Способы решения уравнений в начальной школе по математике

Как решать уравнения: от простого к сложному 2-4 класс

Уравнение — равенство, содержащее букву латинского алфавита, значение которой нужно найти.

Решить уравнение — значит подобрать такое число, при котором равенство становится верным.

Любые уравнения решаются на основе зависимости между компонентами. Простые уравнения учащиеся начальной школы начинают решать уже 2 классе. По мере взросления, усложняются и уравнения, переходя от простых к сложным уравнениям в 4 классе начальной школы.

Простые уравнения во 2 классе решают на основе взаимосвязей между компонентами при сложении или вы­читании. Важно соблюдать алгоритм решения уравнения.

Решение уравнения

Объяснение

чтобы найти первое сла­гаемое, нужно из сум­мы вычесть второе сла­гаемое.

Вычисляю: 35 — 7 = 28

Проверяю: 28 + 7 = 35

чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Вычисляю: 20 + 13 = 33

Проверяю: 33 — 13 = 20

чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность

Вычисляю: 46 — 42 = 4

Проверяю: 46 — 4 = 42

Простые уравнения вида х • 6 = 72, х : 8 = 12, 64 : х = 16 решают на основе взаимосвязей между результатами и компонентами действий.

Решение уравнения

Объяснение

1) Читаю уравнение: произ­ведение х и 6 равно 72.

2) Вспоминаю правило: что­бы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

3) Вычисляю: х = 72 : 6

4) Проверяю: 12 • 6 = 72

1) Читаю уравнение: частное х и 8 равно 12.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

3) Вычисляю: х = 12 • 8

4) Проверяю: 96 : 8 = 12

1) Читаю уравнение: частное 64 и х равно 16.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разде­лить на частное.

3) Вычисляю: х = 64 : 16

4) Проверяю: 64 : 4 = 16

Сложные уравнения в начальной школе состоят из нескольких арифметических действий. Алгоритм решения заключается в превращение сложного уравнения в простое.

Уравнения на нахождение неизвестного слагаемого

1)Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 12 • 4 = 48.

2) В уравнении х + 13 = 48 неизвестно первое слагаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное слагаемое, нужно из суммы вычесть из­вестное слагаемое.

4) Вычисляю: х = 48 — 13

5) Проверяю: 35 + 13 = 12 • 4

Уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 51 : 17 = 3.

2) В уравнении х — 24 = 3 неизвестно умень­шаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное уменьшаемое, нужно к разности приба­вить вычитаемое.

4) Вычисляю: х = 24 + 3

5) Проверяю: 27 — 24 = 51 : 17

Уравнения на нахождение неизвестного вычитаемого

640 — х = 180 + 120

640 — 340 = 180 + 120

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 180 + 120 = 300.

2) В уравнении 640 – х = 300 неизвестно вычи­таемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность.

4) Вычисляю: х = 649 – 300

5) Проверяю: 640 — 340 = 180+120

Уравнения на нахождение неизвестного множителя

5 • 77 = 131 + 254

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 131 + 254 = 385.

2) В уравнении 5 • х = 385 неизвестен второй множитель.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

4) Вычисляю: х = 385 : 5

5) Проверяю: 5 • 77 = 131 + 254

Уравнения на нахождение неизвестного делимого

64 000 : 8 = 800 • 10

1) Вычисляю значение выражения в правой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Уравнения на нахождение неизвестного делителя

1) Вычисляю значение выражения вправой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимоеразделить на частное.

Как решать сложные уравнения в 4 классе подробно рассмотрено в статье по ссылке.

Уравнения и способы их решения в начальной школе.

Уравнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства, решение уравнения сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение.

Решить уравнение – значит найти число (значение переменной), при котором равенство будет верным. Это число называют корнем уравнения.

Термин «решение» употребляется в двух смыслах: 1) обозначает последовательность тех операций, которые учащиеся выполняют, решая уравнение; 2) обозначает число (корень) при подстановке которого в уравнение оно обращаетс\ в верное равенство.

В практике соврем. Нач.шк. реализуются два подхода к обучению.

1. Сторонники первого подхода считают, что познакомить с уравнениями и способами их решения надо как можно раньше. Обоснование: дети смогут овладеть математической терминологией и способами действий в процессе решения уравнений. Чем раньше они начнут их решать, тем больше времени смогут упражняться в овладении способами решения.

2. Сторонники второго подхода предлагают приступить к решению уравнений только после того, как дети усвоят взаимосвязь между компонентами и результатами АД, овладеют необходимой терминологией и смогут осознанно формулировать правила (способы действий), которые лежат в основе арифметического способа решения уравнений.

Аргументом в данном курсе на более позднее решение уравнений является нацеленность курса на развитие мышления младших школьников в процессе усвоения программного материала. А поскольку эффективность мышления рассматривается психологами как результат системы знаний, когда разные сведения постоянно сопоставляются друг с другом в самых разных отношениях и аспектах, по-разному обобщаются и дифференцируются, входят разные цепочки причинно-следственных связей, то прежде всего, как считают авторы, необходимо понимание школьником изучаемых вопросов и осознание взаимосвязи между ними.

На подготовительном этапе дети учатся решать примеры «с окошками». В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным м.б. не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).

Знакомство с уравнением происходит при решении задачи с отвлеченными числами. Н-р: К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число. По данным задачи составляется пример с неизвестным числом ( + 3 =8). Затем учитель пояснет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинскими буквами (н-р Х (икс)). Предлагается записать пример с заменой неизвестного буквой. Ставиться цель научиться решать такие примеры. Решение основывается на знании состава числа и использовании наглядных пособий (кружки к примеру). Аналогично еще неск. примеров. После чего учитель поясняет что такие примеры называются уравнениями и, что найти неизвестное число – значит решить уравнение. Определение уравнения и корня уравнения не дается в нач. кл.

