Справочник по численным методам решения уравнений
МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Численные методы
- Алберг Дж., Нильсон В., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972 (djvu)
- Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М.: Научный Мир, 2002 (pdf)
- Бабенко К.И. (ред.). Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979 (djvu)
- Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969 (djvu)
- Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975 (djvu)
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 1 (2-е изд.). М.: Физматлит, 1962 (djvu)
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 2. М.: Физматлит, 1959 (djvu)
- Вайнберг А.М. Математическое моделирование процессов переноса. Решение нелинейных краевых задач. Москва-Иерусалим, 2009 (pdf)
- Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы конечных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Красноярск: СибГТУ, 2005 (pdf)
- Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. Красноярск: СибГТУ, 2008 (pdf)
- Виноградов А.Ю. Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач. М: National Research, 2017 (pdf)
- Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: ГИФМЛ, 1959 (djvu)
- Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 (djvu)
- Ворожцов Е.В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред (учебное пособие). Новосибирск: НГТУ, 1998 (pdf)
- Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем (учебное пособие). Новосибирск: НГТУ, 2000 (pdf)
- Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей в вычислительной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1985 (djvu)
- Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971 (djvu)
- Гельфонд О. Исчисление конечных разностей. М.: ГИФМЛ, 1959 (djvu)
- Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979 (djvu)
- Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976 (djvu)
- Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976 (djvu)
- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики (3-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu)
- Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967 (djvu)
- Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977 (djvu)
- Дородницын А.А. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Сборник статей. М.: Наука, 1964 (djvu)
- Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1972 (djvu)
- Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 (djvu)
- Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
- Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978 (djvu)
- Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа (5-е изд.). М.-Л.: Физматлит, 1962 (djvu)
- Князева А.Г. Различные варианты метода прогонки. Методические указания к выполнению лабораторных работ. Томск: ТПУ, 2006 (pdf)
- Князева А.Г. Элементарные понятия о разностных схемах. Методические указания к выполнению лабораторных работ. Томск: ТПУ, 2006 (pdf)
- Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (djvu)
- Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969 (djvu)
- Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике. М.: Мир, 1978 (djvu)
- Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979 (djvu)
- Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976 (djvu)
- Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов (2-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu)
- Крылов В.И., Бобков В.В., Mонастырный П.И. Вычислительные методы. Том II. М.: Наука, 1977 (djvu)
- Кукуджанов В.Н. Численные методы в механике сплошных сред. Курс лекций. М.: МАТИ, 2006 (djvu)
- Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупргугих материалов и конструкций. М.: МФТИ, 2008 (djvu)
- Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001 (djvu)
- Кунцман Ж. Численные методы. М.: Наука, 1979 (djvu)
- Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. М.: ГИФМЛ, 1961 (djvu)
- Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970 (djvu)
- Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус, 1995 (djvu)
- Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975 (djvu)
- Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: Мир, 1969 (djvu)
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977 (djvu)
- Медведев Н.В. Применение сплайнов в теории приближений. Чебоксары: ЧГУ, 1977 (djvu)
- Михлин С.Г., Смолицкий X.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965 (djvu)
- Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976 (djvu)
- Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975 (djvu)
- Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
- Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье — Стокса. М.: Наука, 1987 (djvu)
- Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975 (djvu)
- Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972 (djvu)
- Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
- Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971 (djvu)
- Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978 (djvu)
- Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979 (djvu)
- Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973 (djvu)
- Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977 (djvu)
- Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969 (djvu)
- Хемминг Р.В. Численные методы (2-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
- Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы). М.: Наука, 1973 (djvu)
- Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978 (djvu)
- Algazin S.D. Numerical algorithms of classical mathematical physics. М.: Институт проблем механики РАН (препринт N 1034), 2013 (djvu)
Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.
Численные методы для чайников
В данном разделе мы предлагаем вам ссылки на материалы по численным методам (вычислительной математике): учебники с теорией, практикумы с множеством разобранных примеров, видеоуроки.
Основные учебники
- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и упражнениях», 2000. Размер 4.5 Мб, формат Djvu.
- Вержбицкий В.М. «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения», 2001. Размер 3.9 Мб, формат Djvu.
- Калиткин Н.Н. «Численные методы», 1978. Размер 5 Мб, формат Djvu.
- Самарский А.А. «Введение в численные методы». Размер 5.7 Мб, формат Djvu.
Практикумы, сборники решений
- Иванов А.П. «Практикум по численным методам». 8 заданий по разным темам ЧМ с теорией и примером решения. Ссылки внизу страницы.
- Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. «Практикум по вычислительной математике», 1990. Размер 4 Мб, формат Djvu.
- Киреев В.И., Пантелеев А.В. «Численные методы в примерах и задачах», 2008. Размер 4,6 Мб, формат Djvu.
- Кувайскова Ю.Е. «Численные методы. Лабораторный практикум». Размер 3.6 Мб, 114 с., формат pdf. В каждом разделе разобран теоретический материал и полностью и подробно пример выполнения типового задания.
Решенные задания
Что еще поможет чайнику в численных методах (или вычислительной математике)? Конечно, примеры решенных задач
Видеолекции по численным методам
Численные методы, полный курс
Лектор Бояршинов Борис Сергеевич. Курс в 30 лекций, каждая на пару (1 час 20 минут).
Основные темы: погрешности, решение уравнений, интерполяция, многочлен Лагранжа, численное интегрирование, ЧМ в линейной алгебре, нахождение корней многочленов, одномерная и многомерная оптимизация, ЧМ поиска эстремума и решения краевых задач, сплайны и т.д.
Численные методы решения уравнений
Пять лекций с разбором примеров нахождения корней уравнения. Локализация корня, метод деления отрезка пополам, метод хорд, комбинированный метод хорд и касательных, метод касательных.
Справочник по численным методам решения уравнений
Литература по численным методам
Если смогу, то сделаю и раздел Численные методы
Учебники и пособия
Старые издания, рассчитанные, в основном, на безмашинные вычисления.
Более новые издания
- Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) — М.: «Наука», 1975. – 632 с.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Бином. Лаборатория знаний. 2003. – 640 с.
- Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с
- Калиткин Н.Н. Численные методы — Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978, 512 с.
- Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 456 с.
- Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.
- Крылов В.И., Бобков В.В., Mонастырный П.И. Вычислительные методы, том II. — Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977
- Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высш. шк. , 2008, 480 с.
- Поттер Д. Вычислительные методы в физике — М.: Мир, 1975. -392 с.
- Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров — Изд.: Наука, 1972, 399 c.
- Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика — Пер. с нем. — М.: Мир, 1969. — 448 с.
- Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике: Пер. с нем. — М:Мир,1978. 168 с.
- Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. — М:Мир, 1988, 352 с.
- Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. — М:Мир, 1987, 360 с.
- Буслов В.А., Яковлев С.Л. Введение в численный анализ — СПб: 1999. 99 с.
- Буслов, Яковлев, Численные методы, в 2 -х ч. — СПб, 2001
- George W. Collins, II. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis — 2003
- Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
- Амосов АЛ, Дубинекнй ЮЛ., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с: ил.
- Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие — М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, 523 с: ил.
- Пирумов У. Г. Численные методы. МАИ, 1998. 188 стр.
- Данилина Н. И., Дубровская Н. С. Численные методы для техникумов — Высшая школа, 1976. 368 стр.
Линейные системы алгебраических уравнений
Методы конечных и граничных элементов
Численные методы оптимизации
 |
В первом томе книги рассмотрены действия с приближенными числами, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, равномерные и среднеквадратичные приближения функций.
Содержание
Содержание
Предисловие 7
Введение 9
§ 1. Предмет вычислительной математики
§ 2. Метод вычислительной математики
§ 3. Средства вычислений 16
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики.
Глава 1. Действия с приближенными величинами 38
§ 1. Классификация погрешностей 38
§ 2. Неустранимая погрешность 42
§ 3. Погрешности округления 53
§ 4. Полная погрешность 57
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей . 59
§ 6. Среднеквадратичные погрешности 64
Глава 2. Теория интерполирования и некоторые ее приложения 77
§ 1. Постановка задачи 77
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 34
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 90
§ 4. Остаточный член общей, интерполяционной формулы 98
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков 102
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 112
§ 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные разности 125
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирования для равных промежутков 142
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса 149
§ 10. Интерполирование периодических функций 152
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами
§ 12. Интерполирование функций многих независимых переменных 181
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного . 195
§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц . 196
§ 15. Обратное интерполирование 202
Глава 3. Численное дифференцирование и интегрирование . . . 217
§ 1. Задача численного дифференцирования 217
§ 2. Формулы численного дифференцирования 220
§ 3. Задача численного интегрирования 237
§ 4. Формулы Ньютона — Котеса 240
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса 254-
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева 269
§ 7. Сходимость квадратурных процессов 279
§ 8. Формула Эйлера 284
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности подынтегральной функции 297
§ 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегрирования 305
§ 11. Вычисление несобственных интегралов 308
§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов 315
Глава 4. Равномерные приближения 331
§ 1. Наддучшее приближение в линейных нормированных пространствах 333
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций обобщенными многочленами • 337
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения 347
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения . . 355
§ 5, Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения непрерывных функций 358
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов наилучшего приближения 364
Глава 5. Среднеквадратичные приближения 386
§ 1. Гильбертовы пространства 387
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве. Ряды Фурье 390
§ 3, Приближения в гильбертовом пространстве 395
§ 4, Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами 398
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 406
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов . 423
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометрическими многочленами 433
§ 8, Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов 434
§ 9, Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами 436
§ 10, Применение метода наименьших квадратов для сглаживания результатов наблюдения 444
§ 11. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических
уравнений по методу наименьших квадратов 446
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов . 451
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов а_0, а_k, b_k в случае N = 4p 455
Во втором томе книги рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений, численные методы отыскания собственных значений, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.
