Способы решения логарифмических уравнений 11 класс

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Презентация по математике для 11 класса по теме «Решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цели урока: Ввести понятие логарифмического уравнения, Рассмотреть способы решения логарифмических уравнений, Научиться решать логарифмические уравнения, Проверить первичные навыки решения логарифмических уравнений

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится только под знаком логарифма

-простейшее логарифмическое уравнение

Методы решения логарифмических уравнений 1. По определению логарифма Решите уравнение Пример 1 По определению логарифма имеем:

Методы решения логарифмических уравнений 2. Потенцированием

Методы решения логарифмических уравнений Пример 2 Решите уравнение ОДЗ: является корнем исходного уравнения.

Методы решения логарифмических уравнений Пример 2 Решите уравнение

Методы решения логарифмических уравнений Пример 2 Решите уравнение Проверка:

Методы решения логарифмических уравнений 3. Введения новой переменной Пример 3 Решите уравнение ОДЗ: x>0 Переходя к переменной х, получим:

Методы решения логарифмических уравнений По определению логарифма 2. Потенцированием 3. Введения новой переменной

Определи метод решения уравнений: По определению Потенцированием Введением новой переменной

1) — 1,21 1) 5 1) (- ∞;-2] 2) — 0,9 3) 0,81 4) 1,21 3) [1;2] 2) [-2;1] 4) [2;+∞) 2) 25,2 3) -25,2 4) — 5

Алгоритм решения логарифмических уравнений Выписать условия, при которых логарифмическое уравнение определено Перейти к алгебраическому уравнению Найти корни алгебраического уравнения Для найденных корней проверить выполнение условий пункта 1 Записать ответ

Самостоятельная работа Решите логарифмические уравнения: 2) 1;2 3) 1;-2 1) -1;2 4) -1;-2 2) 5;-1 1) -5;1 3) 1 4) 5 2) -3;-9 3) 9 4) 3;9 1) 3 2) 1;5 3) -1;-5 4) -1;5 1) -5;1 2) -5;-1 3) — 1 4) — 5 1) 5;1 3) 9 1 вариант 2 вариант 2) –4,5 3) 3,5 1) 4,5 4) –3,5 2) 3 3) -3 1) 6 4) -6 Критерии выставления оценки: «5» — все выполнено верно; «4» — допущена одна ошибка; «3» — допущено 2 ошибки

Оцените свои знания и умения на уроке.

Все понятно , легко, нет вопросов Возникали трудности , есть вопросы Трудно, много вопросов

Домашнее задание П.39,№ 519(в,г),№ 520(в,г),№ 523 (б) П.39,№ 514(б), № 518(а,в), № 520 (в,г)

Краткое описание документа:

Презентация по математике для 11 класса по теме «Решение логарифмических уравнений» сопровождает весь уро к в 45 минут по данной теме.

Сначала указывается тема и цель урока, потом повторяется определение простейшего логарифмического уравнения, график логарифмической функции для различных оснований логарифма. Далее идет закрепление нового материала.

Из предложенного списка логарифмических уравнений нужно выбрать какое из уравнений каким из способов может быть решено.

Следующий этап урока: работа в группах по решению уравнений различными методами.

Предложены несколько вариантов ответов с учетом ошибок, которые могут допустить дети при решении этих уравнений. Далее ответы проверяются.

Следующий этап работы: выработка и запись алгоритма решения логарифмических уравнений.

Предпоследний этап урока: самостоятельная работа по вариантам с последующей самопроверкой.

На слайде показаны критерии оценивания работы. Далее рефлексия и домашнее задание.

Последний слайд презентации — резерв. Если на уроке остается время, то можно решить предложенное уравнение.

«Цели презентации:

— Ввести понятие логарифмического уравнения;

— Рассмотреть способы решения логарифмических уравнений;

— Научиться решать логарифмические уравнения;

— Проверить первичные навыки решения логарифмических уравнений.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится только под знаком логарифма.

Урок-обобщение в 11 классе «Методы решения логарифмических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок предназаначен для обобщения методов решения логарифмических уравнений и закрепления навыка их использования при решении комбинированных логарифмических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План – конспект урока

Тема : « Аналитические методы решения логарифмических уравнений »

Тип урока : Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

Вид урока : Урок-практикум

Метод: деятельностный, проблемный, частично-поисковый.

Цели урока : — Обобщение и систематизация изученных способов

решения логарифмических уравнений;

— Развитие умения осуществлять самооценку;

— Воспитание у учащихся трудолюбия, мотивов

обучения, положительного отношения к знаниям;

Оборудование: проектор, компьютерная презентация.

