Способы решения квадратных уравнений проект презентация

Квадратные уравнения. Способы решения.
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Данная презентация позволяет обобщить материал по теме квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

Презентацию можно использовать для подготовки к ОГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения квадратных уравнений Подготовила Родькина Ирина ученица 8 б класса

Цель работы: знакомство с различными способами решения квадратных уравнений. Задачи: изучить исторические сведения; приобрести новые знания; использовать различные источники информации; использовать современные информационные технологии; создать слайдовую презентацию; составить подборку задач на решение квадратных уравнений. Объект исследования : квадратные уравнения . Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений .

Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратных уравнений и как они используются в современном мире. Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Исторические сведения Квадратные уравнения могли решать ещё 2000 лет до н.э. вавилоняне. Во всех обнаруженных текстах задачи уже были уже с решениями без каких-либо указаний.

Вклад математиков Диофант Брахмагупта Мухаммед аль – Хорезми

Вклад математиков Леонардо Фибоначчи Михаель Штифель Франсуа Виет

Учёные, изучающие квадратные уравнения Тарталья Кардано Бомбелли Жирар Ньютон Декарт

Появление значка корень √ — радикал radix – латинское «корень» r —

Квадратное уравнение и его виды Квадратное уравнение – уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где х — переменная, а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0 . Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах 2 + с = 0, где b ≠ 0; 2х 2 + 4 = 0 2) ах 2 + b х = 0, где с ≠ 0; 9х 2 – 5х = 0 3) ах 2 = 0. 6х 2 = 0

Способы решения квадратных уравнений Способ разложения на множители 7х 2 + 9х + 2 = 0 7х 2 + 7х + 2х + 2 = 0 7х (х + 1) + 2(х +1) =0 (7х +2) (х+1) = 0 7х +2 = 0 или х +1 = 0 х = –2/7 или х = –1 Ответ: –2/7; –1

Способы решения квадратных уравнений Способом выделения квадрата двучлена х 2 +4х — 12 =0 ( х 2 +4х+4) — 4 -12 =0 ( х + 2) 2 — 16 = 0 ( х+2) 2 =16 х+2 = 4 или х+2= — 4 х 1 =2; х 2 = — 6 Ответ: 2; -6 .

Способы решения квадратных уравнений По теореме Виета (обратной ) Для приведённого квадратного уравнения x 2 + px + q =0 x 1 + x 2 =- p x 1 * x 2 = q . х 2 – 5х + 6 = 0 х + х = 5, х = 2 х * х = 6 х = 3 Ответ: 2; 3 Для полного квадратного уравнения ах 2 + вх +с =0 x 1 + x 2 =-в/а x 1 * x 2 =с/а

Способы решения квадратных уравнений Используя свойства коэффициентов Пусть ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 =с/а; Если а + с = b, то х 1 = -1, х 2 = -с/а. Примеры: 1)345х 2 – 137х – 208 = 0 а + b + с = 345 –137 –208 =0, значит, х = 1, х = –208/345 2) 313х 2 + 326х + 13 = 0 а +с = 313 +13 = 326 , значит, х = –1, х = – 13/313

Способы решения квадратных уравнений Решение по формулам Где D – дискриминант Если D 0, то уравнение имеет 2 корня 1) 2х 2 – 4х + 2 = 0, D = 0, 1 корень 2) х 2 – 8х + 9 = 0 , D = 28 >0, 2 корня 3) 2 х 2 — 3х + 10 = 0, D = — 71 то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х 1 ; 0) и N( (х 2 ; 0 ) , уравнение имеет корни х 1 , х 2 х у Q M N A х 1 х 2 0

2 случай Если QA= то окружность касается оси Ох в точке М(х 1 ; 0), уравнение имеет корень х 1 . х у Q M A х 1 0

3 случай Если QA -2 ,окружность пересекает ох в двух точках, уравнение имеет 2 корня. Ответ: х=-5, х=1 . х у 0 1 -2 2 -2 -5

Пример 3 Решите уравнение х ² -4 x+ 5 =0 . Решение: -в/2а=2, (а+с)/2а=3 Q(2 ;3), А(0;1) Q А =0 then begin x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a); x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a); writeln(‘x1=’,x1,’ x2=’,x2) end e lse writeln(‘действительных корней нет’) e nd.

Заключение В процессе изучения данной темы, я ознакомилась с дополнительной литературой по истории математики, со способами решения квадратных уравнений. Рассматривала данные приёмы на конкретных примерах. Из дополнительной литературы собрала задачи на нахождение корней квадратного уравнения. Знание многих способов значительно упрощает многие вычисления, экономит время при решении задач. Однако не все способы дают точный ответ и удобны. Мною изучены не все способы решения квадратных уравнений. Хотелось показать применение современных технологий, которые, конечно, упрощают сам процесс решения. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»

Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Квадратные уравнения. Способы решения

«Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Ознакомление с одним из способов решения квадратных уравнений, который можно назвать способом «переброски».

Квадратные уравнения №1. Решения неполных квадратных уравнений.

ТКУ Квадратные уравнения. Решения неполных квадратных уравнений.. Урок №1. Алгебра 8 класс.