Содержание
Содержание
Предисловие
Глава 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Классификация методов 9
§ 2. Метод исключения 10
§ 3. Метод квадратного корня 23
§ 4. Метод ортогонализации 25
§ 5. Метод сопряженных градиентов 30
§ 6. Метод разбиения на клетки 41
§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов 44
§ 8. Разновидности методов последовательных приближений . 54
§ 9. Линейные полношаговые методы первого порядка 56
§ 10. Линейные одношаговые методы первого порядка 61
§ 11. Метод скорейшего, спуска , . . «. 67
Глава 7. Численные методы решения алгебраических уравнений
высших степеней и трансцендентных уравнений . 76
§ 1. Введение 76
§ 2. Отделение корней 76
§ 3. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений . . . 103
§ 4. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 128
§ 5. Решение систем уравнений 150
§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей 162
Глава 8. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц 177
§ 1. Введение 177
§ 2. Метод А. Н. Крылова 178
§ 3. Метод Ланцоша 188
§ 4. Метод Данилевского 198
§ 5. Обзор других способов получения характеристического многочлена 208
§ 6. Определение границ собственных значений 214
§ 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц 228
§ 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении задач линейной алгебры 244
§ 9. Неустранимая погрешность при численном решении систем линейных алгебраических уравнений 251
Глава 9. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 259
§ 1. Введение 259
§ 2. Метод С. А. Чаплыгина 260
§ 3. Метод малого параметра 277
§ 4 Метод Рунге — Кутта 286
§ 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 327
§ 6. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков 345
§ 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . 354
§ 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей 372
§ 9. Метод прогонки 387
§ 10. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами 391
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений 410
§ 1. Введение 410
§ 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа 412
§ 3. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа 443
§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных
производных 161
§ 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа 490
§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных произзодных 506
§ 7. Сходимость и устойчивость разностных схем 516
§ 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных 537
§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики 561
§ 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений . . . 590
 |
Содержание, Главы I-XI
Содержание
В ведение. Общие правила вычислительной работы
Глава I. Приближенные числа
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности
§ 2. Основные источники погрешностей
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков
§ 4. Округление чисел
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот
§ 7. Погрешность суммы
§ 8. Погрешность разности
§ 9. Погрешность произведения
§ 10. Число верных знаков произведения
§ 11. Погрешность частного
§ 12. Число верных знаков частного
§ 13. Относительная погрешность степени 39
§ 14. Относительная погрешность корня 39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей 40
§ 16. Общая формула для погрешности 41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей 43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей 46
§ 19. Способ границ 48
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности 51
Литература к первой главе 52
Глава П. Некоторые сведения из теории цепных дробей 53
§ 1. Определение цепной дроби 53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно 54
§ 3. Подходящие дроби 56
§ 4. Бесконечные цепные дроби 64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби 70
Литература ко второй главе 73
Глава 111. Вычисление значений функций 74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера 74
§ 2. Обобщенная схема Горнера 77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей 79
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов 80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции 86
§ 6. Вычисление значений показательной функции 88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции 92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций 95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций 98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления
значений функции • . . . 100
§11. Вычисление обратной величины 101
§ 12. Вычисление квадратного корня 104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корня 108
§ 14. Вычисление кубического корня 108
Литература к третьей главе 111
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и
трансцендентных уравнений 112
§ 1. Отделение корней 112
§ 2. Графическое решение уравнений 116
§ 3. Метод половинного деления 118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) 119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных) 123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона 131
§ 7. Комбинированный метод 132
§ 8. Метод итерации 135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений 148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений 152
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней 153
Литература к четвертой главе 157
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения
алгебраических уравнений 158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений 158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм 165
§ 4. Метод Ньютона 167
§ 5. Число действительных корней полинома 169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье 171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе 176
§ 8. Процесс квадрирования корней 178
§ 9. Метод Лобачевского — Греффе для случая действительных
различных корней 180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней 186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней 190
§ 13. Метод Бернулли 195
Литература к пятой главе 198
Глава VI. Улучшение сходимости рядов 199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов 199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера —
Абеля .. 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье 210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье
методом А. Н. Крылова 213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов . . . 222
Литература к шестой главе 224
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава VII. Алгебра матриц * . . 225
§ 1. Основные определения 225
§ 2. Действия с матрицами 226
§ 3. Транспонированная матрица 230
§ 4. Обратная матрица 231
§ 5. Степени матрицы „ 236
§ 6. Рациональные функции матрицы 237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы 238
§ 8. Ранг матрицы 244
§ 9. Предел матрицы 245
§ 10. Матричные ряды ¦ 247
§11. Клеточные матрицы 252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки . . . . 255
§ 13. Треугольные матрицы 260
§ 14. Элементарные преобразования матриц 263
§ 15. Вычисление определителей 264
Литература к седьмой главе 267
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений 268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных
уравнений 268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы
Крамера . . . . 268
§ 3. Метод Гаусса 272
§ 4. Уточнение корней 279
§ 5. Метод главных элементов 281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 285
§ 8. Метод квадратных корней 287
§ 9. Схема Халецкого 290
§ 10. Метод итерации 294
§11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя 303
§ 13. Случай нормальной системы 305
§ 14. Метод релаксации 307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы . 310
Литература к восьмой главе 314
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем
линейных уравнений 315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации 315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации . 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
m-норме 322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323
§ 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
/-норме 325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326
Литература к девятой главе 328
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств 329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства 329
§ 2. Линейная зависимость векторов 330
§ 3. Скалярное произведение векторов 335
§ 4. Ортогональные системы векторов 338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340
§ 6. Ортогональные матрицы 342
§ 7. Ортогонализация матриц 343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем
линейных уравнений 351
§ 9. Пространство решений однородной системы 356
§ 10. Линейные преобразования переменных 359
§ 11. Обратное преобразование 365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы . 367
§ 13. Подобные матрицы 372
§ 14. Билинейная форма матрицы 375
§ 15. Свойства симметрических матриц 376
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами 381
Литература к десятой главе 385
Глава XI*. Дополнительные сведения о сходимости итерационных
процессов для систем линейных уравнений 386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов 386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели 389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса
итерации для системы линейных уравнений 390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зей-
деля для системы линейных уравнений 392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы . . , 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости . 397
Литература к одиннадцатой главе 401
 |
Содержание
Содержание
Из предисловия к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к третьему изданию
Введение
Литература к введению
Глава I. Приближение функций
1. Постановка задачи о приближении функций
2. Интерполирование функций
3. Интерполирование периодических функций с помощью тригонометрических полиномов
4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
5. Функции, ортогональные на точечном множестве
6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек
7. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке
8. Ортогональные на промежутке системы функций
9. Понятие о гармоническом анализе
10. Полиномы Лсжандра
11. Ортогональность с весом
12. Полиномы Чебышева
13. Понятие о равномерном приближении функций
Литература к главе I
Глава II. Эмпирические формулы
1. Вводные замечания
2. Линейная зависимость
3. Метод выравнивания
4. Квадратичная (параболическая) зависимость
5. Определение параметров эмпирическом формулы
6. Метод выбранных точек
7. Метод средних
8. Метод наименьших квадратов
9. Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы с двумя параметрами
10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра
11. Уточнение полученной эмпирической формулы
12. Общий метод определения параметров эмпирической формулы
Литература к главе II
Глава III. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Общие замечания
2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
3. Метод последовательных приближении
4. Метод численного интегрирования
5. Метод Эйлера
6. Модификации метода Эйлера
7. Метод Рунге—Кутта
8. 8. Метод Адамса
9. Метод А.Н. Крылова последовательных сближений
10. Метод Милна
11. Методы, основанные на применении производных высших порядков
12. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка
13. Метод Чаплыгина
14. Метод Ньютона—Канторовича
15. Некоторые замечания об оценке погрешносгей решений дифференциальных уравнений
Литература к главе III
Глава IV. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Общая постановка краевой задачи
2. Линейная краевая задача
3. Редукция к задаче Кошн двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка
4. Метод конечных разностей
5. Метод прогонки
6. Метод коллокации
7. Метод наименьших квадратов
8. Метод Галеркина
9. Понятие о приближенных методах решения общей краевой задачи
Литература к главе IV
Глава V. Приближенные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными
1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача. Корректность постановки смешанной задачи
3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
4. Некоторые сведения о гармонических функциях. Единственность решения задачи Дирихле
5. Уравнение Лапласа в конечных разностях
6. Решение задачи Дирихле методом сеток
7. Процесс Либмама
8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования
9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло
10. Метод сеток для уравнения параболического типа
11. Устойчивость конечно-разностной схемы для решения уравнения теплопроводности
12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности.