1. Организационный момент. Определение целей урока.

2. Устный опрос в виде блиц-турнира

3. Актуализация знаний по изученному материалу.

4. Решение заданий у доски. Повторение теоретических сведений.

5. Музыкальная пауза.

6. Изучение нового материала:

• Проблемная ситуация.
• Постановка учебной задачи.

• Формулирование темы урока.
• Решение заданий в тетрадях и у доски
• Анализ полученных данных
• Вывод

7. Рефлексия деятельности ( итог урока).

8. Повышенный уровень. Анализ задания С5 теста ЕГЭ.

9. Домашнее задание.

1. Последние несколько уроков мы занимались аналитическими методами решения логарифмических уравнений. (Слайд 1) Сегодня нам необходимо подвести итог этой темы. Давайте сформулируем, какие же цели мы ставим перед собой? (Слайд 2)

• Обобщить и систематизировать изученные методы решения логарифмических уравнений
• Выявить особенности каждого метода

От себя я добавлю такую цель:

• Выяснить, всегда ли логарифмические уравнения решаются одним из изученных нами методом.

2. А сейчас Блиц-турнир (Слайды 3-14)

3. Какие уравнения вы сейчас решали? Простейшие.

Как решаются простейшие логарифмические уравнения? По определению.

Какие еще методы решения логарифмических уравнений вы знаете? (Слайд 16)

• Метод потенцирования
• Метод замены переменной
• Метод логарифмирования

Итак, первое задание: (Слайд 17)

Разбить уравнения на группы по методу их решения и записать номера соответствующих уравнений в таблицу:

Давайте проверим, что у вас получилось (Слайд 18)

Метод потенцирования (ПТ)

Метод замены переменной (ЗП)

Метод логарифмирования (ЛГ)

4. Итак, сейчас трое из вас выберут по одному уравнению из каждой группы и решат его у доски. (Выбор уравнения со слайда)

А мы с вами давайте повторим, в чем заключается каждый метод, по какому признаку мы определяем, что нужно использовать именно его, и каков его алгоритм.

Признак: уравнение может быть представлено в виде равенства двух логарифмов по одному основанию ( ).

Алгоритм метода потенцирования:

1. Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения положительнынеотрицательны);

2. Пропотенцировать обе части уравнения по основанию равному основанию логарифма;

3. Перейти к равенству подлогарифмических выражений, применив свойство логарифма;

4. Решить уравнение и проверить полученные корни по ОДЗ;

5. Записать удовлетворяющие ОДЗ корни в ответ.

Метод замены переменной

Признак: Все логарифмы в уравнении могут быть сведены к одному и тому же логарифму, содержащему переменную.

Алгоритм метода замены переменной:

1. Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения положительны);

2. Произвести замену переменной;

3. Решить полученное уравнение;

4. Составить простейшие логарифмические уравнения, возвращаясь к предыдущей

5. Проверить полученные корни по ОДЗ;

6. Записать удовлетворяющие ОДЗ корни в ответ.

Признак: переменная содержится и в основании степени, и впоказателе степени под знаком логарифма.

Алгоритм метода логарифмирования:

1. Определить ОДЗ уравнения (подлогарифмические выражения положительны);
2. Прологарифмировать обе части уравнения по основанию, равному основанию логарифма в показателе степени;
3. Вынести показатель степени за знак логарифма, пользуясь свойством;
4. Решить полученное уравнение, пользуясь методом замены переменной.

Проверка решения уравнений на доске: ребята комментируют решение.

5. А сейчас немного отвлечемся и послушаем музыку. Вы можете расслабиться, закрыть глаза и подумать о чем-нибудь приятном.

Музыкальная пауза («Лунная соната» Бетховен)

6. Какая прекрасная музыка. Надеюсь, она настроила вас на нужный лад. Давайте проанализируем следующее уравнение: ( Слайд 22)

Какой метод решения этого уравнения можно определить по внешним признакам? Метод замены переменной.

Давайте произведем эту замену и посмотрим, что получится.(Решение уравнения у доски)

Получается, что мы использовали не только метод замены переменной. Но и метод логарифмирования!

Как же можно назвать это уравнение? Комбинированным. (Слайд 22)

Рассмотрим еще несколько таких уравнений из задания №2 (Слайд 22 ):

Фронтальное решение уравнений у доски и в тетрадях.

Проанализируйте решение каждого уравнения и запишите в таблицу, какие методы вы использовали при решении этих уравнений, с помощью кода указанного в задании. Например, для первого уравнения мы выяснили, что это комбинация метода замены переменной и метода логарифмирования.