С первых же шагов обучения решению уравнений приучают детей к тому, чтобы они выполняли проверку: найденное число подставляли в выражение, вычисляли его значение и сравнивали с тем значением, которое дано в уравнении.

В начальной школе рассматриваются два способа решения уравнения:1. Способ подбора. Подбирается подходящее значение неизвестного числа из заданных значений, либо произвольного множества чисел. При подстановке данного числа в уравнение, оно должно превращать его в верное равенство.

При подборе необходимо обращать внимание на то, с какого числа целесообразно начинать подбор.

Накопленный опыт у школьников при решении уравнений позволяет им сократить количество подборов, что способствует углублению осознанности.

36+х+х+х=35 .Очевидно, что неизвестное м. принимать только нулевое значение.

78-х-х=76. Очевидно, что х = 1, поскольку 78-1-1=76.

2. Способ, опирающийся на взаимосвязь компонентов действий. Используются правила взаимосвязи компонентов действий. Трудность использования данных правил заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необх.Знать 6 праил и название 10 компонентов).

9+х=14. Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит х = 14-9, х=5.

7-х=2. Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит х=7-2, х=5.

Для решения уравнений данным способом исп-ся правила и памятку. 1)Прочитай уравнение. 2) Назови, что известно в данном уравнении, а что неизвестно. 3) Вспомни правило, как найти неизвестное число. 4) Найди неизвестное число, выполнив АД 5) Сделай проверку. 6) Назови, чему равно неизвестное число.

Проверка: 1. подставь найденное значение неизвестного в уравнение. 2. вычисли значение левой части уравнения. 3. сравни значение левой и правой части уравнения.

Для уравнений со скобками вида (6+х)-5=38 исп-ся правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизв. комп. – уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое и т.д.

Ряд альтернативных учебников математики для нач.кл. практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями (Аргинская, Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.

Преемственность в процессе обучения школьников решению уравнений

Разделы: Математика

Данная работа посвящена актуальной на сегодняшний день проблеме преемственности в обучении математики уравнениям. В работе будут рассмотрены способы решения уравнений в начальном звене и способы решения уравнений в 5-ом классе.

Основой для рассмотрения этой проблемы в данном аспекте послужил тот факт, что решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в методике математики, так как, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения в этой области, степень усвоения материала учащимися невысока. В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

Несомненно, что учащимся начальных классов, у которых в силу возраста еще не сформировано абстрактное мышление, именно тема «Решение уравнений» может показаться достаточно трудной, в отличии от учащихся 5, 6 классов.

Главной целью данной работы является сравнение наиболее эффективных приемов обучения решению уравнений в начальной школе и в средней школе (5, 6 класс).

Для достижения цели исследования потребовалось решить следующие конкретные задачи:

Выделить и изучить различные пути реализации преемственности в процессе обучения.

Рассмотреть методические концепции обучения решению уравнений авторов программ традиционного обучения на основе преемственности.

Разработать фрагменты уроков упражнений, где наглядно можно проследить способы решения уравнений в 1–6-х классах на основе преемственности.

Методологическая и теоретическая основа работы.

Теория и методология исследования основывается на концепции современной методики обучения математики в школе, представленной в работах Л. Г. Петерсон.

Научно-практическая значимость работы определяется тем, что теоретические положения, конкретный материал, конспекты уроков, предложенные упражнения, выводы проведенного исследования могут быть использованы учителями начальных классов, учителями математики.

Глава I. Преемственность в процессе обучения.

Преемственность в процессе обучения.

Преемственность часто понимают по-разному. Одни рассматривают ее как связь между отдельными предметами в процессе обучения (физика и математика, математика и черчение), другие – как простое использование ранее приобретенных знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета, третьи – как постоянство и единообразие требований, предъявляемых учащимся при переходе из класса в класс.

Во всех этих случаях преемственность понимается как некоторая связь. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характерных особенностей преемственности. Более того, часто эта связь отражается во второстепенных деталях, не затрагивающих существа процесса обучения. А иногда эту связь сводят к установившимся традициям. Тогда как связь, называемая преемственностью, обладает важными для процесса развития особенностями, имеющими большое значение для всего процесса обучения в школе. По определению, которое можно найти в Большой Советской Энциклопедии (т. 20), преемственность представляет “связь между явлениями в процессе развития, когда новое, сменяя старое, сохраняет в себе некоторые его элементы. Преемственность есть одно из проявлений диалектики закона отрицания и закона перехода количественных изменений в качественные”.

Правильное понимание преемственности может принести пользу при организации всего процесса обучения в школе и его отдельных этапов. Более глубокое понимание проблемы преемственности может стать серьезным оружием в методологических исследованиях. Оно поможет лучше понять многие вопросы, и в частности такие, как вопрос о линейном и концентрическом построении курсов, вопрос о повторении в процессе обучения и другие.

Целесообразно такое построение курса, при котором повторение способствующее преемственности при изучении понятия или системы понятий, дает возможность проявиться основным качествам преемственности. На каждом новом этапе это не будет повторением тех же самых упражнений, выполняемых теми же способами. В упражнениях на повторение непременно должно появиться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с повышением уровня образования учащихся. Таким образом, преемственность требует глубокого методического изучения.

Проведенный анализ дидактических и методологических исследований, который не только позволил осмыслить многоаспектность проблемы преемственности обучения, но и помог решить одну из задач исследования.