13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа
14. Понятие о методе прямых
15. Метод прямых для уравнения Пуассона
Литература к главе V
Глава VI. Вариационные методы решения краевых задач
1. Понятие о функционале и операторе
2. Вариационная задача
3. Основные теоремы вариационного метода решения краевых задач
4. Сведение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к вариационной задаче
5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа
6. Идея метода Рнтца
7. Метод Рнтца для простейшей краевой задачи
8. Приложение метода Ритца к решению краевой задачи Штурма—Лиувилля
9. Метод Ритца для задачи Дирихле
Литература к главе VI
Глава VII. Интегральные уравнения
1. Основные виды линейных интегральных уравнений
2. Связь между дифференциальными уравнениями и уравнениями Вольтерра
3. Связь линейной краевой задачи с интегральным уравнением Фредгольма
4. Метод последовательных приближений
5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм
6. Метод вырожденных ядер
7. Метод коллокации
8. Метод наименьших квадратов
9. Метод моментов
Литература к главе VII
Приложение I. Ортогональные полиномы Чебышева для n+1 равноотстоящих точек
Приложение II. Первые 10 полиномов Лежандра
Приложение III. Первые 12 полиномов Чебышева
Предметный указатель
 |
 |
 |
Содержание
Содержание
Предисловие 7
Введение 9
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи . 15
§ 1. Источники и классификация погрешности . . 15
§ 2. Запись чисел в ЭВМ 18
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 19
§ 4. О вычислительной погрешности 21
§ 5. Погрешность функции . . ■ 23
Глава II. Интерполяция и смежные вопросы 30
§ 1. Постановка задачи приближения функций 31
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 35
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена
Лагранжа 37
§ 4. Разделенные разности и их свойства . 37
§ 5. Интерполяциониая формула Ньютона с разделенными разностями 39
§ 6. Разделенные разности н интерполирование с кратными узлами 42
§ 7. Уравнения в конечных разностях 47
§ 8. Многочлены Чебышева 56
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной
формулы 59
§ 10. Конечные разности 62
§ 11. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 65
§ 12. Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта. Составление
таблиц -67
§ 13. О погрешности округления при интерполировании 75
§ 14. Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция 77
§ 15. Ортогональные системы и их свойства 78
§ 16. Ортогональные многочлены 85
§ 17. Численное дифференцирование 88
§ 18. О вычислительной погрешности формул численного
дифференцирования 92
Глава III. Численное интегрирование 95
§ 1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса 95
§ 2. Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций 103
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса — 107
§ 4. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных
формул 119
§ 5. Интегрирование сильно осциллирующих функций 125
§ 6 Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка
на равные части . 128
§ 7 О постановках задач оптимизации 134
§ 8 Оптимальные квадратуры на классах функций с одной
производной . 139
§ 9 Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы . .147
§ 10 Примеры оптимизации распределения узлов . 153
§ 11 Главный член погрешности 159
§ 12 Формулы Эйлера и Грегори . 163
§ 13 Правило Рунге практической оценки погрешности 167
§ 14 Формулы Ромберга . . . 174
§ 15 Эксперименты и их обсуждение . 178
§ 16 Вычисление интегралов в нерегулярном случае • 185
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага . .193
§ 18 Стандартные программы численного интегрирования 201
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы 210
§ 1 Наилучшие приближения в линейном нормированном
пространстве . 210
§ 2 Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и
вопросы, возникающие при его практическом построении . . 212
§ 3 Дискретное преобразование Фурье . . 218
§ 4 Быстрое преобразование Фурье . . 222
§ 5 Наилучшее равномерное приближение 225
§ 6 Примеры наилучшего равномерного приближения . • 228
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего
равномерного приближения . . 235
§ 8 О форме записи многочлена . 242
§ 9 О способах вычисления элементарных функций 249
§ 10 О скорости приближения функций различных классов . 253
§ 11 Интерполяция и приближение сплайнами . . 256
§ 12 Энтропия и е-энтропия . . 262
Глава V Многомерные задачи . . 270
§ 1 Метод неопределенных коэффициентов . . . 271
§ 2 Метод наименьших квадратов . . . 272
§ 3 Метод регуляризации . . . . . 274
§ 4 Пример регуляризации . . . 275
§ 5 Сведе71ие многомерных задач к одномерным . . 281
§ 6 Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной
сетке . . 289
§ 7 Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . • 292
§ 8 Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах
способов интегрирования . . • . . 295
§ 9 Метод Монте-Карло . . . . . 300
§ 10 Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач • • 305
§ 11 Ускорение сходимости метода Монте-Карло . . 307
§ 12 Квадратурные формулы повышенной точности со случайными
узлами . 311
§ 13 О выборе метода решения задачи . . . . 316
ЧАСТЬ II ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI Численные методы алгебры 323
§ 1 Методы последовательного исключения неизвестных . 324
§ 2. Метод ортогонализации . . 333
§ 3 Метод простой итерации 335
§ 4 Исследование реального итерационного процесса . . . 340
§ 5 Спектр семейства матриц . 343
§ 6 б2-процесс практической оценки погрешности и ускорения
сходимости . • 349
§ 7 Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов . 352
§ 8 Метод Зейделя . . . . 363
§ 9 Метод наискорейшего градиентного спуска . • 369
§ 10 Метод сопряженных градиентов . . • 372
§ П. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений 378
§ 12. Итерационные методы с использованием спектрально
эквивалентных операторов 385
§ 13 Погрешность приближенного решения системы уравнений и
обусловленность матриц Регуляризация 388
§ 14 Проблема собственных значений 394
§ 15 Решение полной проблемы собственных значений для
симметричной матрицы методом вращений 400
лава VII Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы . 4Э7
§ 2 Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 411
§ 3 Другие методы решения одного уравнения . . . 416
§ 4 Методы спуска . . 420
§ 5 Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей
размерности . . 425
§ 6 Решение стационарных задач путем установления 429
§ 7 Что оптимизировать’ . 436
§ 8 Как оптимизировать’ 440
•ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
лава VIII. Численные методы решения задачи Коши 447
§ 1 Разложение решения в ряд Тейлора . . 448
§ 2. Методы Рунге — Кутта . . 450
§ 3 Методы с контролем погрешности на шаге . . . 459
§ 4 Оценка погрешности одношаговых методов . . 461
§ 5 Конечно-разностные методы . . 466
§ 6 Метод неопределенных коэффициентов . ■ . 471
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на
модельных задачах . . 476
§ 8 Оценка погрешности конечно-разностных методов . . • 483
§ 9. Главный член погрешности 488
§ 10. Изучение свойств конечно-разностных методов па более точных
моделях . . . 493
§ 11 Интегрирование систем уравнений . . 502
§ 12 Ряд общих вопросов 512
§ 13. Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519
§ 14 Оценка погрешности численного решения задачи Коши для
уравнения второго порядка . . . • . 523
§ 15. Двусторонние методы . . . . . • 528
лава IX Численные методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений . 535
§ 1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения
второго порядка . . . . 535
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи . . 542
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи 548
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов 557
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем ‘
первого порядка . . 565
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений
первого порядка 571
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки . 577
§ 8. Нелинейные краевые задачи . 58
§ 9. Аппроксимации специального типа 59&
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений . 601
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования 606
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения . . 612
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой
задачи методом прогонки 618
Список литературы 622
Предметный указатель 628
 |
Содержание
Содержание
Предисловие
Введение
Глава I. Разностные уравнения
§ 1. Сеточные функции
§ 2. Разностные уравнения
§ 3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка
§ 4. Разностные уравнения как операторные уравнения
§ 5. Принцип максимума для разностных уравнений
Глава II. Интерполяция и численное интегрирование
§ 1. Интерполяция и приближение функций
§ 2. Численное интегрирование
Глава III. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 2. Прямые методы
§ 3. Итерационные методы
§ 4. Двухслойная итерационная схема с чебышевскими параметрами
§ 5. Попеременно-треугольный метод
§ 6. Вариационно-итерационные методы
§ 7. Решение нелинейных уравнений
Глава IV. Разностные методы решения краевых задач для обыкновенных диф ференциальных уравнений
§ 1. Основные понятия теории разностных схем
§ 2. Однородные трехточечные разностные схемы
§ 3. Консервативные разностные схемы
§ 4. Однородные схемы на неравномерных сетках
§ 5. Методы построения разностных схем
Глава V. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Методы Рунге — Кутта
§ 2. Многошаговые схемы. Методы Адамса
§ 3. Аппроксимация задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
§ 4. Устойчивость двухслойной схемы
Глава VI. Разностные методы для эллиптических уравнений
§ 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона
§ 2. Решение разностных уравнений
Глава VII. Разностные методы решения уравнения теплопроводности,
§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами
§ 2. Многомерные задачи теплопроводности
§ 3. Экономичные схемы
Дополнение
Список литературы
Список обозначений
Предметный указатель
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора 8
Предисловие 10
Глава I Что такое численные методы?
§ 1. Математические модели и численные методы 13
1. Решение задачи A3). 2. Численные методы A5). 3. История
прикладной математики A6).
§ 2. Приближенный анализ 17
1. Понятие близости A7). 2. Структура погрешности B2). 3. Кор-
ректность B4).
Задачи 26
Глава II Аппроксимация функций
§ 1. Интерполирование 27
1. Приближенные формулы B7). 2. Линейная интерполяция B7).
3. Интерполяционный многочлен Ньютона B9). 4. Погрешность
многочлена Ньютона C1). 5. Применения интерполяции C4).
6. Интерполяционный многочлен Эрмита C6). 7. Сходимость интер-
поляции C9). 8. Нелинейная интерполяция D1). 9. Интерполя-
ция сплайнами D4). 10. Монотонная интерполяция D6). 11. Мно-
гомерная интерполяция D7).
§ 2. Среднеквадратичное приближение 51
1. Наилучшее приближение E1). 2. Линейная аппроксимация E3).
3. Суммирование рядов Фурье E6). 4. Метод наименьших квадра-
тов E9). 5. Нелинейная аппроксимация F2).
§ 3. Равномерное приближение 66
1. Наилучшие приближения F6). 2. Нахождение равномерного
приближения F8).
Задачи 69
Глава III Численное дифференцирование
1. Полиномиальные формулы G0). 2. Простейшие формулы G2).
3. Метод Рунге —Ромберга G4). 4. Квазиравномерные сетки G8).
5. Быстропеременные функции (80). 6. Регуляризация дифференци-
рования (81).
Задачи 84
Глава IV Численное интегрирование
§ 1. Полиномиальная аппроксимация 85
1. Постановка задачи (85). 2. Формула трапеций (86). 3. Формула
Симпсона (88). 4. Формула средних (89). 5. Формула Эйлера (91).
6. Процесс. Эйткена (92). 7. Формулы Гаусса —Кристоффеля (94).
8. Формулы Маркова (97). 9. Сходимость квадратурных формул (98).
§ 2. Нестандартные формулы 100
1. Разрывные функции A00). 2. Нелинейные формулы A00). 3. Ме-
тод Филона A03). 4. Переменный предел интегрирования A05).
5. Несобственные интегралы A05).
§ 3. Кратные; интегралы 108
1. Метод ячеек A08). 2. Последовательное интегрирование A11).
§ 4. Метод статистических испытаний 113
1. Случайные величины (ИЗ). 2. Разыгрывание случайной величи-
ны A14). 3. Вычисление интеграла A17). 4. Уменьшение дисперсии
A19). 5. Кратные интегралы A21). 6. Другие задачи A23).
Задачи «.’ 124
Глава V Системы уравнений
§ 1. Линейные системы 126
1. Задачи линейной алгебры A26). 2. Метод исключения Гаусса
A28). 3. Определитель и обратная матрица A30). 4. О других пря-
мых методах A32). 5. Прогонка A32). 6. Метод квадратного корня
A35). 7. Плохо обусловленные системы A37).
§ 2. Уравнение с одним неизвестным 138
1. Исследование уравнения A38). 2. Дихотомия A39). 3. Удаление
корней A40). 4. Метод простых итераций A41). 5. Метод Ньютона
A43). 6. Процессы высоких порядков A45). 7. Метод секущих A45).
8. Метод парабол A46). 9. Метод квадрирования A48).
§ 3. Системы нелинейных уравнений 150
1. Метод простых итераций A50). 2. Метод Ньютона A52). 3. Ме-
тод спуска A53). 4. Итерационные методы решения линейных систем
A53).
Задачи 155
Глава VI Алгебраическая проблема собственных значений
§ 1. Проблема и простейшие методы 156
1. Элементы теории A56). 2. Устойчивость A59). 3. Метод интер-
поляции A62). 4. Трехдиагональные матрицы A64). 5. Почти тре-
угольные матрицы A65). 6. Обратные итерации A66).
§ 2. Эрмитовы матрицы 170
1. Метод отражения A70). 2. Прямой метод вращений A75). 3. Ите-
рационный метод вращений A77).
§ 3. Неэрмитовы матрицы 181
1. Метод элементарных преобразований A81). 2. Итерационные ме-
тоды A86). 3. Некоторые частные случаи A87).
§ 4. Частичная проблема собственных значений 189
1. Особенности проблемы A89). 2. Метод линеаризации A89). 3. Сте-
пенной метод A90). 4. Обратные итерации со сдвигом A91).
Задачи 193
Глава VII Поиск минимума
§ 1. Минимум функции одного переменного 194
1. Постановка задачи A94). 2. Золотое сечение A96). 3. Метод па-
рабол A98). 4. Стохастические задачи B00).
§ 2. Минимум функции многих переменных 201
1. Рельеф функции B01). 2. Спуск по координатам- B03). 3. Наиско-
рейший спуск B07). 4. Метод оврагов B09). 5. Сопряженные нап-
равления B10). 6. Случайный поиск B14).
§ 3. Минимум в ограниченной области 215
1. Формулировка задачи B15). 2. Метод штрафных функций B16).
