Способы решения сложных показательных уравнений

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Электронный урок по теме: «Сложные показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок подготовила учитель математики МАОУ СШ № 10 г.Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Урок опубликован на сайте: http://pavls1954.wixsite.com/1954 Урок алгебры и начал математического анализа в 10 классе

Приветствую вас на уроке Девиз урока: Успешного усвоения учебного материала Уроки №65-66 14.01.20г. Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

1.Теория. Прочитать текст §2, Глава VI, стр.216-218 Выучить свойства степеней и основное свойство решения показательных уравнений 2.Практика. Разобрать задания, решенные в классе. Стр.218, № 21-25(2,4) №№ 31,32(2,4) ДР №29 на 14.01.20

Стр.218, № 21(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их … Если равны … и равны …, то равны и их …

Стр.218, № 22(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их … Если равны … и равны …, то равны и их …

Стр.218, № 23(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их … Если равны … и равны …, то равны и их …

Стр.218, № 24(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их …

Стр.218, № 24(4) Если равны … и равны …, то равны и их …

№31(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их …

№31(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их …

№32(2,4) Если равны … и равны …, то равны и их …

№32(4) Оцените свое выполнение ДР

Работа по проверка выполнения ДР №29 2) 2) 1) 1)

14.01.20 Классная работа «Показательные уравнения» Глава VI.§2

Цели урока: Рассмотреть принципы решения показательных уравнений. Закрепить умение решать показательные уравнения на примерах Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме.

то обе части уравнения можно поделить на … или на …, т.к. …≠0, …≠0 1.Если 2.Если … … и … … , то равны и их … Проверка

то обе части уравнения можно поделить на или на , т.к. 1.Если 2.Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели. Максимум — 10 баллов

3.Заполните пропуски, произведите замены Проверка

3.Заполните пропуски, произведите замены Максимум — 4 балла

4.Заполните пропуски, произведите замены Проверка

4.Заполните пропуски, произведите замены Максимум — 4 балла

5.Заполните пропуски, произведите замены Проверка

5.Заполните пропуски, произведите замены Максимум — 3 балла

Подводим итоги выполнения заданий на преобразования степеней 21 баллов — «5», 20 баллов — «4», менее 20 баллов — «3»

Стр.218, №26(3) Предложите ход решения, какие замены можно выполнить

Стр.218, №26(3) Решение:

Стр.218, №26(3) Решение: тогда

Стр.218, №26(3) Решение: тогда

Стр.218, №26(3) Решение: тогда Решите уравнение относительно у

Стр.218, №26(3) Решение: тогда Можно ли назвать ответ?

Стр.218, №26(3) Решение: тогда Выполняем обратную замену

Стр.218, №26(3) Решение: тогда

Стр.218, №26(3) Решение: тогда

Стр.218, №26(3) Решение: тогда

Стр.218, №26(1) Решите в парах с разбором Проверка

Стр.218, №26(1) Решение: тогда Максимум- 2 балла

Стр.219, №27(1) Решение:

Стр.219, №27(1) Решение: Произведите замену в уравнении

Стр.219, №27(1) Решение: Как можно преобразовать уравнение и почему?

Стр.219, №27(1) Решение: ×

Стр.219, №27(1) Решение: ×

Стр.219, №27(1) Решение: × Как можно преобразовать запись уравнения и зачем?

Стр.219, №27(1) Решение: × Преобразуем уравнение, производим замену и сводим к квадратному

Стр.219, №27(1) Решение: × Дорешайте уравнение Проверка

Стр.219, №27(1) Решение: × Максимум- 1 балл

Стр.219, №28 Дайте рекомендации по решению каждого уравнения

Стр.219, №28(4) Решение:

Стр.219, №28(4) Решение: Проверка

Стр.219, №28(4) Решение: Максимум- 2 балла

Стр.219, №28(4) Решение: Если равны … и равны …,то равны и их …

Стр.219, №28(4) Решение: Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели.

Стр.219, №28(4) Решение: Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели. Ваши рекомендации по решению уравнения

Стр.219, №28(4) Решение: Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели. × х(х+1)≠0

Стр.219, №28(4) Решение: × х(х+1)≠0 х+1 х

Стр.219, №28(4) Решение: × х(х+1)≠0 х+1 х Дорешайте уравнение

Стр.219, №28(4) Решение: × х(х+1)≠0 х+1 х Максимум- 1 балл

Стр.219, №29(1) Решение: Предложите ход решения

Стр.219, №29(1) Решение: Решите уравнение, разложением на множители: Проверка

Стр.219, №29(1) Решение: Максимум- 1 балл

Стр.219, №29(1) Решение: Нет действительных корней Максимум- 2 балла

Стр.219, №30(6) Решение: Предложите ход решения

Стр.219, №30(6) Решение: Если равны … и равны …,то равны и их …

Стр.219, №30(6) Решение: Если равны … и равны …,то равны и их …

Стр.219, №30(6) Решение: Если равны … и равны …,то равны и их … Дорешайте уравнение

Стр.219, №30(6) Решение: Максимум-1 балл Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели.