Идеи преемственности обучения как опоры последующих знаний на предыдущие, закрепления предыдущих последующими, установление причинных связей между явлениями находили отражение в трудах русских и зарубежных педагогов.

В дидактических исследованиях можно выделить различные точки зрения на роль преемственности в учебном процессе. М. А. Данилов рассматривает преемственность как условие развития самого процесса обучения [8].

Преемственность как составная часть принципа систематичности и последовательности в обучении характеризуется Ю. К. Бабанским [2]. Ю. К. Бабанский считает координацию требований преподавателей различных учебных предметов к учащимся, соблюдение преемственности в изучении не только отдельных тем, но и учебных предметов, преемственности обучения в младших, средних, старших классах.

На необходимость обеспечения преемственности в «учении» указывал Ш. И. Ганелин [7]. Говоря о преемственности он отмечал, что это «такая опора на пройденное, такое использование и дальнейшее развитие у учащихся знаний, умений и навыков, при которых у учащихся создаются разнообразные связи, раскрываются основные идеи курса, взаимодействуют старые и новые знания, в результате чего у них образуется система прочных и глубоких знаний» [7 с. 4].

Важные для современного этапа выводы содержатся в работе Н. А. Цирулик «Дидактические условия успешного осуществления преемственности в обучении между начальными и средними классами» (1981 г.). Автор понимает преемственность в обучении как «связь между этапами работы учителя по развитию личности ученика, достигаемую тем, что в процессе обучения учитывается – не игнорируется, а используется – достигнутый учениками уровень развития, образования в целях дальнейшего непрерывного совершенствования.

По мнению автора, «преемственность будет между ступенями успешной», если: – при определении целей обучения выявляются различия, а также закономерные противоречия между требованиями к усвоению знаний и развитию, предъявляемыми к ученикам на разных этапах обучения;

– учебный материал преподносится в возможно более широких и разносторонних связях, которые обеспечиваются логической последовательностью изложения материала, применением познавательных задач, вопросов, упражнений на сравнение, сопоставление, классификацию, способствующих переосмыслению знаний и осознанию учащимися трансформации знаний, их усложнения;

– проводится разностороннее выявление результатов, полученных в ходе усвоения, для учета их в основном цикле процесса обучения.

Анализ дидактических работ по проблеме преемственности позволяет констатировать, что при выявлении общих закономерностей процесса обучения дидактическая наука придавала большое значение понятию преемственности, которая рассматривалась как необходимое условие формирования у учащихся прочных знаний, умений и навыков.

С методологических позиций преемственность – это связь между различными этапами, ступенями развития как бытия, так и познания, сущность, которая состоит в сохранении тех ил иных элементов целого или отдельных сторон его организации при изменении целого как системы, т.е. при переходе из одного состояния в другое. Связывая настоящее с прошлым и будущим, преемственность тем самым обуславливает устойчивость целого (Э. А. Баллер) [3]

Из предложенной трактовки преемственности следует вывод важный для педагогики: развитие и преемственность – два взаимосвязанных и взаимозависимых процесса, они не существуют один без другого. Одновременно при анализе развивающихся объектов необходимо рассматривать процесс преемственности, обеспечивающий целостность объекта при его изменении. Поэтому, с нашей точки зрения, при характеристике преемственности в обучении математике необходимо выделять:

развивающееся целое, рассматриваемое в трех временных промежутках (прошлое, настоящее, будущее);

противоречия, возникающие в ходе развития объекта;

способы устранения противоречий, позволяющие этому целому не разрушиться, т.к. необходимо указать способ установления преемственной связи.

Рассматривая педагогический аспект проблемы преемственности, исследователи исходят из того, что под преемственностью в обучении следует понимать обеспечение связи между отдельными сторонами, этапами и ступенями обучения, расширение и углубление знаний, приобретаемых на предшествующих этапах обучения, поступательное развертывание всего учебного процесса в соответствии с содержанием, формами и методами обучения. (А. В. Батаршев) [4]

В данной трактовке преемственности неясно о каком развивающемся объекте идет речь. Большинство исследователей данной проблемы, говоря о преемственности в обучении, основной акцент делают на развитие системы знаний в процессе обучения. Но в проводимых ими рассуждениях трудно определить, о какой системе идет речь: системе знаний, которые ученик должен освоить, или системе знаний, которой владеет ученик. Вероятно, неявно идет речь о развивающейся системе знаний в сознании ученика.

Развитие системы знаний связано с разрешением противоречий. В литературе описываются разные виды противоречий, характерные для процесса обучения. Одни противоречия носят методологический характер (между непрерывным характером процесса познания и дискретным характером процесса учения). Другие носят психологический характер, связанные с наличным у школьника уровнем овладения знаниями, умениями, навыками и выдвигаемыми ходом обучения новыми задачами (коротко можно сформулировать как противоречие между «могу» и «надо»). Заметим, что при рассмотрении противоречий в обучении остается неясным вопрос, кто формулирует противоречия, и кто их разрешает. Из контекста становится понятным, что речь идет о противоречиях, которые возникают у ученика в процессе обучения, а разрешает эти противоречия учитель, ученик в этом процессе пассивен. Противоречие в сознании ученика связано с возникновением трудностей в усвоении учебного материала. Для развития ученика важно, чтобы он осознавал процесс преодоления возникших затруднений. Именно в ходе процесса преодоления трудностей учащийся осознает границы своего знания и незнания, что создает «поле преемственности». В качестве способов реализации преемственности в обучении исследователи называют обобщение материала, систематизацию знаний, установление внутрипредметных и межпредметных связей, моделирование, проведение аналогий и т.д. Практика работы школы показывает, что использование указанных приемов чаще всего не связывается с выявлением и разрешением противоречий, что приводит к частичному решению проблемы. Как было сказано выше, в связи с особенностью процесса обучения, где взаимодействуют два субъекта: «учитель» и «ученик», – в проблеме преемственности в обучении необходимо рассматривать два аспекта: внешний (деятельность учителя по установлению преемственности связей) и внутренний (организация процесса обучения, обеспечивающая установление преемственных связей самим учеником). Проблема преемственности в традиционном обучении обычно решается в большей степени с точки зрения внешней преемственности, поэтому больший акцент делается на установление преемственных связей при переходе учеников с одного этапа обучения на другой. Проблема преемственности в развивающем обучении обращается ко второму аспекту этой проблемы, связанной с установлением преемственных связей в процессе учебного познания. В психологической литературе названо одно из направлений в решении поставленной проблемы – поиск сквозных умений, пронизывающих весь курс учебного предмета (А. А. Люблинская) [14].