3. Линейное программирование B17). 4. Симплекс-метод B20). 5. Ре-
гуляризация линейного программирования B21).
§ 4. Минимизация функционала 223
1. Задачи на минимум функционала B23). 2. Метод пробных фун-
кций B26). 3. Метод Ритца B30). 4. Сеточный метод B40).
Задачи 236
Глава VIII Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Задача Коши 237
1. Постановка задачи B37). 2. Методы решения B38). 3. Метод
Пикара B40). 4. Метод малого параметра B42). 5. Метод ломаных
B43). 6. Метод Рунге —Кутта B46). 7. Метод Адамса B50). 8. Неяв-
ные схемы B52). 9. Специальные методы B53). 10. Особые точки
B57). 11. Сгущение сетки B58).
§ 2. Краевые задачи 261
1. Постановки задач B61). 2. Метод стрельбы B62). 3. Уравнения
высокого порядка B66). 4. Разностный метод; линейные задачи B68).
5. Разностный метод; нелинейные задачи B71). 6. Метод Галеркина
B76). 7. Разрывные коэффициенты B79).
§ 3. Задачи на собственные значения 280
1. Постановка задач B80). 2. Метод стрельбы B81). 3. Фазовый
метод B82). 4. Разностный метод B84). 5. Метод дополненного
вектора B86). 6. Метод Галеркина B88).
Задачи 289
Глава IX Уравнения в частных производных
§ 1. Введение 290
1. О постановках задач B90). 2. Точные методы решения B92).
3. Автомодельность и подобие B94). 4. Численные методы B96).
§ 2. Аппроксимация 299
1. Сетка и шаблон B99). 2. Явные и неявные схемы C01). 3. Не-
вязка C02). 4. Методы составления схем C03). 5. Аппроксимация
н ее порядок C07).
§ 3. Устойчивость 311
1. Неустойчивость C11). 2. Основные понятия C12). 3. Принцип
максимума C15). 4. Метод разделения переменных C18).5. Метод
энергетических неравенств C22). 6. Операторные неравенства C23).
§ 4. Сходимость 324
1. Основная теорема C24). 2. Оценки точности C27). 3. Сравнение
схем на тестах C31).
Задачи 333
Глава X Уравнение переноса
§ 1. Линейное уравнение 334
1. Задачи и решения C34). 2. Схемы бегущего счета C36). 3. Гео-
метрическая интерпретация устойчивости C41). 4. Многомерное
уравнение C44). 5. Перенос с поглощением C46). 6. Монотонность
схем C48). 7. Диссипативные схемы C51).
§ 2. Квазилинейное уравнение 354
1. Сильные и слабые разрывы C54). 2. Однородные схемы C57).
3. Псевдовязкость C59). 4. Ложная сходимость C62). 5. Консер-
вативные схемы C63).
Задачи 366
Глава XI Параболические уравнения
§ 1. Одномерные уравнения 36S
1. Постановки задач C68). 2. Семейство неявных схем C69). 3. Асимп-
тотическая устойчивость неявной схемы C74). 4. Монотонность C76).
5. Явные схемы C78). 6. Наилучшая схема C80)’. 7. Криволинейные
координаты C84). 8. Квазилинейное уравнение C86).
§ 2. Многомерное уравнение 389
1. Экономичные схемы C89). 2. Продольно-поперечная схема C91).
3. Локально-одномерный метод C94). 4. Метод Монте-Карло C99).
Задачи 399
Глава XII Эллиптические уравнения
§ 1. Счет на установление 401
1. Стационарные решения эволюционных задач D01). 2. Оптимальный
шаг D04). 3. Чебышевский набор шагов D09).
§ 2. Вариационные и вариационно-разностные методы 413
1. Метод Ритца D13). 2. Стационарные разностные схемы D14).
3. Прямые методы решения D15). 4. Итерационные методы D20).
Задачи 423
Глава XIII Гиперболические уравнения
§ 1. Волновое уравнение 424
1. Схема «крест» D24). 2. Неявная схема D27). 3. Двуслойная
акустическая схема. D29). 4. Инварианты D34). 5. Явная многомер-
ная схема D35). 6. Факторизованные схемы D36).
§ 2. Одномерные уравнения газодинамики 439
1. Лагранжева форма записи D39). 2. Псевдовязкость D42). 3. Схе-
ма «крест» D44). 4. Неявная консервативная схема D47). 5. О дру-
гих схемах D50).
Задачи 451
Глава XIV Интегральные уравнения
§ 1. Корректно поставленные задачи 452
1. Постановки задач D52). 2. Разностный метод D55). 3. Метод
последовательных приближений D58). 4. Замена ядра вырожденным
D60). 5. Метод Галеркина D61).
§ 2. Некорректные задачи 462
1. Регуляризация D62). 2. Вариационный метод регуляризации D65).
3. Уравнение Эйлера D69). 4. Некоторые приложения D73). 5. Раз-
ностные схемы D76).
Задачи 478
Глава XV Статистическая обработка эксперимента
1. Ошибки эксперимента D80). 2. Величина и доверительный интер-
вал D82). 3. Сравнение величин D90). 4. Нахождение стохастиче-
ской зависимости D94).
Задачи 500
Приложение. Ортогональные многочлены 501
Литература 505
Предметный указатель 509
 |
Содержание
Содержание
Предисловие 7
Введение 9
Г Л А В А I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1.1. Основные и сопряженные операторы 17
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (21). 1.1 2. Вычисление границ
спектра положительной матрицы (22). 1.1.3. Собственные числа и
функции оператора Лапласа (31). 1.1.4. Собственные числа и векторы
конечно-разностного аналога оператора Лапласа (33).
1.2- Аппроксимация 36
1.3. Счетная устойчивость 44
1.4. Теорема сходимости 52
ГЛАВА 2
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ДЛЯ ДИФФЕ!-ЕНЦ11ЛЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Метод построения разностных уравнепнн для задач с разрывными
коэффициентами иа основе интегрального тождества 56
2.2. Вариационные методы в математической физике 63
2.2.1. Метод Ритца (69). 2.2.2- Метод Галеркина (72). 2.2.3. Метод
наименьших квадратов (75).
2.3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,
основанные на вариационных принципах 77
2.3.1. Построение простейших разностных уравнений диффузии с
помощью метода Ритца (77). 2.3.2. Построение простейших
разностных схем на основе метода Галеркина (конечных элементов) (81).
2.4. Некоторые принципы конструирования подпространств для решения
одномерных задач вариационными методами 83
2.4.1. Общий подход к построению вариационно-разностных схем
высокого порядка точности (84). 2.4-2 Построение базиса на
основе тригонометрических функций и его использование в
вариационных методах (88). 2.4.3. Вариационная форма интегрального
тождества (92).
2.5. Вариационно-разностные схемы для двумерного уравнения
эллиптического типа 9S
2.5.1. Метод Ритца (98). 2.5.2. Метод Галеркина (104). 2.5.3.
Способы построения подпространств (108).
2.6. Вариационные методы для многомерных задач Ill
2.6.1. Способы построения подпространств (III). 2.6.2.
Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем (113).
2.7. Метод фиктивных областей 115
2.8. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные
неравенства 121
2.8.1. Элементы общей теории (122). 2.8.2. Примеры экстремальных задач
(124). 2.8.3. Численные методы для экстремальных задач (131).
ГЛАВА 3
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Интерполяция функций одного переменного 138
3.1.1. Интерполяция функций одного* переменного с помощью
кубических сплайнов (138). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со
сглаживанием (142). 3.1.3. Гладкие восполнения (144).
3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных 146
3.3. /—гладкое приближение функций многих переменных 148
3.4. Элементы общей теории сплайнов 155
ГЛАВА 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.1. Общие понятия теории итерационных методов 162
4.2. Некоторые итерационные методы н их оптимизация 165
4.2.1. Простейший итерационный метод (165). 1.2.2. Сходимость и
оптимизация стационарных итерационных методов (167). 4.2-3.
Метод последовательной верхней релаксации (171). 4.2.4. Чебышевский
итерационный метод (176). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости
итерационных методов для систем разностных уравнений (185).
4.3. Нестационарные итерационные методы 188
4.3.1. Теоремы сходимости (188). 4.3.2. Метод минимальных
невязок (191). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (192).
4.4. Метод расщепления 198
4.4 1. Коммутативный случай (201). 4.4-2. Некоммутативный
случай (206). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация
методов расщепления (210).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами . . . 212
4.5.1. Случай совместной системы (213). 4.5.2. Случай несовместной
системы (215). 4.5.3. Матричный аналог метода фиктивных областей
(217).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных 221
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений 223
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (223). 4 7.2. Метод
циклической редукции (228). 4.7.3. Факторизация разностных
уравнений (231).
Г Л А В А 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами,
зависящими от времени 243
5.2- Неоднородные уравнения эволюционного типа 246
5.3. Методы расщепления нестационарных задач 247
5.3.1. Метод стабилизации (248). 5.3.2. Метод
предиктор-корректор (252). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (256). 5.3.4.
Некоторые общие замечания (261).
5.4. Многокомпонентное расщепление задач 262
5.4.1. Метод стабилизации (263). 5.4.2. Метод предиктор-корректор
. (264). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе
элементарных схем (266). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (272).
5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению 273
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа 278
5.6.1. Метод стабилизации (278). 5.6.2. Сведение уравнения
колебаний к эволюционной задаче (282).
г Л а в а б
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ПО РИЧАРДСОНУ
6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . 288
6.2. Одномерное уравнение диффузии 294
6.2.1. Метод Галеркнна (294). 6.2.2. Разностный метод (200).
6.3. Метод расщеп.1ения для эволюционной задачи 307
6.4. Экстраполяция Ричардсона для многомерных чадач 311
ГЛАВА 7
ПОСТАНОВКА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
7.1. Основные определения и примеры 317
7.2. Решение обратных эволюционных задач методом рядов Фурье . . . 322
7.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от
времени 325
7.4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений 331
7.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерении (332).
7.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности (333). 7.4.3.
Теория возмущений для линейных функционалов (336). 7.4.4. Числен-
ные методы решения обратных задач и планирование эксперимента
(338).
7.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных моделей 344
7.5.1. Основные и сопряженные уравнения (345). 7.5.2. Сопряженные
уравнения и теория возмущений (347). 7.5.3. Теория возмущений для
нестационарных проблем (349). 7.5.4. Спектральный метод н теория
возмущений (350).
ГЛАВА в
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.1. Уравнение Пуассона 352
8.1.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (352).
8.1.2. Одномерная задача Неймана (354). 8.1.3. Двумерное
уравнение Пуассона (357). 8.1.4. Проблема граничных условий (365).
8.2. Уравнение теплопроводности 367
8.2.1. Одномерная задача теплопроводности (367). 8.2.2. Двумерная
задача теплопроводности (372).
