Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.
Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:
Как решаются дробно-рациональные уравнения
В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Найти общий знаменатель для дробей.
- Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
- Найти корни полученного уравнения.
- Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
- Записать ответ.
Пример 1
Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Начать следует с области допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся правилом сокращенного умножения:
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В результате общим знаменателем дробей является:
Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Осталось решить квадратное уравнение:
Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:
Примеры задач с ответами для 9 класса
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —
— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Потребуется решить квадратное уравнение:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:
4 x — 2 — 3 x + 4 = 1
В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:
— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:
( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:
— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Нужно решить дробно-рациональное уравнение:
x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x
На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0
x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0
x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0
— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0
Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.
— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Корни квадратного уравнения:
x 1 = — 4 ; x 2 = 2
Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.
Найти корни уравнения:
x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2
Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:
x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0
x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0
x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0
0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0
Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:
Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.
Ответ: х — любое число, за исключением 3.
Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:
5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4
На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:
5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют
Нужно найти корни уравнения:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
Начнем с определения ОДЗ:
— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )
( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )
( x — 3 ) x + x = x + 5
Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0
Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:
x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3
В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.
Второе значение не соответствует области допустимых значений.
«Решение дробно-рациональных уравнений» 9 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
« Решение дробно-рациональных уравнений»
Урок: алгебра 9 класс
Тема : Решение дробных рациональных уравнений
Цель: познакомить с новым видом уравнений — дробными рациональными уравнениями, дать представление об алгоритме решения дробных рациональных уравнений.
Формирование умения и навыков решения дробных рациональных уравнений.
Применение ЗУН упрощения рациональных выражений.
Контроль уровня усвоения знаний и умений решения уравнений, приведения подобных слагаемых, приведения к общему знаменателю, вычислительных навыков.
Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале.
Формирование умений сравнивать, классифицировать, обобщать факты и понятия.
Формировать умение пользоваться алгоритмом.
Развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и в учебной деятельности.
Развитие у учащихся познавательного интереса, внимания, математической зоркости.
Содействовать формированию мировоззренческих понятий.
Воспитывать чувство коллективизма, сопереживания за группу, товарища.
Оборудование: 1) Карточки с домашним заданием
2) Карточки с заданиями
3) Карточки «проверь себя».
4) Карточки помощницы.
5) Тексты разноуровневой самостоятельной работы.
6) Карточки с дополнительными заданиями.
Актуализация опорных знаний
Постановка темы и целей урока
Изучение нового материала
Закрепление пройденного материала
Силу уму придают упражнения а не покой, А. Поп(анг.поэт)
1. Организационный момент (2 мин)
Сегодня на уроке мне хотелось бы вас пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.
Но для начала давайте вспомним, а что такое уравнение? ( Равенство, содержащее неизвестное).
— А что значит решить уравнение? ( Значит найти все его корни или доказать, что их нет ).
— А что является корнем уравнения? ( Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство ).
— Какие виды уравнений, вы знаете и умеете решать? ( Линейные, квадратные, дробно-рациональные ).
Все способы решений, известных вам уравнений, можно образно представить в виде “ключей”. Символ урока – связка ключей — “Линейные уравнения”, “Квадратные уравнения”, “Дробно-рациональные уравнения”, “
2. Проверка домашнего задания(3мин),взимопроверка)
5. 2 (х-1) – 1 = 3 — (1-2х)
6.1 – 2х + 4х 2 = х 2 -2х + 1
7. 3 (1 – х) + 2 = 5 – 3х
10. 25х 2 – 30х + 9 = 0
3. : Определите вид каждого уравнения (3 мин)
4,Целепологание индивидуально. Тема урока
5. Решить уравнения: (2 мин)
6.Алгоритм решения уравнений линейных уравнений:
б). Перенести слагаемые с переменной в одну сторону, а числа в другую.
В).Найти корень уравнения. предварительно приведя слагаемые.
Первым, кто описал решение линейных уравнений, был Мухаммед аль-Хорезми, написавший трактат «Ал-джебра (перенос слагаемых) и ал-мукабала (приведение подобных слагаемых)»
Для чего нужно уметь решать различные уравнения?
Уравнения оказывают помощь и в других науках, химии, (линейное уравнение)-по основному свойству пропорции.
3.Работа над квадратным уравнением( 5 МИНУТ )
Алгоритм решения квадратного уравнения
Звучит музыка (саксофон) – 1минута.
А знаете ли вы, что английский математик Д.Сильвестр называл музыку математикой чувств , а математику – музыкой раЗУМА 4.Работа над дробно-рациональным уравнением.
Вводная беседа учителя (2 мин.)
Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.
Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так: 5 МИНУТ
На самом деле, стараясь избавиться от всего лишнего, мы допустили бы ошибки. Какие?
— В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х = 1.
— Как же не попасть в подобную ловушку?
Прежде всего, надо четко знать, какие действия нужно выполнить в ходе решения
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений: 2 МИНУТЫ
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
2. Найти общий знаменатель дробей,
входящих в уравнение.
Решить получившееся уравнение.
3.Умножить обе части уравнения
на общий знаменатель.
Исключить проверкой из корней уравнений те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
4. Решить получившееся уравнение.
Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.
Решение уравнений. 3 МИН
Взаимопроверка – 4 варианта. Работа выполняется на листочках. Ответы записаны на обратной стороне доски. В ходе выполнения работы учащиеся определяют для себя алгоритм решения дробных рациональных уравнений. На каждой парте – таблица – напоминание «Алгоритм решения дробных рациональных уравнений». Приложение 1. 5 МИНУТ
В а р и а н т 1.
В а р и а н т 2.
В а р и а н т 3.
В а р и а н т 4.
О т в е т ы: на доску с обратной стороны
I вариант: , (; ).
II вариант: (; )
III вариант: ()
IV вариант: , (; ).
5. План исследования уравнения: 2 МИН
Провести анализ уравнения.
Составить план решения.
Реализовать план решения.
Составить анализ метода решения и систематизировать опыт.
— Чем занимались сегодня на уроке?
— А зачем нужно уметь решать уравнения?
С помощью уравнений можно найти любое неизвестной, решать задачи. Этим мы и будем заниматься на следующих уроках
— А теперь вернемся на начало урока. Каждый из вас для себя поставил цель.
Достигли ли вы этих целей?
VII . Выставление оценок. (1 мин)
VIII . Рефлексия. (1 мин) Раздать учащимся карточки
Доволен ли ты тем, как прошел урок?
Было ли тебе интересно?
Сумел ли ты получить новые знания?
Ты был активен на уроке?
Ты с удовольствием будешь выполнять домашнее задание?
Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. Пример не дробно-рациональных уравнений: Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения: Выпишите и «решите» ОДЗ. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут. Запишите уравнение, не раскрывая скобок. Решите полученное уравнение. Проверьте найденные корни с ОДЗ. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7. Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам. Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac Сначала записываем и «решаем» ОДЗ. По формуле сокращенного умножения : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. Приводим подобные слагаемые Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй. Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. Приводим подобные слагаемые Находим корни уравнения Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. http://infourok.ru/reshenie__drobno-racionalnyh_uravneniy_9_klass-549187.htm http://cos-cos.ru/math/151/\) \(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — выражения с иксом (или другой переменной).
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.