1148 (а), повторить №1162.

VI. Познакомимся с контрольным листом и домашней недельной проверочной работой.

Лист контроля

1. Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
2. Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными?
3. Что называется решением линейного уравнения с двумя неизвестными? Как записывается это решение?
4. Что является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными?
5. Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
6. Что называется решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
7. Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
8. Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом?
9. Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными?
10. Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными?

Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

1. Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
2. Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Найти вторую переменную.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <\left\< \begin 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end \right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <\left\< \begin 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = \frac<3y+4> <2>= -1 \\ y=-2 \end \right.> $

$ б) <\left\< \begin 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 21 \\ x = \frac<4> <3>y \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 4 \\ y = 3 \end \right.> $

$ в) <\left\< \begin 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin -23b = 23 \\ a = \frac<-3b-1> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -1 \end \right.> $

$ г) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = \frac<1-3a> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = -4 \end \right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <\left\< \begin \frac<4>-y = 7 \\ 3x+ \frac <2>= 9 | \times 2\end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin \frac <4>-y = 7 \\ 6x+y = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 6 \frac<1> <4>x = 25 \\ y = 18-6x\end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin x = 25: \frac<25> <4>= 25 \cdot \frac<4> <25>= 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end \right.> $$

$ в) <\left\< \begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end \right.> \Rightarrow $

$ г) <\left\< \begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end \right.>$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 5 \\ y = 1 \end \right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <\left\< \begin a = \frac<1> \\ b = \frac<1> \end \right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <\left\< \begin2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 19b = -19 \\ a = \frac<1-3b> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 2 \\ b = -1 \end \right.> $$

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).