8.3. Уравнение колебаний 373
8.4. Уравнение движения 377
8.4.1. Одномерное уравнение движения (377). 8.4.2. Двумерное
уравнение движения с переменными коэффициентами (384). 8.4.3.
Многомерное уравнение движения (390).
8.5. Нестационарное уравнение переноса 395
ГЛАВА 9
ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
9.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем 410
9.2. Методы численного решения задач математической физики 413
9.3. Условно корректные задачи 419
9.4. Вычислительные методы в линейной алгебре 420
9.5. Вопросы оптимизации численных методов 424
9.6. Некоторые тенденции в развитии вычислительной математики . . . 426
Литература 429
Предметный указатель 453
Указатель обозначений 455
 |
Содержание
Содержание
Предисловие
Введение
Глава I. Приближение функции многочленами
§ 1. Приближенные числа и действия с ними
§ 2. Вычисление значении многочлена. Схема Горнера
§ 3. Многочлены Тейлора
§ 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа
§ 5. Линейная интерполяция
§ 6. Минимизация оценки погрешности ннтерноляции. Многочлены Чебышева.
§ 7. Интерполяция с равноотстоящими узлами
§ 8. Конечные и разделенные разности
§ 9. Интерполяционный многочлен Ньютона
§ 10. Численное дифференцирование
II. Сплайны
§ 12. Равномерные приближения функции.
§ 13. Метод наименьших квадратов
§ 14. Исследование погрешностей среднеквадратичных приближений. Сглаживание наблюдений
Глава 2. Численное интегрирование
§ 15. Квадратурные формулы
§ 1G. Правило Рунге практической оценки погрсшности
§ 17. Метод Монте-Карло
§ 18. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Глава 3. Численные методы линейной алгебры
§ 19. Метод Гаусса
§ 20. Нормы и обусловленность матриц
§ 21. Метод простых итераций и метод Зейделя
§ 22. Метод прогонки
§ 23. Частичные проблемы собственных значений
Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем
§ 24. Метод итераций
§ 25. Метод Ньютона
§ 26. Метод деления отрезка пополам
§ 27. Метод наискорейшего (градиентного) спуска
Глава 5. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
§ 28. Методы минимизации невязки и метод Галеркина
§ 29. Разностный метод. Основные понятия теории разностных схем
Глава 6. Разностные схемы для уравнений с частными производными
§ 30. Линейное уравнение с частными производными первого порядка
§ 31. Смешанная задача для уравнения теплопроводности
§ 32. Волновое уравнение
§ 33. Уравнение теплопроводности с двумя пространственными переменными
§ 34. Згдача Дирихле для уравнения Пуассона
Список литературы
Предметный указатель
 |
Содержание
Содержание
Предисловие 7
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1, Методы решения задачи Коти. Вводные замечания
§ 2. Построение одношаговых методов способом разложения решения в ряд Тейлора
1. Пошаговый вариант метода рядов, 2. Видоизменение метода рядов, не требующее вычисления
производных правой части уравнения.
§ 3. Способ Рунге — Кутта построения одношаговых методов
§ 4. Построение вычислительных правил на основе принципа последовательного повышения порядка точности результата
1. Случай уравнений первого порядка. 2. Случай уравнений высших порядков
§ 5. Сходимость одношаговых методов
§ 6. Главный член погрешности. Правило Рунге
§ 7. Методы типа двусторонних
§ 8. Многошаговые методы
1. Экстраполяционные методы Адамса. 2. Интерполяционные методы Адамса G9). 3. Методы с забеганием вперед (85).
§ 9. Решение линейных граничных задач 93
1. Постановка задачи. Понятие о многоточечных и граничных задачах (93). 2. Метод дифференциальной прогонки (95).
§ 10. Решение нелинейных граничных задач 100
1. Метод редукции к задачам Коши A01). 2. Метод линеаризации A04).
§ 11. Метод сеток для решения линейных граничных задач . . 107
1. Постановка задачи. Идея метода сеток A07). 2. Методы замены обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий системой алгебраических уравнений A08). 3. О разрешимости систем разностных уравнений A11). 4. Метод ортогональной прогонки (ИЗ). 5. Оценка погрешности и сходимость метода сеток A17).
§ 12. Метод Галеркина и метод моментов 120
§ 13. Метод наименьших квадратов и метод Ритца 129
Литература 140
Глава 7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных
§ 1. Разностные схемы, основные понятия 141
1. Сходимость и аппроксимация разностных схем A42). 2. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью A45),
§ 2. Разностные схемы для уравнений параболического типа . . 146
1. Решение задачи Коши A46). 2. Об устойчивости двухслойных разностных схем A51). 3. О разностных схемах расщепления A55). 4. Решение смешанных граничных задач A59). 5. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана A62). 6. Экономичные разностные схемы A65).
§ 3. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа . . 175
1. Построение разностных аппроксимаций для уравнений A76). 2. Аппроксимация граничных условий A80). 3. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона A83). 4. Об устойчивости разностной схемы B0) A84). 5. Метод матричной прогонки A88). 6. Правило Рунге A91). 7. Метод итераций для разностной задачи Дирихле A92).
§ 4. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа . . 201
1. Решение задачи Коши B03). 2. Решение смешанной задачи B08). 3. Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы B10).
§ 5. Метод характеристик , 215
1. Характеристики дифференциального уравнения B15). 2. Построение сетки характеристик B21). 3. Нахождение характеристических полосок B24).
§ 6. Метод прямых 228
1. Поперечные схемы метода прямых для уравнений параболического типа B29). 2. Продольные схемы метода прямых для параболических уравнений B34). 3. Метод прямых для уравнений гиперболического типа B38). 4. Метод прямых для эллиптических уравнений B41).
§ 7. Метод интегральных соотношений 244
§ 8. Понятие о методе моментов и методе Галёркина 248
Литература 251
Глава 8. Численное решение интегральных уравнений
§ 1. Введение 252
§ 2. Уравнения вольтеррова вида второго рода 258
1. Вид вычислительного правила и теорема о сходимости вычислительного процесса B58). 2. Правила вычислений, основанные на формуле Эйлера—Маклорена B64).
§ 3. Уравнения Фредгольма второго рода. Метод квадратур . . 266
1. Метод квадратур B67). 2. Сходимость метода квадратур B73). 3. Интерполяционный квадратурный метод B75).
§4. Метод замены ядра уравнения на вырожденное ядро . . . 278
1. Некоторые сведения об уравнениях с вырожденным ядром B78). 2. Замечания о методах построения вырожденного ядра, близкого к ядру уравнения B80). Оценка близости между решениями уравнений в зависимости от близости самих уравнений B82).
Литература 285
Глава 9. Улучшение сходимости рядов и последовательностей
§ 1. Введение 286
1. О задаче улучшения сходимости B86). 2. Связь с проблемой суммирования расходящихся рядов и определения пределов расходящихся последовательностей B89).
§ 2. Интерполяционные методы преобразования последовательности ; 297
1. Некоторые общие сведения B97). 2. Интерполирование при помощи многочленов от 1/я. Случай постоянного числа узлов C01). 3. Некоторые типы сходимости C08). 4. Вспомогательная лемма C09). 5. Некоторые теоремы об ускорении сходимости C12). 6. Интерполяционные методы преобразования с возрастающим числом узлов C14). 7. Обращение преобразования C16). 8. Теорема об ускорении сходимости C20).
§ 3. Улучшение сходимости последовательностей, для которых погрешность приближения к пределу близка к показательной функции или линейной комбинации таких функций . . 325
1. Простейшее правило преобразования и некоторые его свойства C25). 2. Об улучшении сходимости C27). 3. Применение 62-преобразования к улучшению сходимости и аналитическому продолжению степенного ряда C29). 4. Связь с методом интерполирования предельного значения C31). 5. О пути уточнения 62-преобразования C33). 6. Правило ускорения сходимости последовательности, для которой погрешность приближения к пределу близка к линейной комбинации показательных функций C35). 7. Теорема об ускорении сходимости C42). 8. Об улучшении
сходимости и аналитическом продолжении степенного ряда мероморфной функции C49).
§ 4. Улучшение сходимости ряда с помощью выделения медленно сходящейся части 351
1. Введение C51). 2. Числовые ряды. Случай убывания членов ряда по степенному закону C52). 3. Улучшение сходимости тригонометрического ряда C55).
Литература 357
Глава 10. Применение функционального анализа к построению теории некоторых разделов вычислительной математики
§ 1. Необходимые сведения из функционального анализа . . , 358
1. Метрические пространства. Сходимость и полнота C58).
2. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы C61). 3. Дифференцирование нелинейных операторов C65).
§ 2. Метод итерации для решения операторных уравнений . . 371
1. Метод итерации для операторных уравнений C72). 2. Теоремы о сходимости и единственности C73). 3. Приложение к системам уравнений с числовыми неизвестными C76).
§ 3. Метод Ньютона для операторных уравнений 380
1. Правило построения приближений к решению C80). 2. Теорема о сходимости последовательности приближений C81).
§ 4. Задача упрощения уравнений 387
1. Введение C87). 2. О разрешимости приближенного уравнения C89). 3. Оценка погрешности приближения и условия сходимости C92).