Данное направление не нашло дальнейшей разработки в самой психологии и, кроме того, требует переноса предлагаемого решения проблемы преемственности на методический уровень.

На методическом уровне основным предметом исследования проблемы преемственности явилось содержание математического образования, так как оно занимает ведущее положение по отношению ко всем другим компонентам процесса обучения.

Проблема преемственности в обучении математике не нова, и можно выделить этапы ее развития. Впервые наиболее остро эта проблема обсуждалась в 50-е гг. XX столетия. В существующей тогда десятилетней школе начальная школа имела самостоятельное значение для учащихся. Осуществлялся переход от обязательного начального четырехлетнего образования к обязательному семилетнему. Несогласованность между четвертыми и пятыми классами выражалась, главным образом, в различии методов обучения. К тому времени сложилась специфическая методика изучения арифметики в начальной школе, которая во многом расходилась с методикой преподавания курса арифметики в V кл. Довольно значительными были расхождения в преподнесении теоретических вопросов. В учебниках начальной школы почти не было обоснований правил, дети обучались в основном на задачах, а в V и VI классах удельный вес теоретических знаний резко увеличивался. Сильно отличались и формы затеей в тетрадях, требования к степени подробности в изложении решений текстовых задач.

Во второй раз проблему преемственности пытались особенно внимательно решать в начале 70-х гг., когда была введена трехлетняя начальная школа. В учебниках и методических руководствах была достигнута известная согласованность: начальная школа перестала быть обособленным звеном. Однако в формулировках требований к математической подготовке учащихся, оканчивающих начальную школу, и требований к знаниям, умениям и навыкам ребят, приступающих к учебе в IV классе, были допущены расхождения, которые оказывали негативное влияние в течение длительного времени и чувствуются и поныне.

В процессе реформы общеобразовательной школы, когда она стала одиннадцатилетней и обучение начинается с 6 лет, проблема преемственности возникла в третий раз. Для успешного решения проблемы преемственности на современном этапе необходимо уже сейчас начать экспериментальную подготовительную работу в этом направлении. Прежде всего следует полностью согласовать требования к математической подготовке учащихся, сформулированные в программах начальной и средних школ.

Обсуждая проблему преемственности, обычно выделяют содержание учебного материала предыдущего класса, которое нужно помнить к началу следующего года. Но важно и другое – согласование методов обучения, обеспечивающих достаточную подготовку учащихся младших классов к восприятию обобщенных фактов, правил, законов, постепенную адаптацию школьников к дедуктивному методу изложения.

В настоящее время в начальной школе достаточно широкое распространение уже получили учебники, качественно отличающиеся друг от друга и методически и по конкретному вложенному в них содержанию.

Наиболее массовые в настоящее время учебники для I-IV классов отражают вполне традиционный взгляд на формирование вычислительных навыков как важнейшую задачу обучения математике (во всяком случае, в начальной школе) и следуют существовавшей в 60-х гг. бурбакистской моде на раннюю алгебраизацию. Но в ряде других учебников, относящихся, как сейчас принято говорить, к развивающей системе обучения, реализован гораздо более широкий спектр представлений о содержания и сущности математики, а вообще о математической деятельности в формировании личности.

Учебники перестали сводиться, по существу, к чистой арифметике с элементами алгебры и геометрии. Однако в некоторых учебниках развивающая функция обучения математике реализуется весьма экстравагантно. Например, при изучении чисел больший акцент делается на формировании общего понятия числа и меньший – на умениях общаться с числами.

Существенные различия имеются и в конкретном математическом содержании. В некоторых новых учебниках для начальной школы начинается изучение дробей, а алгебраическое содержание включает, например, решение линейных уравнений с переменной в обеих частях.

Написанные авторами с различными психологическими, педагогическими и дидактическими представлениями, они в неполной мере учитывают потребности обучения математике на следующих ступенях, а следовательно, и вытекающие из нее и из современной концепции школьного математического образования последствия для обучения предмету, в частности иерархию целей и задач математики как предмета общего образования.

Многие реализованные в новых учебниках для начальное школы подходы не удовлетворяют учителей основной школы – или несоответствием современным представлениям о целях школьного, математического образования, новое системе работы, или, наоборот, выходящими за допустимые пределы новациями. Эта неудовлетворенность чаще всего имеет, естественно, субъективный характер, однако реальное решение проблемы преемственности в V классе зависит в настоящее время прежде всего от учителя, от его мнения, будь оно сколь угодно субъективным.