Квадратные уравнения. Способы решения.

Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные).

Презентация по математике «Разные способы решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Петрозаводского городского округа «Средняя общеобразовательная школа №9 имени И.С. Фрадкова» Разные способы решения квадратных уравнений Выполнила: Калмычкова Лия Ученица 8«а» класса Руководитель: Гапонова М.А. Петрозаводск-2019год

Актуальность темы: в основном государственном экзамене по математике есть задания, связанные с данной темой. Объект исследования: квадратное уравнение. Предмет исследования: различные способы решения квадратных уравнений. Проблема: не всегда сразу виден наиболее удобный способ решения уравнений.

Цель работы: найти различные способы решения квадратных уравнений, провести сравнительный анализ решения. собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений; освоить найденные способы решения; решить уравнения с сайта fipi. Задачи:

Гипотеза: Квадратные уравнение можно решать разными способами.

III до н.э. древнегреческий ученый Евклид – решение квадратных уравнений графически; В III в. н. э. квадратное уравнение без обращения к геометрии решил великий Древнегреческий математик Диофант; XIII век Европа, Леонардо Пизанский – формулы нахождения корней квадратного уравнения; XVI век французский математик Франсуа Виет – вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде. Исторические сведения:

Задача про обезьян (одна из задач, составленных Бхаскарой) «На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны, Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще» x = (x/8) 2 + 12. (1/64) x 2-х+12=0. x1=48,х2=16.

Квадратным уравнением называется уравнение вида где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠0. Если а=1 , — приведённое уравнение. Если b=0 или с=0: =0 неполные квадратные 0 уравнения

Квадратные уравнения Неполные квадратные Приведённые Квадратные уравнения: Методы решения По формуле корней полного квадратного уравнения По теореме, обратной теореме Виета. x(ax+b)=0 х1 =0 х2 =-b/a ax²=-c x²=-c /a х1 =√‾-c /a х2 =-√‾-c /a Разложение на множители Выразить x² Если с=0 ,то ах²+ bх = 0 Если b=0, то ах²+ с = 0

Решите уравнения: а) 4х2 – 9 = 0 ; б) 4х2 + 9 = 0; в) 3х2 – 4х = 0; г) 6х2 = 0. Образец решения: а) 4х2 – 9 = 0 1. Перенесём свободный член в правую часть уравнения: 4х2 = 9. 2. Разделим обе части получившегося уравнения на 4: х2 = 9/4. 3. Найдём корни х = 1,5 или х = — 1,5 Ответ: х1 = 1,5, х2 = — 1,5. в) 3х2 – 4х = 0 1.Разложим левую часть уравнения на множители: х(3х — 4) = 0. 2.Произведение х(3х — 4) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или 3х – 4 = 0. 3.Решаем уравнение 3х – 4 = 0 3х = 4 х = 4/3. Ответ: х1 = 0, х2 = 11/3.

Сколько корней имеет квадратное уравнение? Зависит от D Если D>0 : 2 корня Если D

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 844 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

§ 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Другие материалы

• 16.04.2019
• 2059
• 9

• 16.04.2019
• 3528
• 58

• 16.04.2019
• 5330
• 36

• 16.04.2019
• 442
• 6

• 13.04.2019
• 1760
• 10

• 11.04.2019
• 26399
• 335

• 11.04.2019
• 670
• 26

• 11.04.2019
• 645
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 18.04.2019 1759
• PPTX 1.5 мбайт
• 98 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гапонова Марина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5566
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация на тему: 10 способов решения квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:Х2+Х=3/4 Х2-Х=14,5

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.Отсюда уравнение: (10+х)(10-х) =96или же:100 — х2 =96 х2 — 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии.ах2 + bх = с, а>0. (1)

Квадратные уравнения у ал – Хорезми.1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Квадратные уравнения в Европе ХIII — ХVII вв.х2 +bх = с,при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета.«Если В + D, умноженное на А — А2, равно ВD, то А равно В и равно D».На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место(а + b)х — х2 = ab,т.е.х2 — (а + b)х + аb = 0,тох1 = а, х2 = b.

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.Решим уравнение х2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х — 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так какх2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.Преобразуем теперь левую часть уравнениях2 + 6х — 7 = 0,прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.Таким образом, данное уравнение можно записать так:(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.Умножим обе части уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0на 4а и последовательно имеем:4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,(2ax + b)2 = b2 — 4ac,2ax + b = ± √ b2 — 4ac,2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет видх2 + px + c = 0. (1)Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = — pа) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3 0 и p= 8 > 0.б) x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 и x2 = 1, так как q= — 5 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = — 1, так как q = — 9 № слайда 12

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

• Пример.Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнениеу2 – 11у + 30 = 0.Согласно теореме Виетау1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнениеx2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виетаx1 + x2 = — b/a, x1x2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = — 1• ( — c/a),т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнениех2 + рх + q= 0совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получимх2 = — px — q. Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

• Пример Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = — 1; х2 = 4

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.z2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построенапо формулам (рис.11):Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

• Примеры.1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 — 9z + 2 = 0.Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнениеz2 — 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнениеt2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.• Примеры.1) Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

у2 + 6у — 16 = 0.Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).