Литература 394
Указатель обозначений 395
Предметный указатель 396
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к английскому изданию 7
Глава 1. Введение 9
§ 1. Природа вычислительной физики 9
§ 2. Вычислительные машины в физической теории 11
§ 3. Ограниченность математического аппарата 13
§ 4. Дискретная природа вычислительной машины 15
§ 5. Краткое изложение содержания 18
Глава 2. Элементы метода конечных разностей 22
§ 1. Введение. Конечные элементы в физике 22
§ 2. Дискретное представление непрерывной переменной 23
§ 3. Разностные производные по пространству 28
§ 4. Общая постановка задачи с начальными условиями 32
§ 5. Требования к разностному решению задачи с начальными условиями 37
§ 6. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 44
§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков 60
Глава 3. Уравнения в частных производных для сплошных сред 63
§ 1. Происхождение и некоторые свойства уравнений математической 63
физики
§ 2. Устойчивость разностных схем для уравнений в частных 75
производных
§ 3. Уравнение диффузии: явная схема интегрирования первого порядка 79
точности
§ 4. Уравнение переноса: явная схема интегрирования первого порядка 82
точности
§ 5. Дисперсия и диффузия на разностной сетке 84
§ 6. Консервативность на разностной сетке 88
§ 7. Консервативные методы для гиперболических уравнений 91
§ 8. Многомерные явные методы 103
§ 9. Обзор методов для параболических уравнений 107
Глава 4. Численные методы матричной алгебры 113
§1. Введение 113
§ 2. Матричные уравнения в конечно-разностном исчислении 116
§ 3. Матрицы специального вида: метод прогонки для уравнения с 123
трехдиагональной матрицей
§ 4. Матрицы специального вида: «точное», решение уравнения 128
Пуассона
§ 5. Точное решение общего матричного уравнения 138
§ 6. «Неточные», или итерационные, методы решения матричных 141
уравнений
§ 7. Два приближенных метода определения собственных векторов и 159
собственных значений
Глава 5. Частицы: дальнодействие в проблеме N тел 162
§ 1. Частицы и системы частиц 162
§ 2. Движение отдельной частицы в потенциальном поле 163
§ 3. Движение отдельной частицы в плоскости, перпендикулярной 166
магнитному полю
§ 4. Прямое моделирование дальнодействия в системе ТУтел 170
§ 5. Равновесные статистические свойства в моделях с двухчастичным 172
взаимодействием
Глава 6. Расчет поля частиц 183
§ 1. Среднее поле системы частиц 183
§ 2. Бесстолкновительная модель частиц в ячейке 193
§ 3. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к 201
моделированию плазмы
§ 4. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к 204
моделированию галактик
§ 5. Столкновательная PIC-модель в гидродинамике 211
Глава 7. Частицы в самосогласованном поле: атомы и твердые тела 220
§ 1. Самосогласованные поля в квантовой теории систем частиц 220
§ 2. Тождественность частиц и обменный потенциал 227
§ 3. Атом как система нескольких частиц 232
§ 4. Твердое тело как пример системы многих электронов 243
§ 5. Разложение уравнений Хартри — Фока для волн Блоха 247
Глава 8. Фазовые среды 253
§ 1. Плотность частиц в фазовом пространстве и уравнение Власова 253
§ 2. Некоторые замечания и примеры применения уравнения Власова 256
§ 3. Разностное решение уравнения Власова 259
§ 4. Несжимаемость фазовой среды 262
§ 5. Метод «водяного мешка» 264
Глава 9. Классическая гидродинамика 271
§ 1. Вводные замечания об уравнениях гидродинамики 271
§ 2. Разностное решение уравнений несжимаемой среды 278
§ 3. Несжимаемое течение как система вихревых частиц 290
§ 4. Метод маркеров на сетке для описания поверхностей и тяжелых 298
сред: всплески, водопады, опрокидывание волн
§ 5. Разностное решение уравнений гидродинамики сжимаемых сред 309
§ 6. Расчет ударных волн и разрывов 323
§ 7. Гидростатическое равновесие в моделях атмосферы и мирового 328
океана
Глава 10. Гидродинамика с далыюдсйствующими силами: звезды, 340
§ 1. Самосогласованные поля в сплошной среде 340
§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики и их основные свойства 345
§ 3. Методы одномерной магнитной гидродинамики 352
§ 4. Многомерная магнитная гидродинамика 363
§ 5. Гравитационная гидродинамика 374
Литература 382
Предметный указатель 387
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода 12
Из предисловия автора 14
ЧАСТЬ 1 ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1. Исчисление разностей 17
§ 1.1. Введение и система обозначений 17
§ 1.2. Разностный оператор 19
§ 1.3. Повторные разности 21
§ 1.4. Таблицы разностей 23
§ 1.5. Факториалы 27
§ 1.6. Деление многочленов 29
§ 1.7. Числа Стирлинга первого рода 32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода 34
§ 1.9. Пример 35
§ 1.10. Альтернативные замечания 36
§ 1.11. Общие замечания и справки 37
Глава 2. Погрешности округления 37
§ 2.1. Введение 37
§ 2.2. Область ответа 38
§ 2.3. Двойная точность 39
§ 2.4. Счет со значащими разрядами 39
§ 2.5. Статистический подход 40
§ 2.6. Случайное округление 41
§ 2.7. Переменная точность 41
§ 2.8. Оценка шума в таблице 41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда» 47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряда* 49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении 52
§ 2.12. Общие замечания и библиография 53
Глава 3. Исчисление сумм 53
§ 3.1. Введение и система обозначений 53
§ 3.2. Формулы суммирования 56
§ 3.3. Суммирование но частям 58
§ 3.4. Общие замечания 59
Глава 4. Вычисление бесконечных рядов 59
§ 4.1. Введение 59
§ 4.2. Метод Куммера 61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы 62
§ 4.4. Метод Эйлера 62
§ 4.5. Нелинейное преобразование 66
§ 4.6. Степенные ряды 67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям 68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм 68
§ 4.9. Дигамма-функция 69
Глава 5. Уравнения в конечных разностях 71
§ 5.1. Система обозначений 71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка 72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка 74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами 75
§ 5.5. Пример 76
Глава 6. Конечные ряды Фурье 78
§ 6.1. Введение 78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек 79
§ 6.3. Точность разложения 81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов 83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат 85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений 87
§ 6.7. Разложение по косинусам 87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье 88
ЧАСТЬ II ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ — КЛАССИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Глава 7. Введение в многочленные приближения 90
§ 7.1. Ориентация 90
§ 7.2. Альтернативные формулировки 92
§ 7.3. Узловые точки, информация 95
§ 7.4. Класс функций 96
§ 7.5. Согласие 97
§ 7.6. Точность 98
Глава 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными промежутками 99
§ 8.1. Философия 99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены 99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа 103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона 106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделенных разностей 109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации ПО
§ 8.7. Трудности приближения многочленом 113
§ 8.8. О выборе узловых точек 116
Глава 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы. . . 117
§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования 117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах 118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма 119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам 123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы 124
Глава 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул 125
§ 10.1. Введение 125
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования 127
§ 10.3. Фиксированные узлы 132
§ 10.4. Некоторые примеры формул 135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках 137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса 139
§ 10.7. Смешанный случай 141
§ 10.8. Замечания 142
§ 10.9. Линейные ограничения на веса 144
§ 10.10. Формула Грегори 147
§ 10.11. Выводы 150
Глава 11. О нахождении остаточного члена формулы 152
§ 11.1. Потребность в остаточном члене . 152
§ 11.2. Порядок остаточного члена 152
§ 11.3. Функция влияния 153
§ 11.4. Случай, когда О (з) имеет постоянный знак 156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак 158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора 160
Глава 12. Формулы для определенных интегралов 161
§ 12.1. Введение 161
§ 12.2. Формулы Ньютона—Котеса 164
§ 12.3. Использование формулы Грегори 166
§ 12.4. Открытые формулы 168
§ 12.5. Квадратура Гаусса 169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа . . . 170
§ 12.7. Суммирование рядов 171
§ 12.8. Эффекты замены переменной 172
§ 12.9. Интегралы с параметром 173
Глава 13. Неопределенные интегралы 173
§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений . 173
§ 13.2. Несколько простых формул для неопределенных интегралов 175
§ 13.3. Общий метод 177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов 178
§ 13.5. Устойчивость 181
§ 13.6. Шум округления 184
§ 13.7. Итоги 186
§ 13.8. Некоторые общие замечания 187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости 189
§ 13.10. Пример интеграла свертки, иллюстрирующий идею устойчивости 189
Глава 14. Введение в дифференциальные уравнения 191
§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений 191
§ 14.2. Поле направлений 192
§ 14.3. Численное решение 193
§ 14.4. Пример 195
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза 197
§ 14.6. Устойчивость коррекции 198
§ 14.7. Несколько общих замечаний 200
§ 14.8. Системы уравнений 201
Глава 15. Общая теория методов прогноза и коррекции 202
§ 15.1. Введение 202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов 204
§ 15.3. Устойчивость 205
§ 15.4. Помехи округления 209
§ 15.5. Прогноз по трем точкам 209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна 210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса—Башфорта 212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода 2!3
§ 15.9. Выбор прогноза 214
§ 15.10. Некоторые формулы 215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности 216
§ 15.12. Экспериментальная проверка 219
Глава 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 220
§ 16.1. Введение и общее описание 220
§ 16.2. Методы Рунге—Кутта 221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у 222
§ 16.4. Линейные уравнения 224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у’ и у» 225
§ 16.6. Случай, когда решение труднс аппроксимировать многочленом 226
§ 16.7. Краевые задачи 229
 |
Содержание
Содержание
Предисловие к русскому изданию 5
Из предисловия автора 9
Сокращенные обозначения 11
ГЛАВА I. ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ . . 13
§ 1. Основные типы задач вычислительной математики . 13
1.1. Некоторые общие понятия 13
1.2. Решение уравнений 14
1.3. Исследование свойств решения уравнения 18
1.4 Экстремальные задачи с дополнительными условиями или без них 19
1.5. Задачи на представление (определение коэффициентов) . 22
1.6. Оценка значений 25
§ 2. Некоторые типы пространств 26
2.1. Неравенства Гёльдера и Минковского 26
2.2. Топологическое пространство 28
2.3. Квазнметрические и метрические пространства . 31
2.4. Линейные пространства 37
2.5. Нормированные пространства 39
2.6. Унитарные пространства и неравенство Шварца . 43
2.7. Равенство параллелограмма 45
2.8. Ортогональность в унитарных пространствах, неравенство Бесселя 50
§ 3. Упорядочения 54
3.1. Частичная и полная упорядоченность 54
3.2. Структуры 56