Поэтому новые учебники для начальной школы в настоящее время, быть может за несколькими исключениями, не имеют продолжения в основной школе. Поэтому вопросы преемственности в обучении математике между начальной и основной ступенями являются чрезвычайно важными на современном этапе.

Организация процесса обучения математики на основе преемственности.

Для исследования проблемы с практической точки зрения мы рассмотрели, как решается проблема преемственности при переходе учеников от одной ступени обучения к другой: начальная школа – 5–6-е классы.

Преемственность в обучении математике многие авторы учебников в большей мере понимают как последовательное изложение материала, не предполагают работу над разрешением противоречий, возникающих в процессе овладения математическими знаниями и умениями.

В большинстве случаев в литературе проблема преемственности связывается с переходом учеников из начальной школы в основную, а с методической точки зрения – с переходом учеников от одного учителя к другому (внешняя преемственность).

Пятый класс – это переломный этап в жизни и развитии детей, так как они переходят к предметному обучению. Учитель в начальной школе заинтересован в успешном овладении знаниями по всем основным школьным предметам в равной степени. Данный переходный период, как правило, сопровождается появлением разного рода трудностей, возникающих не только у школьников, но и у педагогов.

Какой ребенок готов к переходу в среднюю школу с точки зрения психологов?

Для дальнейшего успешного обучения у ребенка должны быть сформированы:

теоретическое мышление в доступных учащимся этого возраста формах – рефлексия;

способность к саморегуляции;

овладение структурными компонентами учебной деятельности.

Важно учитывать и то, что к началу подросткового периода учебная деятельность теряет свое ведущее значение, хотя она продолжает оставаться основной деятельностью школьников. Рубеж 3–4-го классов, по свидетельству многих психологов и педагогов, характеризуется значительным снижением интереса к учебе в школе, к самому процессу обучения. Симптомами можно считать отрицательное отношение к школе в целом, к обязательности ее посещения, нежелания выполнять учебные задания, конфликты с учителями, нарушение правил поведения в школе. Но эти негативные явления можно связывать и с особенностями работы конкретных педагогов.

Обычно в качестве критерия возникновения проблемы преемственности называется падение успешности обучения математике. Нами было проведено исследование изменения отметки по математике при переходе из начальной школы в 5 класс. Анализировалось: годовая отметка за начальную школу, отметка за первую четверть в 5 классе, итоговая отметка за 5 класс. Было исследовано движение отметок у 105 учеников разных школ. Исследование показало, сто при переходе учеников из начальной школы в основную у 20% учеников происходит снижение отметки по математике.

Эти данные свидетельствуют о том, что наличие проблемы преемственности при обучении математике связано не только с переходом от одного учителя к другому (на что сейчас в практике обучения делается высокий акцент), но и с переходом к изучению материала более высокого уровня абстракции, то есть с разрешением противоречия между высоким уровнем абстрактности математики и недостаточно развитым для ее усвоения абстрактным мышлением.

Наблюдения за характером изменений в подготовленности и развитии выпускников начальных классов в последние годы показывают существование ряда достаточно распространенных проблем, сказывающихся на успешности усвоения школьниками курса математики на следующем этапе. Далее в таблице перечислены некоторые из таких проблем, отмечена динамика по каждой проблеме, названы возможные пути их решения или коррекции.

Тенденции: – ухудшение ситуации,

– улучшение ситуации,

– стабильное положение

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Организационно-психологические

Недостаточная наполненность урока учебным материалом, неоправданно медленный темп урока, отсутствие материалов для “сильного” ученика, перенос основной тяжести усвоения курса на домашнюю работу

Уменьшение доли фронтальных бесед и др. малоэффективных методов работы на уроке, использование раздаточных дидактических материалов, уменьшение пауз в работе детей

Недостаточно организованное и четкое начало урока, окончание урока, выделение дополнительного – сверх отведенных 45 мин – времени на выполнение письменных проверочных работ, из-за чего дети не приучаются быстро включаться в работу, эффективно и быстро работать

Приучить детей начинать работу на уроке по звонку, быстро включаться в работу, не давать отдельным детям дополнительного времени на выполнение контрольных и др. проверочных работ, заканчивать урок также со звонком с урока

Стойкая привычка у детей к неумеренной помощи родителей при выполнении домашних заданий, творческих работ

Разъяснение родителям наносимого ущерба интеллектуальному развитию их ребенка, включение в уроки заданий, контролирующих степень самостоятельности школьников в выполнении домашних заданий

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Бедность арсенала и однообразие используемых методов обучения, несоответствие методического багажа учителя реальным учебным возможностям детей

Распространение опыта успешного обучения детей в современных условиях (школьным методическим объединениям учителей начальных классов и математики, кафедрам полезно создавать “видеобиблиотеки” методов обучения для ознакомления с лучшим опытом)

Пассивность большинства учащихся в процессе обучения

Использование форм и методов организации занятий, требующих от каждого ученика активного и осознанного участия (в т. ч. парной, групповой работы)

Несформированность у учащихся представления об отличном устном ответе, ответе у доски на уроке математики (эталоне ответа)

Учителям математики совместно с учителями начальной школы определиться в требованиях к ответу ученика и постепенно разъяснять детям эти требования, учитывать их, оценивая ответы на уроке

Привычка у детей получать отметки за любое – самое малое – действие, в т. ч. за краткие или односложные, невразумительные ответы

Добиваться от детей развернутых, полных ответов, четкой и грамотной речи; не допускать выставления необоснованно высоких отметок за неполные ответы

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Обедненная (вплоть до конца обучения в начальной школе) речь учителя, отсутствие динамики в использовании лексики от 1 к 3-4 классам, “сюсюканье”

