Способы решения систем уравнений и неравенств конспект

Системы показательных уравнений и неравенств

Вы будете перенаправлены на Автор24

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Решить систему уравнений

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Подставим $y$ во второе уравнение:

Ответ: $(-4,6)$.

Решить систему уравнений

Решение.

Данная система равносильна системе

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Ответ: $(0,1)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Системы показательных неравенств

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Решить систему неравенств

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^ >a^ <\varphi (x)>$, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: $(3,+\infty )$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 03 2021

Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.
3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
4. Находим соответствующие значения второй переменной.

Просмотр содержимого документа
«Методы решения уравнений, неравенств и их систем»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Однако решению всех видов уравнений и неравенств уделяется недостаточно внимания. Актуальность рассмотрения данной темы обусловлена противоречием между тем, что задания, связанные с уравнениями и неравенствами и их системами регулярно встречаются в материалах ЕГЭ и ОГЭ и тем, что их решение, вызывают у учащихся значительные трудности.

Целью данной работы является: Рассмотреть методические основы профильного и углубленного обучения теме «Уравнения, неравенства и их системы».

Из данной цели вытекают задачи:

Выделить методы решения уравнений, неравенств и их систем.

Выполнить логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

Разработать конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

Данные практические разработки могут быть использованы в школе.

Данная работа состоит из трех параграфов:

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем.

§2. Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.

§3. Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.

§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем

Методы решения целых уравнений первой степени.

Раскрытие скобок (умножаем многочлен на многочлен). Пример: (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x

Домножение на НОК знаменателей дробей обеих частей уравнения. Пример: —

Способы решения целых уравнений.

Разложение многочлена на множители. Пример: +3=0

С помощью теоремы о корне многочлена. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Метод неопределенных коэффициентов. Пример:

Графический способ. Пример:

С помощью алгоритма решения квадратных уравнений:

Алгоритмы и способы решения дробно-рациональных уравнений.

а) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

б) Решаем полученное целое уравнение.

в) Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Пример:

Используя нестандартные преобразования. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Введение вспомогательной переменной. Пример:

Графический способ решения. Пример:

Способы решения целых неравенств с одной переменной.

1.Используя свойства дискриминанта квадратного уравнения и свойств графика квадратичной функции. Пример:

2. Метод интервалов. Пример:

3. Используя свойства графика квадратной функции. Пример:

Способы решения дробно-рациональных неравенств с одной переменной.

Разложение на множители числителя и знаменателя. Пример:

Используя систему. Примеры:

Способы решения уравнений с переменной под знаком модуля.

Замена на систему уравнений. Пример:

Замена совокупность из двух систем. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем уравнений. Пример:

Способы решения неравенств с переменной под знаком модуля.

Замена на систему неравенств. Пример:

Используя свойство модуля. Пример:

Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем неравенств. Пример:

Способы решения уравнений с параметром.

Вынесение многочлена за скобку. Пример: ax-2x=a 2 +a-6

Используя дискриминант. Пример:

Способы решения дробно-рациональных уравнений с параметром.

Домножение на общий знаменатель. Пример:

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.

Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Умножаем левые и правые части уравнений.

Складываем почленно левые и правые части уравнений.

Решаем получившееся при сложении уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

б) Разложение на линейные множители.

Способы решения линейных неравенств с двумя переменными.

Графический. Пример: 4x-5y20

Способы решения неравенств с двумя переменными выше первой.

Способы решения системы неравенств с двумя переменными.

Способы решения неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Методы решения уравнений высших степеней.

Используя делители свободного члена уравнения. Пример: x 3 +2x 2 -7x-12=0

Деления обеих частей уравнения на x 2 . Пример: 3x 4 -2x 3 -9x 2 -4x+12=0

Метод замены двух переменных. Пример: 2(x 2 +x+1)-7(x-1) 2 =13(x 3 -1)

Графический метод. Пример: x 5 +5x-42=0

Используя производную функции. Пример: x 4 -8x+63=0

Методы решения показательных уравнений.

Метод введения новой переменной. Пример: 4 x +2 x +1 -24=0

Методы решения показательных неравенств.