3.3. Псевдометрические пространства 58
§ 4. Сходимость и полнота , . 59
4.1. Сходимость в псевдометрическом пространстве . 59
4.2. Последовательность, сходящаяся по Коши 62
4.3. Полнота. Гильбертово и банахово пространства 62
4.4. Некоторые теоремы о непрерывности 68
4.5. Простые следствия для гильбертова пространства. Подпространства 69
4.6. Полные ортонормальные системы в гильбертовых пространствах 72
4.7. Примеры 75
4.8. Слабая сходимость 80
§ 5. Компактность 82
5.1. Компактность и компактность в себе 82
5.2. Примеры компактных и некомпактных множеств . 83
5.3. Теорема Арцела . 85
5.4. Компактные в себе множества функций, порожденные интегральным оператором 88
§ 6. Операторы в псевдометрическом и других пространствах . . 91
6.1. Линейные и ограниченные операторы . 91
6.2. Действия иад операторами 93
6.3. Обратный оператор 95
6.4. Примеры операторов 98
6.5. Ограниченные обратные операторы 102
6.6. Обусловленность линейного ограниченного оператора . . 104
6.7. Оценка погрешности итерационного метода . 105
6.8. Теорема Рисса и теорема о выборе 106
6.9. Теорема Банаха о последовательности операторов . . , 108
6.10. Применение квадратурных формул НО
§ 7. Операторы в гильбертовых пространствах 112
7.1. Сопряженный оператор 112
7.2. Примеры 116
7.3. Дифференциальные операторы для функций одного переменного 120
7.4. Дифференциальные операторы от функций многих переменных 122
7.5. Вполне непрерывные операторы 126
7.6. Вполне непрерывный интегральный оператор 129
7.7. Оценка остаточного члена для голоморфной функции . 131
7.8. Оценка погрешности квадратуры, в которой не участвуют производные 132
7.9. Основной принцип вариационного исчисления 135
§ 8. Задачи о собственных значениях 137
8.1. Общие задачи о собственных значениях 137
8.2. Спектр оператора в метрическом пространстве 42
8.3. Оценка собственных значений 143
8.4. Проекторы 146
8.5. Экстремальные свойства собственных значений 150
8.6. Два принципа минимума для дифференциальных уравнений 155
8.7. Метод Ритца 158
§ 9. Нормы векторов и матриц . 163
9.1. Нормы векторов 163
9.2. Сравнение различных норм векторов 164
9.3. Нормы матриц 166
9.4. Некоторые сведения из теории матриц 168
9.5. Евклидова норма вектора и согласованная с ней норма матрицы 170
9.6. Другие нормы вектора и подчиненные им нормы матрицы 173
9.7. Преобразованные нормы 175
§ 10. Дальнейшие теоремы о нормах векторов и матриц . 176
10.1. Двойственная норма вектора 176
10.2. Определение некоторых двойственных норм 178
10.3. Степени матриц 179
10.4. Свойство минимальности спектральной нормы . 180
10.5. Отклонение матрицы от нормальности 181
10.6. Спектральная вариация одной матрицы относительно другой 185
10.7. Задачи к главе I 188
10.8. Указания к задачам 191
ГЛАВА И. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 195
§ 11. Теорема о неподвижной точке для общего итерационного метода в псевдометрических пространствах 195
11.1. Итерационный метод и простые примеры 195
11.2 Итерационные методы решения дифференциальных уравнений 197
11.3. Общая теорема о неподвижной точке 200
11.4. Доказательство общей теоремы о неподвижной точке 202
11.5. Теорема единственности 204
§ 12. Частные случаи теоремы о неподвижной точке и модификация оператора 205
12.1. Случай линейного вспомогательного оператора Р . . 205
12.2. Случай метрического пространства С числовым множителем в качестве Р 206
12.3. Случай метрического пространства с нелинейной действительной функцией в качестве Р 208
12.4. Выполнение итераций с модифицированным оператором и вопросы точности 210
12.5. Оценка погрешности модифнцироваииого итерационного процесса 213
§ 13. Итерационные методы для систем уравнений 214
13.1. Одно уравнение 214
13.2. Различные итерационные методы для систем уравнений 216
13.3. Некоторые признаки сходимости для систем линейных уравнений 218
13.4. Признаки сумм по строкам и столбцам 220
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие
1. Уравнения с одним неизвестным
1.1. Введение
1.2. Элементарные методы
1.3. Техника вычислений с многочленами
1.4. Преобразование многочленов
1.5. Теорема о неподвижной точке и итерации
1.6. Метод Ньютона и метод ложного положения
1.7. Дополнения
Список литературы
2. Уравнения со многими неизвестными
2.1. Задачи на собственные значения для матриц
2.2. Итерации в задачах на собственные значения
2.3. Метод исключения для линейных систем уравнений
2.4. Итерационные методы для линейных систем уравнений
2.5. Нелинейные системы уравнений
2.6. Номограммы н счетные линейки
Список литературы
3. Аппроксимации
3.1. Интерполяция
3.2. Численное интегрирование
3.3. Теория приближений в нормированных функциональных пространствах. Чебышёвские приближения
3.4. Гармонический анализ
Список литературы 166
 |
Содержание
Содержание
От редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Традиционные методы Галеркина
§ 1.1. Введение
§ 1.2. Простые примеры
1.2.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
1.2.2. Задача на собственные значения
1.2.3. Течение вязкой жидкости в канале
1.2.4. Нестационарная теплопередача
1.2.5. Уравнение Бюргерса
§ 1.3. Метод взвешенных невязок
1.3.1. Метод подобластей
1.3.2. Метод коллокаций
1.3.3. Метод наименьших квадратов
1.3.4. Метод моментов
1.3.5. Метод Галёркнна
1.3.6. Обобщенный метод Галёркнна
1.3.7. Сравнение методов взвешенных невязок
§ 1.4. Связь с другими методами
§ 1.5. Теоретические свойства
§ 1.6. Приложения
1.6.1. Свободная конвекция в прямоугольном вырезе
1.6.2. Гидродинамическая устойчивость
1.6.3. Распространение звуковых волн в каналах
1.6.4. Течение вокруг наклонного профиля
1.6.5. Задача о микропластинчатом диске
1.6.6. Другие приложения традиционных методов Галёркнна
§ 1.7. Заключение
Литература
Глава 2. Вычислительные методы Галёркнна
§ 2.1. Трудности реализации традиционного метода Галёркнна
§ 2.2. Решение для узловых значений
§ 2.3. Использование поверочных и пробных функций низкого
порядка
§ 2.4. Использование конечных элементов при рассмотрении задач
со сложной геометрией
§ 2.5. Применение ортогональных поверочных и пробных функций
§ 2.6. Расчет нелинейных членов в физическом пространстве
§ 2.7. Преимущества вычислительных методов Галёркнна
§ 2.8. Заключение
Литература
Глава 3. Метод Галёркнна с конечными элементами
§ 3.1. Пробные функции и конечные элементы
3.1.1. Одномерные элементы
3.1.2. Прямоугольные элементы в двух и трех измерениях
3.1.3. Треугольные элементы
§ 3.2. Примеры
3.2.1. Упрощенное уравнение Штурма — Лиувилля
3.2.2. Течение вязкой жидкости в канале
3.2.3. Течение невязкой несжимаемой жидкости
3.2.4. Нестационарная теплопередача
3.2.5. Уравнение Бюргерса
§ 3.3. Связь с конечно-разностными формулами
§ 3.4. Теоретические свойства
3.4.1. Сходимость
3.4.2. Оценки погрешностей
3.4.3. Оптимальные оценки погрешностей и суперсходимость
3.4.4. Численные результаты, касающиеся сходимости
§ 3.5. Приложения
3.5.1. Конвективная теплопередача
3.5.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости
3.5.3. Исследование течений со струйными закрылками
3.5.4. Распространение звуковых волн в каналах
3.5.5. Приливные течения
3.5.6. Прогноз погоды
§ 3.6. Заключение
Литература
Глава 4. Пути усовершенствования метода Галёркнна с конечными элементами
§ 4.1-. Расщепление во времени
4.1.1. Тепловая задача о входе в сопло
4.1.2. Течение вязкой сжимаемой жидкости
§ 4.2. Подгонка невязок методом наименьших квадратов
§ 4.3. Специальные пробные функции
4.3.1. Особенности
4.3.2. Пристенные турбулентные течения
4.3.3. Формулировка Дородницына для задач о пограничном слое
§ 4.4. Интегральные уравнения
4.4.1. Метод граничных элементов
§ 4.5. Заключение
Литература
Глава 5. Спектральные методы
§ 5.1. Выбор пробных функций
§ 5.2. Примеры
5.2.1. Нестационарная теплопередача
5.2.2. Уравнение Бюргерса
§ 5.3. Приемы, предназначенные для улучшения эффективности
5.3.1. Рекуррентные соотношения
5.3.2. Нелинейные члены
5.3.3. Разностное моделирование изменений во времени
§ 5.4. Другие варианты спектральных методов
5.4.1. Псевдоспектральный метод
5.4.2. Тау-метод
§ 5.5. Ортонормированный метод интегральных соотношений
§ 5.6. Приложения
5.6.1. Глобальное атмосферное моделирование
5.6.2. Прямое моделирование турбулентности
5.6.3. Другие приложения спектральных методов
§ 5.7. Заключение
Литература
Глава 6. Сравнение конечно-разностных, конечно-элементных и спектральных методов
§ 6.1. Типы задач и дифференциальных уравнений в частных производных
§ 6.2. Граничные условия и сложная геометрия границ
§ 6.3. Вычислительная эффективность
§ 6.4. Простота составления программ и легкость их изменения
§ 6.5. Контрольные случаи
6.5.1. Уравнение Бюргерса
6.5.2. Модельные параболические уравнения
6.5.3. Конвекция пассивной скалярной характеристики
6.5.4. Моделирование процессов в открытом океане
§ 6.6. Заключение
Литература
Глава 7. Обобщенные методы Галёркнна
§ 7.1. Обоснование необходимости обобщения
§ 7.2. Теоретические основы
7.2.1. Метод Петрова—Галёркнна
7.2.2. Построение поверочной функции фи
§ 7.3. Задачи об установившихся процессах конвекции — диффузии
7.3.1. Одномерные схемы высшего порядка
7.3.2. Двумерные задачи
§ 7.4. Параболические задачи
7.4.1. Уравнение нестационарного процесса конвекции—диффузии
7.4.2. Уравнение Бюргерса
§ 7.5. Гиперболические задачи
§ 7.6. Заключение
Литература
Приложение I. Программа BURG1
Приложение 2. Программа BURG4
Предметный указатель
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие к английскому изданию
Предисловие к немецкому изданию
Глава 1. Вещественная интервальная арифметика
Глава 2. Дальнейшие понятия и свойства
Глава 3. Интервальное оценивание и множество значений в случае вещественных функций
Глава 4. Машинная интервальная арифметика
Глава 5. Комплексная интервальная арифметика
A. Прямоугольники в качестве комплексных интервалов
B. Круги в качестве комплексных интервалов
Глава 6. Метрика, абсолютная величина и ширина в I (С)
Глава 7. Локализация нулей функций одной вещественной переменной
A. Методы ньютоновского типа
В. Определение оптимального метода
C. Квадратично сходящиеся методы
D. Методы более высоких порядков
E. Интерполяционные методы
Глава 8. Методы одновременной локализации вещественных корней многочленов
Глава 9. Методы одновременной локализации комплексных корней многочленов
Глава 10. Операции над интервальными матрицами
Глава 11. Итерационная локализация неподвижной точки для систем нелинейных уравнений
Глава 12. Системы линейных уравнений, поддающиеся методу итерации
Глава 13. Методы релаксации
Глава 14. Оптимальность симметрического короткошагового метода со взятием пересечения на каждом шаге
Глава 15. О применимости метода Гаусса к системам уравнений с интервальными коэффициентами
Глава 16. Метод Хансена
Глава 17. Процедура Купермана и Хансена
Глава 18. Итерационные методы для локализации обратной матрицы и разложения на треугольные
Глава 19. Методы ньютоновского типа для систем нелинейных уравнений
Глава 20. Методы ньютоновского типа, не использующие обращения матриц
Глава 21. Методы ньютоновского типа для частных типов систем нелинейных уравнений
Глава 22. Полношаговые и короткошаговые методы ньютоновского типа
Приложение А. Порядок сходимости итерационных методов в Vn((IC)) и M mn(IС))
Приложение В. Реализация машинной интервальной арифметики на Алголе 60
Приложение С. Процедуры на Алголе
A. Локализация собственных значений
B. Короткошаговый метод
C. Обращение матрицы
Литература
Дополнительная литература к английскому изданию
Дополнительная литература к русскому изданию
Книги по интервальной математике
Добавление. Интервальные вычисления на ЭВМ. А. Г. Яковлев
Предметный указатель
 |
Содержание
Содержание
От авторов.