Полезно создание и внедрение учителями математики совместно с учителями начальной школы словаря-программы постепенного ознакомления детей со “взрослой” лексикой, проведение отдельных уроков в начальной школе вместе с учителем средних классов

Создание у детей учителем и родителями в конце 4 (3) класса “психологического барьера” – настороженного ожидания трудностей учения в 5 классе

Знакомство родителей и детей со своими будущими учителями уже в 4(3) классе, проведение математических праздников, олимпиад, соревнований, отдельных уроков, родительских собраний совместно с учителем 5 класса

Общеучебные умения и навыки, элементы развития

Недостаточная техника чтения (в особенности – математических текстов, условий задач), большие проблемы в понимании текста учащимися из-за обедненного лексического запаса у части детей, неумение делить текст на смысловые части и анализировать его

Постоянно предлагать учащимся задания на проверку знания и понимания смысла математических терминов, вести словарики терминов, читать вслух и анализировать условия задач, рекомендовать и родителям проводить такую работу с детьми при выполнении заданий по математике

Недостаточная скорость письма, нечеткий почерк у значительной части детей

Рекомендовать упражнения для развития мышц кисти руки, подходящую ручку, продолжать следить за правильностью написания букв и цифр, за верным положением ручки

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Неустойчивость внимания, слабо развитая оперативная память у многих детей

На уроках предлагать цепочные вычисления, дома – специальные упражнения на тренировку внимания и памяти

Недостаточная тренированность долговременной механической памяти

Практиковать письменный опрос правил, предлагать для запоминания не только стихотворные, но и прозаические тексты

Элементы псевдоучебной деятельности в процессе обучения, неумение отделять существенное от несущественного

Своевременно отходить от требований, предъявлявшихся детям на ранних этапах обучения, при первом знакомстве с учебным материалом

Отсутствие у учащихся умения и привычки обращаться к энциклопедиям, справочникам, словарям, научно-популярной и дополнительной учебной литературе

Рекомендовать иметь в классе справочные издания, предлагать учащимся задания по работе со справочниками и словарями, поручать готовить сообщения, рассказы, сочинения по материалам дополнительной литературы

Специальные математические знания, умения и навыки

Недостаточные умения устных вычислений (все арифметические действия в пределах 100 учащиеся должны выполнять устно)

Постоянное подкрепление знания таблиц сложения и умножения, систематическое проведение содержательного и напряженного устного счета

Ошибки в письменном делении многозначных чисел

Регулярное повторение всех этапов алгоритма выполнения деления, систематическое включение в устную работу заданий на табличное умножение и деление, сложение и вычитание

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Ошибки в письменном умножении многозначных чисел

Регулярное повторение всех этапов алгоритма выполнения умножения, систематическое включение в устную работу заданий на табличное умножение и сложение

Слабое знание правил порядка выполнения действий (в т. ч. и в выражениях со скобками)

После записи вычислительных примеров начинать с выделения отдельных “блоков”, из которых он состоит, обращать внимание на “сильные” и “слабые” знаки арифметических действий, а затем расставлять номера действий

Недостаточные умения решать текстовые задачи (даже и в одно – два действия)

Предлагать сначала представить себе ситуацию, о которой речь в задаче, изобразить ее на рисунке или схеме. При обсуждении решения – вопросы: как догадались, что первое действие – именно такое?

Недостаточное развитие графических умений

Регулярное выполнение чертежей как на бумаге в клетку (с подсчетом числа клеточек – например, начертить отрезок длиной 6 клеток, от выбранной точки отступить вниз на 4 клетки и т.п.), так и на нелинованной бумаге, построение фигур по командам

Формальные представления об уравнении, его корне, способах проверки правильности решения уравнения

Большее внимание уделять первым этапам формирования понятия переменной, верного и неверного равенства, нахождению значения выражения с переменной

Проблема

Тенденция

Возможности разрешения

Недостаточно грамотная математическая речь учащихся

Учителю чаще давать образцы чтения выражений, равенств, уравнений и неравенств, склонять числительные, тренировать школьников в верном чтении математических выражений, использовании названий натуральных чисел и дробей в косвенных падежах (см. приложение 2)

Пути решения проблем преемственности между отдельными ступенями школы, в том числе и в школьном курсе математики «двусторонние»:

С одной стороны – в совершенствовании требований к знаниям, умениям, навыкам учащихся как в начальном, так и в среднем звене.

А с другой – в сохранении организационных форм, методов, средств обучения, характерных для работы учителя начальных классов.

Учитель начальных классов и учитель математики должны соблюдать в обучении:

единообразие в трактовке понятий, в терминологии, в используемом языке;

системность в изучении понятий;

Очевидно, что подготовка к работе учителя математики должна начинаться задолго до 1 сентября.

Глава II. Методика обучения решению уравнений.

Уравнения в начальной школе.

Уравнение – это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений. Классическими примерами являются равенства 2 ·2 =4 и 2 ·2 =5

Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет. Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным выражение m+0=m. Рассматриваемое выражение представляет собой равенство, содержащее обозначенное буквой m неизвестное число. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это выражение как запись того, что прибавление к любому числу числа 0 дает сумму, равную первоначальному числу, то утверждение не является уравнением. У уравнения m+0=m сколько угодно решений: любое число m является его решением.

У уравнения a+3=4+a нет решений.
У уравнения a+3=4 одно решение: a=1

Если требуется решить уравнение, то надо найти все его корни или доказать, что корней нет. Отметим, что когда мы говорим «равенство двух числовых выражений», мы вовсе не утверждаем, что эти два выражения действительно равны. Соединить два числовых выражения А и В знаком «=» и говорить о получившемся равенстве А=В можно независимо от того, верно или неверно сформулированное нами утверждение «А=В».

