Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»
Разделы: Математика
Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:
Техническая оснащенность урока: компьютеры.
План сдвоенного урока.
I. Повторение по теме “Уравнения”.
Вопросы для повторения.
II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.
Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.
III. Ход работы.
Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).
По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
I способ. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим два приёма:
Разделим обе части уравнения на :
Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.
применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:
Подпишите листочки.
- Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
- Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
- Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
- Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.
II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.
(1)
Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.
При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.
Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,
поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.
sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1
-1 1.
Следовательно, x = + 2n, n Z.
Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:
III способ. Сведение к однородному уравнению.
Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.
Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)
Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0
Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,
sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,
x = 2n, n Z;
b) cosx/2 – sinx/2 = 0
x = /2 + 2k, k Z.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение.
Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:
а) Выразим cos x через sin(/2 – x):
О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
sin x + cos x = 1
б) Выразим sin x через cos (/2 – х):
V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.
Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.
Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.
2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,
sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,
x = /2 + 2k, k Z.
x = 2n; n, Z
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.
VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:
sin x + cos x = 1,
(sin x + cos x) 2 = 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.
Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
1. Проверим корни вида x = j:
Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.
х= j , при j = 2k + 1, k Z.
следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.
2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:
j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.
Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.
x = /2 + 2(n+1); n Z.
следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
VII способ. Замена cos x выражением :
Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.
Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.
VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.
Предварительно проводится фронтальная беседа.
1. Что значит решить уравнение графически?
2. Как можно решить графически данное уравнение?
1. Построить в одной системе координат графики функций:
Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.
2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.
Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.
3. Построение графиков на экране компьютера:
Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.
Что такое масштаб применительно к ЭВМ?
Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.
Что называется пикселем?
Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).
С помощью какого оператора можно построить точку на экране?
C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?
Window (x1, y1) – (x2, y2).
Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.
Line (x, y) – (x2, y2), c
Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.
Locate x, y: PRINT «Y».
Что собой представляет график на экране?
Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?
Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.
IV. Домашнее задание:
Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.
8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1
2016г. ученица 10 Б класса
Цели: изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.
Задачи: вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.
Гипотеза: одно уравнение можно решить несколькими способами.
Методы исследования: теоретические и математические.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
100_referat_i_anastasii_10a_.docx | 834.53 КБ |
i_anastasiya_10a_8_sposobov_resheniya_trigonom_uravn-ya_.pdf | 1.37 МБ |
Предварительный просмотр:
средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска
муниципального образования «Холмский городской округ»
8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1
ученица 10 «А» класса
Рязанцева Людмила Ивановна,
1.1Изглубокой древности и до наших дней……………………….………………..…….5
Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений………………………………………………………………………………..…..8
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений………………………. 8
2.3 Разложение на множители……………………………………………………………. 9
2.4 Сведение к однородному уравнению…………………………………………. ……10
2.5 Переход к половинному углу……………………………………………..…….…….10
2.6 Введение вспомогательного угла……………………………………………….…….11
2.7 Преобразование суммы в произведение……………………………. ………………11
2.8 Преобразование произведения в сумму………………………………………………12
2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка…………………………………..12
2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат………………………..……..……..13
2.11 Сведение к квадратному уравнению……………………………………..………….14
Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1…………. 15
3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат…………………………………. 15
3.2 Введение вспомогательного угла……………………………………………………..16
3.3 Сведение к однородному уравнению……………………………………….…. 16
3.4 Сведение к квадратному уравнению…………………………………………………..18
3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)……………………..……19
3.6 Преобразование суммы в произведение………………………………………………20
3.8 Переход к половинному углу. …………………………………………………. …..22
Первое знакомство с математикой происходит в детстве. Изначально, в старшей группе детского сада, нас учат цифрам, счету, основам, без которых невозможно приступить к дальнейшему изучению данной науки. Затем, в начальной школе, мы учимся проводить расчеты: складывать и вычитать, делить и умножать, решать простейшие задачи. Перейдя в старшие классы, изучаемый материал становится сложнее, но довольно интереснее, и уже математика имеет несколько разделов, а не два, как на начальном этапе нашего изучения.