Метод уравнивания показателей. Пример:

Метод введения новой переменной. Пример:

Деления обеих частей уравнения на число с наибольшим показателем в степени. (однородные уравнения второй степени) Пример: 8 x +18 x 2∙27 x

Используя свойство дискриминанта. Пример: (x 2 +x+1) x ≤1

Методы решения логарифмических уравнений.

Введение новой переменной. Пример: lg 2 x+lg x+1=

Методы решения логарифмических неравенств.

Представление обеих частей неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием. Пример: (16+4x—x 2 )≤-4

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Раскрытие модуля по определению. Пример:

Графический способ. Пример:

Используя совокупность уравнений (неравенств). Пример:

Методы решения иррациональных уравнений.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в степень. Пример:

Введение двух новых переменных. Пример:

Умножение обеих частей уравнения на выражение сопряженное данному. Пример:

Методы решения иррациональных неравенств.

Используя совокупность неравенств. Пример:

Введение новой переменной. Пример:

Методы решения систем уравнений.

Перемножением правых и левых частей уравнения. Пример:

План-конспект урока на тему: «Системы показательных неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: « Системы показательных уравнений и неравенств ».

Цель урока: Познакомить учеников с методами решения систем показательных уравнений и неравенств.

— дать определение систем показательных уравнений и неравенств, методов их решения.

— развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления; развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;

— учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

— формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;

— формирование навыков коллективного труда.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Организационный момент (2 мин).

Постановка цели урока. (1 мин).

Актуализация опорных знаний (4 мин).

Изучение нового материала (15 мин).

Закрепление изученного материала (20 мин).

Домашнее задание (1 мин).

Подведение итогов (2 мин).

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Постановка цели урока.

Сегодня мы с вами поговорим о системах показательных уравнений и неравенств, рассмотрим основные свойства, которые применяются при их решении.

3. Актуализация опорных знаний.

Проводится в форме фронтальной работы с классом.

Какую функцию называют монотонной?

Какую функцию называют возрастающей? Какую функцию называют убывающей?

Какая функция называется показательной? Каковы область определения и множество значений показательной функции?

Какую показательную функцию называют возрастающей? (Убывающей?)

Важен ли характер монотонности показательной функции при решении уравнений?

3.Изучение нового материала.

Учитель : Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока « Системы показательных уравнений и неравенств ».

При решении систем показательных уравнений и неравенств, применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений и неравенств (метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных). Во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения, следует преобразовать каждое уравнение (неравенство) системы к возможно более простому виду.

При решении неравенств вида следует помнить, что показательная функция y = а x возрастает при а и убывает при 0 а. Значит, в случае, когда а, от неравенства следует переходить к неравенству . В случае же, когда 0 а от неравенства следует переходить к неравенству .

3)Решение примеров на доске:

Решение: Решим эту систему способом подстановки:

Решение: Обозначим 2 х = u, 3 y = v. Тогда система запишется так:

Решим эту систему способом подстановки:

a)

Уравнение 2 х = -2 решений не имеет, т.к. –2 х > 0.

b)

Решение: Перемножим уравнения данной системы. Получим

Решение: 1) Решим неравенство

т.к. функция у=3 t возрастает,

2) Решим уравнение

(0,2) 3x 2 -2 =(0,2) 2х 2 +х+4 ,

3х 2 – 2 = 2х 2 +х + 4,

4.Закрепление изученного материала.

Учитель : Решаем задания № 240-243 (§14 Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс).

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученики : Узнали особенности решения систем показательных уравнений и неравенств.

Запись на доске и в дневниках: Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. §14 №244, №245.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 530 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств

Другие материалы

• 11.10.2017
• 2191
• 64

• 11.10.2017
• 3766
• 127

• 11.10.2017
• 3725
• 131

• 11.10.2017
• 5903
• 157

• 10.10.2017
• 744
• 25

• 10.10.2017
• 714
• 0

• 10.10.2017
• 4414
• 12

• 05.10.2017
• 323
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.10.2017 7451
• DOCX 41.2 кбайт
• 561 скачивание
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Дмитриева Мария Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 52844
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.