Возьмем два буквенных выражения и соединим их знаком равенства. Получим уравнение. Таким образом, уравнение в первом приближении можно понимать как равенство двух буквенных выражений.

Равенство числовых выражений иногда называют безусловным равенством, т.е. равенством безусловно верным, или безусловно неверным. Уравнение с этой точки зрения можно считать условным равенством – при одних условиях (т.е. при одних значениях букв) оно может оказаться верным, при других – неверным. Тождество – это равенство, при всех допустимых значениях букв. Его тоже можно считать частным случаем уравнения.

Уравнения – это не просто формальное равенство двух выражений. Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Следовательно, уравнение – это равенство двух выражений вместе с призывом найти его решение. Что же значит решить уравнение?

Буквы, входящие в состав уравнения (т.е. в состав выражений, образующих уравнение), называются неизвестными. Если такая буква одна, то говорят, что мы имеем дело с уравнением с одним неизвестным. Значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение с одним неизвестным, значит найти все его корни. Полезно помнить, что подставлять в уравнение можно любое значение х. При каком-то значении х может получиться бессмысленное числовое выражение, а при х из области допустимых значений получится осмысленное числовое равенство. Если при этом оно окажется еще и верным, то взятое число х является корнем уравнения. Уравнение может иметь один корень, например, х=5. Все корни (решения) уравнения образуют множество корней. Слово “множество” не означает, что корней очень много (“великое множество”). Если множество корней обозначить одной буквой, например х, то ответ может быть записан иначе. Примеры записей ответов с употреблением теоретиком множественных обозначений: x =

Способы решения уравнений.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин “решение” употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения . В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: “Почему х не может равняться 2? (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно . Способ подбора формирует у учащегося умение “оценить”, “проанализировать” записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью “правил”.

Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, линиями, числами рассматриваются в программе Л. Г. Петерсон.

Составляя подобные равенства, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

целое равно сумме частей

чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

Решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения вида: х + 10 = 30 – 7, х+ (45 –17) =40 и т.п. им предлагаются более сложные уравнения, для нахождения неизвестного компонента, в которых необходимы определенные преобразования. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.

Первыми рассматриваются уравнения, в которых правая часть задается не числом, а числовым выражением, например: х+25=50·14 или х+25=12 ·3. При решении подобных уравнений учащиеся вычисляют значение выражения в правой части, после чего уравнение сводится к простейшему.

На протяжении длительного периода учащиеся упражняются в чтении, записи, решении и проверке таких уравнений, причем в левую и правую части их включаются простейшие выражения всех видов в различных сочетаниях. Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов – выражение, содержащее неизвестное число х, например: (х+8) – 13=15, 70 + (40 – х)=96 и т.п., так как при решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов. Например, рассматривают на уроке уравнение (12-х)+10=18. Очень важно правильно прочитать его, выяснить последнее действие, назвать компоненты, выделить каждое слагаемое, затем дети говорят о том, что неизвестное входит в первое слагаемое. После нахождения неизвестного слагаемого, после преобразования дети получают простейшее уравнение, в котором неизвестное вычитаемое. После нахождения вычитаемого х=4 необходимо сделать проверку решения уравнения.

Обучение решению уравнений этого вида требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов.

Овладение навыками решения уравнений данного вида способствует преемственному обучению.

Решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

При решении уравнений в начальной школе используется способ решения уравнения на основе знаний конкретного смысла умножения. В ходе решения уравнения вида 17+17=17·х можно преобразовывать левую часть. Проанализировав вид уравнения, можно найти рациональный способ его решения.

Необходимо заменить сумму одинаковых слагаемых действием умножения. Затем сравнивая левую и правую часть, делается вывод, что этот вид уравнения можно решить на основе конкретного смысла умножения

Этот способ формирует у учащегося умение «оценивать», «проанализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем.

Решение уравнений способом методического приема с весами.

Таким способом решаются сложные уравнения вида 2·х+8=20 или 2·(х+8)=20. Весы находятся в равновесии. Ставится вопрос: как «избавиться» от числа? В таком случае дети сами догадаются, что если из каждой части весов убрать по 8, то равновесие сохраняется. Если же это число убрать только с одной чаши, то весы будут не в равновесии. Значит, это число нужно убрать с обеих чаш. При решении уравнений таким способом нужно обратить особое внимание на то, что сложение и деление – это взаимообратные арифметические действия.

Ученик использует в своих суждениях план, который определяет «шаги», ведущие к достижению поставленной цели. Этот способ позволяет учащимся учится рассуждать, переносить общие суждения на частные, ускорить осознание изучаемого материала.

Учащиеся, освоившие решение уравнений в начальных классах не испытывают трудностей в обучении математике в V классе.

Обучение решению уравнений по-разному реализуются в программах по математике.

М. И. Моро, Ю. М. Колягин, М. А. Баитова.

К элементам алгебраической пропедевтики относится ознакомление детей с таким важным математическим понятием как понятие переменной. В теме «Числа от 1 до 10» после введения названий компонентов и результатов сложения и вычитания учащимся предлагаются упражнения, в которых значения слагаемых заданы в табличной форме и требуется найти суммы и заполнить соответствующие клетки таблицы. В дальнейшем вводится буквенное обозначение переменной. Дети учатся находить значения буквенных выражений при заданных числовых значениях входящих в них букв. Постепенно, начиная с решения подбором так называемых «примеров с окошком» вида o + 3 = 7,
o – 3 = 7 или 10 – o = 7, учащиеся знакомятся с простейшими уравнениями (х · 8 = 56, х + 9 = 19, х : 4 = 7 и т.п.), у них формируется понятие о том, что значит решить уравнение. В теме «Числа от 1 до 100» программой предусмотрено решение уравнений на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатами действий. На более позднем этапе структура решаемых уравнений усложняется (х · 8 = 246 – 86 и т.п.). Это способствует формированию у детей понятий равенство, левая и правая части равенства.