Лично для меня наиболее интересной показалась тригонометрия. Она изучает зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимается анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций. Её изящность и гибкость решений многих задач привлекает большое количество людей. Например, одно уравнение имеет не одно или два решения, как учат в школе, а несколько. А если рассмотреть окружность, составляющую данного раздела, можно заметить,что точкам, лежащим на ней, соответствует множество значений. Этим то и необычна тригонометрия.
К тому же, сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Учащийся в школе подросток не всегда знает, как сложится его будущее, куда пойдет учиться и где будет работать. Для некоторых профессий знание тригонометрии просто необходимо. Вы могли не подозревать об этом, но именно она позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии используются в таких науках и областях, как физика, биология, химия, медицина, электроника, теория вероятностей, фармацевтика, экономика и даже фонетика. Не последнюю роль она играет в сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, геодезии и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Решение тригонометрических уравнений играет важную роль для учащегося школы, так как они из года в год встречаются в заданиях ЕГЭ.
В своей работе я буду рассматривать 8 способов решений одного тригонометрического уравнения. Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне достаточно интересной, к тому же в школе отводится мало часов для ее изучения. В ходе исследований по данной теме я поставила цели и задачи, а также вывела гипотезу.
Цели : изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.
Задачи : вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.
Гипотеза : одно уравнение можно решить несколькими способами.
Методы исследования : теоретические и математические.
Итак, мы сегодня сможем поближе познакомиться с этой наукой и рассмотреть всю красоту и разносторонность решений тригонометрических задач.
Глава 1. Историческая справка.
Впервые термин «тригонометрия» встречается в заглавии книги«Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613) в 1595 году. Оно имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник».
1.1 Из глубокой древности и до наших дней
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Стимулом к развитию тригонометрии являлись потребности астрономии, вспомогательным разделом которой стала тригонометрия. Согласно сохранившимся данным, основоположником возникновения тригонометрии стал во 2 в. до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх Никейский. Он впервые рассмотрел тригонометрический круг и вычислил таблицу хорд, соответствующих различным углам. Так как в то время астрономам не были известны тригонометрические функции, она стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Единицами измерения были градусы, минуты, секунды, терции. Далее, Клавдий Птолемей во 2 в. н. э. вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, на основании теоремы Пифагора он записал: (хорда α)²+ (хорда /180-α/)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α+cos²α=1.
Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийскими астрономами в период 5-12 вв. н. э. Индийские математики вычисляли не полную хорду, как это делали греки, а ее половину. Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Индийские математики назвали синус «ардхаджива», что в буквальном смысле означало «половина тетивы лука». Также они составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа» — угол и «метрио» — измеряю). Тем не менее, для индийцев как и для греков тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.
Ознакомившись с трудами индийских математиков, арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии. Они называли линию синусов словом «джайб» , что переводится на латынь как sinus – изгиб, кривизна. От латинского выражения complementisinus, т.е. «дополнительный синус», произошло слово «косинус» . Тангенсы и котангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в 10 в. Термин «тангенс» с латинского переводится как «касающийся», т.е. линия тангенсов – касательная к единичной окружности. Ну а «котангенс», по аналогии с косинусом, означает «дополнительный тангенс». Важным нововведением было использование единичного радиуса, вычисления с ним гораздо проще.
В 11-13 вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки.
Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к 12 в., когда арабские трактаты были переведены на латынь. Изначально тригонометрия представляется как часть геометрии, но затем в сочинении «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.) начинает обособляться от нее.Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов» (1462-1464), сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Благодаря его трудам тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. В 14—15 вв. тригонометрия заняла место среди университетских курсов.
Дальнейшее развитие тригонометрии шло на пути накопления и систематизации формул, уточнении основных понятий, становления терминологии и обозначений.
В данной области работали европейские ученые Николай Коперник (1473-1543), Иоганн Кеплер (1571-1630), Франсуа Виет (1540-1603) и Исаак Ньютон (1643-1727).
Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).