Стр.219, №30(1) Решение: Предложите ход решения Выполните решение Проверка

Стр.219, №30(1) Решение: Максимум – 1 балл Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели.

Подводим итоги выполнения заданий по решению показательных уравнений 11 баллов — «5», 10 баллов — «4», менее 10 баллов — «3»

Решение сложных показательных уравнений

Стр.219, №33 Проанализируйте все уравнения и сформулируйте общее указание для их решения

Стр.219, №33 Так как основания левой и правой частей всех уравнений взаимно простые числа, то для решения уравнения: нужно, чтобы выполнялось условие: х=у=0

Стр.219, №33(3) Решение:

Стр.219, №33(3) Максимум-1 балл Решите устно остальные уравнения №33 и запишите только ответы Проверка Решение:

Стр.219, №33 Проверка

Стр.219, №33 Максимум-3 балла

Стр.219, №34 Проанализируйте все уравнения и сформулируйте общее указание для их решения.

Стр.219, №35(1) Проанализируйте уравнение и предложите ход его решения

Стр.219, №35(1) Решение:

Стр.219, №35(1) Решение: Выносим за скобки общий множитель в левой и в правой части

Стр.219, №35(1) Решение:

Стр.219, №35(1) Решение:

Стр.219, №35(1) Решение: Разделим обе части на

Стр.219, №35(1) Решение:

Стр.219, №35(1) Решение:

Стр.219, №35(1) Решение: Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели.

Стр.219, №35(3) Решение: Какое преобразование предлагаете?

Стр.219, №35(3) Решение: Переносим все слагаемые, содержащие степень с основанием 2 в левую сторону, а степени с основанием 7 в правую

Стр.219, №35(3) Решение: Переносим все слагаемые, содержащие степень с основанием 2 в левую сторону, а степени с основанием 7 в правую Распишем каждую степень произведением степеней с одинаковыми основаниями

Стр.219, №35(3) Решение: Выносим за скобки общие множители

Стр.219, №35(3) Решение:

Стр.219, №35(3) Решение:

Стр.219, №35(3) Решение:

Стр.219, №35(3) Решение:

Стр.219, №35(3) Решение:

Стр.219, №35(3) Решение: Если равны степени и равны основания, то равны и их показатели.

Стр.219, №36 Проанализируйте все уравнения и сформулируйте общее указание для их решения. Стр.219, №37 Проанализируйте все уравнения и сформулируйте общее указание для их решения.

Стр.219, №38(1) Решение: Дайте характеристику слагаемым Какая взаимосвязь между основаниями степеней? На какую степень предлагаете поделить каждое слагаемое? Почему это возможно?

Стр.219, №38(1) Решение: Делим обе части уравнения на , выделяя в каждом слагаемом числовой множитель

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение: Какую замену нужно сделать?

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение:

Стр.219, №38(1) Решение: Оцените уровень усвоения материала на уроке

Подводим итоги урока: Оцените ваше восприятие нового материала: «5»- все было понятно и задания выполнялись без особого труда; «4» – были трудные моменты, осталось еще раз разобрать задания, чтобы не было проблем в будущем; «3»- остались непонятными некоторые задания из-за пробелов в знаниях. Следует поработать индивидуально.

1.Теория. Прочитать текст §2, Глава VI, стр.216-218 Выучить свойства степеней и основное свойство решения показательных уравнений 2.Практика. Разобрать задания, решенные в классе. Стр.218, № 26-30(2) №№ 33-38(2) ДР №30 на 17.01.20

Краткое описание документа:

Представленный материал урока по теме «Сложные показательные уравнения» — полный конспект в виде презентации, включающей работу с более сложными уравнениями, разбором моментов недопонимания, вариантов задач на закрепление основных способов решения. На уроке активно используется материал учебника, позволяющий разобрать теорию и основные задачи по теме. В конце урока дается подробное домашнее задание, содержащее как теоретическую, так и практическую часть. Такое изложение материала урока позволяет ученику пройти материал урока повторно дома, закрепив и разобрав сложные моменты темы.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 419 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 14.01.2020
• 216
• 12

• 14.01.2020
• 249
• 14

• 12.01.2020
• 497
• 10

• 10.01.2020
• 251
• 8

• 08.01.2020
• 1603
• 36

• 06.01.2020
• 160
• 6

• 30.12.2019
• 176
• 5

• 23.12.2019
• 1882
• 28

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 14.01.2020 794
• PPTX 1.9 мбайт
• 32 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 421771
• Всего материалов: 407

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.