I класс. Введение буквенной символики для обозначения компонентов действий сложения и вычитания.

II класс. Решение уравнений вида 58 – х = 27, х – 36 = 23, х + 38 = 70 на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатами действий.

III класс. Решение уравнений вида х · 6 = 72, х : 8 = 12, 64 : х = 16 на основе знания взаимосвязей между результатами и компонентами действий.

IV класс. Решение уравнений вида х + 312 = 654 + 79, 360 : х = 360 : 7 на основе взаимосвязей между компонентами и результатами действий.

Обучение математике по программе автора Л. Г. Петерсон.

Развитие алгебраической линии неразрывно связано с числовой, во многом дополняя ее и обеспечивая повышение уровня обобщенности усваиваемых детьми знаний. Вместе с тем она обладает и известной самостоятельностью в качестве подготовительного этапа, необходимого для постепенного перехода к изучению программного материала. С самых первых уроков вводится буквенная символика, формируются определенные виды записи, причем эти записи аналогичны и для множеств, и для величин. Например, при решении уравнений из того, что
А + Х = С (для множеств, следует, что Х = С – А, а из того, что а + х = с для величин, следует, что х = с – а). И в том и в другом случае решение обосновывается тем, что мы ищем неизвестную часть, поэтому из целого вычитаем другую часть. Как правило, запись общих свойств операций над множествами и величинами обгоняет соответствующие навыки при выполнении аналогичных операций над числами. Это позволяет создать для каждой из таких операций общую рамку, в которую потом, по мере введения новых классов чисел, укладываются операции над этими числами и свойства этих операций. Тем самым дается теоретически обобщенный способ ориентации в учениях о конечных множествах, величинах и числах, позволяющий потом решать обширные классы конкретных задач.

I класс. Уравнения вида а + х = с, а – х = с, х – а = с, решаемые на основе соотношений между частью и целым.

II класс. Уравнения вида а ·х = с, а : х = с, х : а = с, решаемые на основе их графической интерпретации. Решение задач на нахождение сторон прямоугольника, его периметра и площади, на нахождение объема куба и на основе знания формул.

III класс. Уравнения вида а + х = с, а – х = с, х – а = с, а · х = с, а : х = с, х : а = с, с комментированием по компонентам действий. Решение задач с использованием формул пути, стоимости, площади и периметра прямоугольника, объема прямоугольного параллелепипеда, деления с остатком.

IV класс. Решение усложненных уравнений вида а + х = с, а – х = с, х – а = с, а · х = с, а : х = с, х : а = с и задач с их применением.

Анализ работы показывает, что в каждой программе имеет место работа над уравнениями. Однако сложность уравнений и возможность их применения для решения других математических задач варьируется.

Уравнения в 5–6-х классах.

Линия уравнений является стержнем алгебраического материала школьного курса математики.

В изучении уравнений выделяются три этапа.

К I этапу относится пропедевтическое изучение уравнений в начальной школе, II этап – более высокий уровень пропедевтики этих понятий в курсе 5–6 классов и III этап начинается с 7 класса.

Мы рассмотрели изучение уравнений в начальной школе. В 5 классе в идейном отношении преемственность сохраняется. Используются формулировки: «Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением», «Решить уравнение – значит найти все его корни», «Найденное значение неизвестного числа называют корнем уравнения». Способы решения уравнений по-прежнему ограничиваются использованием взаимосвязи между компонентами и результатами действий. Однако здесь более ярко выделяется линия на обобщение осваиваемых способов решения и фиксирования их в буквенно-символической форме. Решается уравнение х – 47 = 25. Вместе с классом анализируется равенство и отмечается, что следует найти неизвестное уменьшаемое. По смыслу вычитания находят корень уравнения. Далее способ решения такого вида обобщается: «Вообще если х – в = с, то х = в + с«, одновременно формулируется правило; правило заучивается учащимися. В 5 классе изучаются способы нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя. Правила нахождения формулируются и заучиваются. Записи способов нахождения неизвестного числа в буквенно-символической форме тщательно анализируются, «Что означают в равенстве используемые буквы?», уточняется смысл и объясняется значение используемых символов, а также отмечается, что в записи конкретных уравнений неизвестное число может обозначаться любой буквой.

В 5-м классе изучаются уравнения, которые содержат буквенные выражения только в одной части уравнения. При их решении внимание учащихся сосредотачивается на выделение способа решения, осмысление понятия коря и на понимании постановки задачи о решении уравнения.

Выделение нужного способа решения обеспечивается качественным анализом выражения, стоящего в левой части уравнения: какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. Понимание же постановки задачи о решении уравнения обеспечивается анализом произведенной записи решения и полученного результата; кроме того, учащимся предлагаются вопросы как: «Все ли корни уравнения найдены?», и другие, приучающие их к осмысливанию решения и полученного результата. Конструкция уравнений усложняется. Теперь для их решения учащиеся должны выполнить последовательно несколько преобразований, каждое из которых освоено ими раньше.

Запись решения обычно сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Используются при решении первых уравнений для зрительного подкрепления и выработки правильной математической речи. Таблицы с образцами решения.