Проект по математике «13 способов решения квадратных уравнений»
проект по алгебре (9 класс) на тему
Практически всё, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).
Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные способы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрал тему исследования, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Различные способы решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 10-11 классах, и при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.
Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться применять их при решении и выбрать наиболее рациональный способ решения.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— выявить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами;
— подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;
— разработать дидактический материал и провести его апробацию на элективе в 9в классе.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
Анализ: информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение: способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
Опрос обучающихся школы.
Гипотеза: существуют различные способы решения квадратных уравнений, поэтому любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.
Ход работы над проектом:
1. Изучение литературы по истории вопроса
2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы
3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации
4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.
Творческие проекты и работы учащихся
В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Различные способы решения квадратных уравнений» учениками 9 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные методы решения квадратных уравнений.
Подробнее о проекте:
В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Различные способы решения квадратных уравнений» автор выполняет практические задания по решению квадратных уравнений разными способами, подробно описывает их. Также в работе представлен интересный блок из истории развития квадратных уравнений в разных странах и в разные временные отрезки, объясняется теорема Виета. В практической части работы продемонстрированы способы решения квадратных уравнений, некоторые из которых в школе не изучаются.
Оглавление
Введение
1. История развития квадратных уравнений.
2. О теореме Виета.
3. Способы решения квадратных уравнений.
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Актуальность. Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем решение многих практических задач сводится к решению квадратных уравнений.
В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений второй степени. Этот материал нас заинтересовал, и мы решили узнать, существуют ли другие способы решения квадратных уравнений. Это определило тему нашего исследования: «Квадратные уравнения и методы их решения».
В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Нам пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе.
Вместе с тем, современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.
Цель исследования: изучение различных методов решения квадратных уравнений.
- Произвести анализ учебно-методической литературы по решению квадратных уравнений.
- Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
- Изучить различные способы решения квадратных уравнений, апробировать их на практике, собрать дидактический материла.
Гипотеза: существуют методы решения квадратных уравнений не изучаемые в школе.
Новизна исследования состоит в комплексном рассмотрении способов решения уравнений второй степени.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений.
Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами.
Применяемые методы исследования:
- эмпирические: изучение литературы, обработка материалов.
- теоретические: сравнение, классификация, анализ, обобщение.
Структура работы: работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения, списка литературы и приложения.
История развития квадратных уравнений
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.
В древних математических задачах Междуречья, Индии . [4, c.23], Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри», «Делай так», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения с помощью геометрических построений [4, c.21]; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 — х) = 96
или же: 100 — х2 = 96, х2 — 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения: у(20 — у) = 96,
у2 — 20у + 96 = 0. (2)
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам» [4, c.23], составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. (1)
В уравнении (1) коэффиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 13 уравнение: (x/8)2 + 12 = x.
Бхаскара пишет под видом: х2 — 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
х2 — 64х + 322 = -768 + 1024,
(х — 32)2 = 256, х — 32 = ± 16, х1 = 16, х2 = 48.
Квадратные уравнения у ал – Хорезми
Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения.
Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A — A2, равно BD, то A равно В и равноD».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х — х2 = ab, т.е. х2 — (а + b)х + аb = 0,то х1 = а, х2 = b.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. [4, c.25]
Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
Учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»
Разделы: Математика
Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.
В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.
Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?
Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.
Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений
- Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
- Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
- Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
- Сделать выводы.
- Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.
Объект исследования: квадратные уравнения
Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами
Глава 1.
Изучение литературы
Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:
1. Определение и виды квадратных уравнений
2. Основные методы решения квадратных уравнений
Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.
Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.
Глава 2.
Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях
Глава 3.
Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения
Глава 4.
Нестандартные приемы решения квадратных уравнений
Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.
1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:
1978х 2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)
4х 2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)
319х 2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)
2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами
839х 2 – 448х -391=0
(1; -391/839)
345х 2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)
3. Используя полученные знания, установи соответствие:
1) х 2 +5х+6=0
2) 6х 2 -5х+1=0
3) 2х 2 -5х+3=0
4) 3х 2 -5х+2=0
5) х 2 -5х+6=0
6) 6х 2 +5х+1=0
7) 2х 2 +5х+2=0
8) 3х 2 +5х+2=01) 1/6;1/2
2) 1; 3/2
3) 1; 2/3
4) -2; -3
5) -1/3 ; -1/2
6) -1; -3/2
7) -1; -2/3
8) 2;3
Глава 5.
Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами
Разработаны критерии оценки проведенного практикума:
- За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
- Наиболее возможное количество набранных баллов-17
- Если ученик набирает менее
7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»
Выполняли работу – 11человек
от 16-17 – 5человек (45%)
от 12-15– 6человек (55%)
Менее 12 – 0 человек
Средний балл – 4,45
Процент качества – 100%
Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.
Выводы по результатам проведения практикума
Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:
- нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
- позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.
В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.
Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.
Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.
- Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.
- Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
- Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
http://tvorcheskie-proekty.ru/node/2426
http://urok.1sept.ru/articles/630088