Виет открыл «плоскую» теорему косинусов, разработал общую алгебраическую символику. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества, например, формулы тригонометрических функций для кратных углов (приложение 2). Исаак Ньютон (1643-1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.
В 17 в. тригонометрия имеет новое направление – аналитическое. Постепенно она становится частью математического анализа. Также находит широкое применение в физике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.
В России первые сведения о тригонометрии появились в начале 18 в.В то же время появился первый русский учебник по тригонометрии, и назывался он «Геометрия практика». Дальнейшее развитие теории тригонометрии было продолжено в 19 в Н. И. Лобачевским и другими учеными. В 19—20 вв. бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.
В наше время важнейшая часть тригонометрии – учение о тригонометрических функциях рассматривается в математическом анализе, а решение треугольников является частью геометрии.
1.3.1 Заслуги Леонарда Эйлера
Современный вид тригонометрия получила, благодаря заслугам члена Российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Именно он ввел само понятие функции и принятую в наши дни символику. Величины sinx, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа х – радианной меры соответствующего угла. Он давал числу х всевозможные значения. Как положительные, так и отрицательные, и даже комплексные. К его заслугам можно отнести то, что именно он обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента. Это позволило превратить многочисленные и объемные тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Также, Эйлер ввел обратные функции. Именно он создал тригонометрию как науку о функциях и дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из основных формул. Благодаря обозначениям, которые заключались в определении сторон малыми буквами, а углов – большими, он смог упростить формулы, тем самым придать им красоту и ясность. Его нововведения позволяют нам изучать тригонометрию такой, какая она есть в 21 в. Ведь именно Леонарду Эйлеру принадлежит идея рассматривать тригонометрические функции как числа (отношения соответствующих линий к радиусу круга, причем радиус равен 1). Он вывел ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций в во всех четвертях, получил обобщенную формулу приведения, избавил тригонометрию от многих ошибок, допущенных ранее. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это один из видов трансцендентныхуравнений (содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции), то есть не алгебраических, содержащих переменную под знаками тригонометрических функций.
Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Уравнения такого типа, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.
Одним из нескольких отличий такого уравнения является наличие в ответе параметра k . Его рассматривают как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Данный параметр принадлежит к множеству целых чисел. В единичной окружности (R = 1) одной точке соответствует бесконечное множество чисел, потому что окружность – замкнутая линия. Ее можно сравнить с беговой дорожкой стадиона. По ней можно двигаться очень долго, так как она замыкается, и начинается новый круг, и старту ,началу движения, может соответствовать 0 м и 600 м (после прохождения дистанции 600 м), то есть одна точка имеет несколько значений. Также и в окружности, одной точке соответствует несколько чисел. Именно поэтому ввели параметр k .
А основной целью решения любого тригонометрического уравнения является приведение его к виду простейшего.
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений.
Простейшие уравнения — это уравнения вида f(x) = a , где f(x) — одна из основных тригонометрических функция, а а -данное число. Для решения уравнений нужно знать основные тригонометрические формулы (приложение 1).
Урок — семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа №1
имени генерал – лейтенанта Б.П. Юркова
г.Зверева Ростовской области.
Урок — семинар на тему
учитель математики МБОУ СОШ №1
Куц Фёдор Иванович
Перед человеком к разуму три пути: путь размышления — это самый благородный; путь подражания — это самый легкий; путь личного опыта — самый тяжелый путь.
Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.
Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.
Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.
Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.
Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.
1) Введение вспомогательного угла.
2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:
3) Сведение к однородному уравнению.
4) Применением формул сложения тригонометрических функций
5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
6) Применение формул двойного и половинного аргумента.
7) Применение основного тригонометрического тождества.
8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
9)Графическое решение уравнения.
Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-3 человека) в зависимости их индивидуальных способностей и желания. Каждой группе определяется задание для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.
Тема урока: «Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1».
Форма проведения: урок – семинар.
а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).
1) Введение вспомогательного угла.
2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:
3) Сведение к однородному уравнению.
4) Применением формул сложения тригонометрических функций
5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
6) Применение формул двойного и половинного аргумента.
7) Применение основного тригонометрического тождества.
8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
9)Графическое решение уравнения.
Решение первой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 методом « Введения вспомогательного угла».
Если дано уравнение a sin x + b cos x = с , то разделив обе части уравнения на выражение
и вводя дополнительный угол , получим уравнение cos sin x + sin cos x = .
Откуда sin ( x + ) = .
( Или sin sin x + cos cos x = . Откуда cos ( x + ) = ).
Для уравнения sin x + cos x = 1 имеем: a = 1, b = 1: = = .
sin x + cos x = ; sin x + cos x = .
cos sinx + sin cosx = , sin(x + ) = ; x + = (- 1) n arcsin + π n, n Z;
x + = (- 1) n + π n, n Z; x = — + (- 1) n + π n, n Z.
Эта серия корней распадается на две серии :
при четном n : n = 2m x = — + + 2 πm = 2π m , m Z ;
при нечетном n : n = 2 k + 1 x = — — + π (2 k + 1) = — + π + 2π k = = + 2π k , k Z .
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
Или 2) sin sinx + cos cosx = ; cos(x — ) = ; x — = ± arccos + 2π n, n Z;
x — = ± + 2π n, n Z; x = ± + 2π n, n Z.
Эта серия корней распадается на две серии : x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
Решение второй группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 с помощью универсальной тригонометрической подстановки: sin x = , cos x = .
Перепишем данное уравнение с учетом приведенных формул:
+ = 1. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель ( ≠0).
+ = ; — = 0; ( — 1) = 0.
= 0 или — 1 = 0.
1) = 0, = π n , n Z ; x = 2π n , n Z .
2) = 1, = + π k, k Z; x = + 2 π k, k Z.
Ответ . x = 2 π n, n Z; x = + 2 π k, k Z.
3. Решение третьей группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 приведением к однородному уравнению относительно синуса и косинуса.
Используя формулы двойного аргумента sin x = 2 sin cos , cosx = cos 2 — sin 2 и записывая
правую часть уравнения в виде 1= cos 2 + sin 2 , получаем:
2sin cos + cos 2 — sin 2 = cos 2 + sin 2 ; 2 sin 2 — 2sin cos = 0.
Вынося 2 sin за скобки, получим равносильное уравнение
2 sin (sin – cos = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен
нулю, другие при этом имеют смысл. Следовательно, 2 sin = 0 или sin – cos
1) sin = 0. = n, n Z; x = 2 π n, n Z.
2) sin — cos = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos
( cos ≠ 0, в противном случае, если cos = 0, то и sin = 0, что противоречит основному
тригонометрическому тождеству cos 2 + sin 2 = 1).
tg — 1= 0; tg = 1.
= + х = + 2 π k , k Z .
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
4. Решение четвертой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применением формул сложения тригонометрических
функций sin + sin = 2 sin cos .
Выразим cos x через sin x , используя формулы приведения: cos x = sin ( — x ).
sin x + sin ( — x) = 1; 2 sin cos = 1; 2 sin cos (x — ) = 1;
2∙ ∙ cos (x — ) = 1; cos (x — ) = .
x — = ± arccos + 2 n, n Z; x = ± + 2 n, n Z.
x = 2 n, n Z; х = + 2 k, k Z .
Ответ . x = 2 π n, n Z; x = + 2 π k, k Z.
5. Решение пятой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом возведения обеих частей уравнения в квадрат.
(sin x + cos x ) 2 = 1; sin 2 x + 2sin x cos x + cos x 2 = 1.
Используя формулу синуса двойного аргумента sin 2 x = 2 sin x cos x и основное
тригонометрическое тождество cos 2 х + sin 2 х = 1, имеем:
sin 2x + 1 = 1; sin 2x = 0; 2x = π n, n Z; x = , n Z.
При возведении уравнения в квадрат получаем уравнение – следствие, поэтому проведем
1) При х = 2π n , n Z , 0 + 1 = 1 верно, х = 2π n , n Z – корни уравнения.
2) При х = + 2π n , n Z ; 1+ 0 = 1 верно, х = + 2π n , n Z – корни уравнения.
3) При х = π + 2π n , n Z , 0 — 1 = 1 неверно, х = π + 2π n , n Z – не являются корнями
4) При х = + 2π n , n Z , -1+ 0 = 1 неверно, х = + 2π n , n Z – не являются корнями
Ответ. x = 2π n , x = + 2π n , n Z .
6. Решение шестой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение формул двойного и половинного
Запишем уравнение в виде: sin x = 1 — cos x .
Сделаем замену : sin x = 2sin cos , 1 — cos x = 2 sin 2 .
2sin cos = 2sin 2 ; 2sin cos — 2sin 2 = 0. Вынося 2 sin за скобки, получим равносильное
уравнение 2 sin ( sin – cos = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей
равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.
2sin = 0 или cos — sin = 0.
1) 2sin = 0; = π n, n Z; x = 2 π n, n Z.
2) cos = sin ; = 1; = + π k; x = + 2 π k, k Z.
Ответ . x = 2 π n, n Z; x = + 2 π k, k Z.
7. Решение седьмой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение основного тригонометрического
Из тождества sin 2 x + cos 2 x = 1 имеем cos 2 x = 1 — sin 2 x , откуда cos x = ± .
sin x ± = 1; ± = 1 – sin x; 1 — sin 2 x = (1 – sin x) 2 ;
(1- sin x) (1 + sin x) — (1 – sin x) 2 = 0; (1- sin x) (1 + sin x – 1 + sin x) = 0; (1 — sin x) ∙ 2sin x = 0.
1 – sin x = 0 или 2 sin x = 0.
1) sin x = 1; x = + 2 π k, k Z.
2) sin x = 0; x = π n , n Z .
В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло
привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.
При х = + 2π k , k Z , 1+ 0 = 1 верно, х = + 2π k , k Z .– корни уравнения.
При х = 2π n , n Z , 0 + 1 = 1 верно, х = 2π n , n Z – корни уравнения.
При х = π + 2π n , n Z , 0 — 1 = 1 неверно, х = π + 2π n , n Z – не являются корнями уравнения.
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
8. Решение восьмой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению
относительно одной из функций.
Рассмотрим основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1 , откуда следует sin x =
± , подставим полученное выражение в данное уравнение.
± + cos x = 1; ± = 1 — cos x .
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: 1 – cos 2 x = 1 – 2 cos x + cos 2 x ;
2cos 2 x — 2cos x = 0; cos x (cos x – 1) = 0.
cos x = 0 или cos x – 1 = 0.
1) cos x = 0. x = + π k, k Z.
2) cos x – 1 = 0; cos x =1. х = 2 π n, n Z.
Корни необходимо проверить.
При х = + 2π k , k Z , 1+ 0 = 1 верно, х = + 2π k , k Z – корни уравнения.
При х = — + 2π k , k Z , — 1 + 0 = 1 неверно, х = — + 2π k , k Z – не являются корнями
При х = 2π n , n Z , 0 + 1 = 1 верно, х = 2π n , n Z – корни уравнения.
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
9. Решение девятой группы.
Решение уравнения sin x + cos x = 1 графическим способом
Перепишем уравнение в виде: sin x = 1 — cos x.
Построим в одной системе координат графики функций : у = sin x , y =1 — cos x.
Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z . (Необходимо обязательно проверять это вычислениями).
Ответ. x = 2π n , n Z ; x = + 2π k , k Z .
Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = c , освоили новый материал.
На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой.
1. Материалы курса «Тригонометрия в школе». /Н.Н. Решетников, М. Педагогический университет «Первое сентября», 2010 г.
2. Математика. Большой справочник школьников и поступающих в вузы. М.»дрофа»,1999 г.
3. Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск, НГМА,2003 г.
4.Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов и др./ — М, Просвещение, 2010 г.
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2017/11/08/8-sposobov-resheniya-trigonometricheskogo
http://infourok.ru/urok-seminar-na-temu-reshenie-uravneniya-sin-cos-286873.html