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Аппроксимации Паде.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Другие формулы.
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Решение линейных систем.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Неэрмитовы матрицы.
Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Функции многих переменных.
Дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Разностный оператор второй производной.
|
Содержание
Содержание
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Задача интерполяции.
Чебышевские системы функций.
Интерполяция многочленами.
Погрешность интерполяции.
Оценка J\fN+1(x).
Сходимость интерполяции. Примеры.
Сплайны.
Аппроксимации Паде.
«Наивный «подход.
Детерминантное Представление полиномов Паде.
Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Оператор ∆ и обобщенная степень.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Случай равноотстоящих узлов.
Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Пределы алгебраической степени точности.
Ортогональные полиномы.
Свойства ортогональных полиномов.
Примеры ортогональных полиномов.
Погрешность квадратурных формул.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Сходимость квадратурных формул.
Другие формулы.
Сплайн-квадратура.
Формулы Филона.
Составные формулы Филона5 Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Метод золотого сечения.
Метод парабол.
Функции многих переменных.
Координатный спуск.
Наискорейший спуск.
Метод сопряженных направлений.
|
Содержание
Содержание
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Одномерный случай.
Метод Ньютона.
Метод секущих.
Многомерный случай.
Решение линейных систем.
Обусловленность линейных систем, погрешность.
Метод Гаусса.
L-R разложение.
Метод прогонки.
Метод итераций для решения линейных систем.
Метод Зейделя.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Интерполяционный метод.
Нахождение максимального по модулю собственного значения.
Обратные итерации.
Неэрмитовы матрицы.
Дополнительные сведения.
Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности в случае жордановой аномалии.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Что понимается под численным решением.
Задача Коши.
Получение явных схем.
Схема Эйлера (метод ломаных).
Методы Рунге-Кутта.
Методы Адамса.
Краевая задача.
Метод стрельбы.
Метод сеток (разностный метод).
Сходимость сеточных методов.
Метод Нумерова.
Задача Штурма-Лиувилля.
Метод стрельбы.
Метод сеток.
Разностный оператор второй производной.
Оператор второй производной.
Разностный оператор.
Резольвента.
Теория возмущений.
|
Содержание
Содержание
List of Figures vi
List of Tables ix
Preface xi
Notes to the Internet Edition xiv
1. Introduction and Fundamental Concepts 1
1.1 Basic Properties of Sets and Groups 3
1.2 Scalars, Vectors, and Matrices 5
1.3 Coordinate Systems and Coordinate Transformations 8
1.4 Tensors and Transformations 13
1.5 Operators 18
Chapter 1 Exercises 22
Chapter 1 References and Additional Reading 23
2. The Numerical Methods for Linear Equations and Matrices 25
2.1 Errors and Their Propagation 26
2.2 Direct Methods for the Solution of Linear Algebraic Equations 28
a. Solution by Cramer’s Rule 28
b. Solution by Gaussian Elimination 30
c. Solution by Gauss Jordan Elimination 31
d. Solution by Matrix Factorization: The Crout Method 34
e. The Solution of Tri-diagonal Systems of Linear Equations 37
2.3 Solution of Linear Equations by Iterative Methods 38
a. Solution by The Gauss and Gauss- Seidel Iteration Methods 38
b. The Method of Hotelling and Bodewig 41
c. Relaxation Methods for the Solution of Linear Equations 44
d. Convergence and Fixed-point Iteration Theory 46
2.4 The Similarity Transformations and the Eigenvalues and Vectors of a
Matrix 47
Chapter 2 Exercises 52
Chapter 2 References and Supplemental Reading 53
3. Polynomial Approximation, Interpolation, and Orthogonal Polynomials 55
3.1 Polynomials and Their Roots 56
a. Some Constraints on the Roots of Polynomials 57
b. Synthetic Division 58
c. The Graffe Root-Squaring Process 60
d. Iterative Methods 61
3.2 Curve Fitting and Interpolation 64
a. Lagrange Interpolation 65
b. Hermite Interpolation 72
c. Splines 75
d. Extrapolation and Interpolation Criteria 79
3.3 Orthogonal Polynomials 85
a. The Legendre Polynomials 87
b. The Laguerre Polynomials 88
c. The Hermite Polynomials 89
d. Additional Orthogonal Polynomials 90
e. The Orthogonality of the Trigonometric Functions 92
Chapter 3 Exercises 93
Chapter 3 References and Supplemental Reading 95
4. Numerical Evaluation of Derivatives and Integrals 97
4.1 Numerical Differentiation 98
a. Classical Difference Formulae 98
b. Richardson Extrapolation for Derivatives 100
4.2 Numerical Evaluation of Integrals: Quadrature 102
a. The Trapezoid Rule 102
b. Simpson’s Rule 103
c. Quadrature Schemes for Arbitrarily Spaced Functions 105
d. Gaussian Quadrature Schemes 107
e. Romberg Quadrature and Richardson Extrapolation Ill
f. Multiple Integrals 113
4.3 Monte Carlo Integration Schemes and Other Tricks 115
a. Monte Carlo Evaluation of Integrals 115
b. The General Application of Quadrature Formulae to Integrals 117
Chapter 4 Exercises 119
Chapter 4 References and Supplemental Reading 120
5. Numerical Solution of Differential and Integral Equations 121
5.1 The Numerical Integration of Differential Equations 122
a. One Step Methods of the Numerical Solution of Differential
Equations 123
b. Error Estimate and Step Size Control 131
c. Multi-Step and Predictor-Corrector Methods 134
d. Systems of Differential Equations and Boundary Value
Problems 138
e. Partial Differential Equations 146
5.2 The Numerical Solution of Integral Equations 147
a. Types of Linear Integral Equations 148
b. The Numerical Solution of Fredholm Equations 148
c. The Numerical Solution of Volterra Equations 150
d. The Influence of the Kernel on the Solution 154
Chapter 5 Exercises 156
Chapter 5 References and Supplemental Reading 158
6. Least Squares, Fourier Analysis, and Related Approximation Norms 159
6.1 Legendre’s Principle of Least Squares 160
a. The Normal Equations of Least Squares 161
b. Linear Least Squares 162
c. The Legendre Approximation 164
6.2 Least Squares, Fourier Series, and Fourier Transforms 165
a. Least Squares, the Legendre Approximation, and Fourier Series 165
b. The Fourier Integral 166
c. The Fourier Transform 167
d. The Fast Fourier Transform Algorithm 169
6.3 Error Analysis for Linear Least-Squares 176
a. Errors of the Least Square Coefficients 176
b. The Relation of the Weighted Mean Square Observational Error
to the Weighted Mean Square Residual 178
c. Determining the Weighted Mean Square Residual 179
d. The Effects of Errors in the Independent Variable 181
6.4 Non-linear Least Squares 182
a. The Method of Steepest Descent 183
b. Linear approximation of f(a_j,x) 184
c. Errors of the Least Squares Coefficients 186
6.5 Other Approximation Norms 187
a. The Chebyschev Norm and Polynomial Approximation 188
b. The Chebyschev Norm, Linear Programming, and the Simplex
Method 189
c. The Chebyschev Norm and Least Squares 190
Chapter 6 Exercises 192
Chapter 6 References and Supplementary Reading 194
7. Probability Theory and Statistics 197
7.1 Basic Aspects of Probability Theory 200
a. The Probability of Combinations of Events 201
b. Probabilities and Random Variables 202
c. Distributions of Random Variables 203
7.2 Common Distribution Functions 204
a. Permutations and Combinations 204
b. The Binomial Probability Distribution 205
c. The Poisson Distribution 206
d. The Normal Curve 207
e. Some Distribution Functions of the Physical World 210
7.3 Moments of Distribution Functions 211
7.4 The Foundations of Statistical Analysis 217
a. Moments of the Binomial Distribution 218
b. Multiple Variables, Variance, and Covariance 219
c. Maximum Likelihood 221
Chapter 7 Exercises 223
Chapter 7 References and Supplemental Reading 224
8. Sampling Distributions of Moments, Statistical Tests, and Procedures 225
8.1 The t, x2, and F Statistical Distribution Functions 226
a. The t-Density Distribution Function 226
b. The x2-Density Distribution Function 227
c. The F-Density Distribution Function 229
8.2 The Level of Significance and Statistical Tests 231
a. The «Students» t-Test 232
b. The^-test 233
c. TheF-test 234
d. Kolmogorov-Smirnov Tests 235
8.3 Linear Regression, and Correlation Analysis 237
a. The Separation of Variances and the Two-Variable Correlation
Coefficient 238
b. The Meaning and Significance of the Correlation Coefficient 240
c. Correlations of Many Variables and Linear Regression 242
d Analysis of Variance 243
8.4 The Design of Experiments 246
a. The Terminology of Experiment Design 249
b. Blocked Designs 250
c. Factorial Designs 252
Chapter 8 Exercises 255
Chapter 8 References and Supplemental Reading 257
Index 259
 |
Содержание
Содержание
I. Численные методы алгебры и анализа
Глава 1. Элементы теории погрешностей 11
Глава 2. Численные методы алгебры 16
§2.1. Численные методы решения СЛАУ 17
2.1.1. Метод Гаусса. 2.1.2. Метод прогонки. 2.1.3. Обоснование метода прогонки. 2.1.4. Матричная прогонка . 2.1.5. Нормы векторов и матриц. 2.1.6. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций. 2.1.7. Метод Зейделя решения СЛАУ. 2.1.8. Метод Зейделя для нормальных СЛАУ.
§ 2.2. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений 50
2.2.1. Способы отделения корней. 2.2.2. Методы уточнения корней. 2.2.3. Скорость сходимости. Процедура Эйткена ускорения сходимости. 2.2.4. Замечания к методам отделения корней.
§ 2.3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений 69
2.3.1. Метод простых итераций и метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений. 2.3.2. Метод Ньютона.
§ 2.4. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц линейных преобразований . 76
2.4.1. Основные определения и спектральные свойства матриц. 2.4.2. Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц. 2.4.3. Частичная проблема собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод.
Глава 3. Теория приближений 97
§3.1. Исчисление конечных разностей 99
§ 3.2. Задача интерполяции 100
3.2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 3.2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона. 3.2.3. Погрешность многочленной интерполяции. 3.2.4. Интерполяционный многочлен Ньютона, построенный с помощью разделенных разностей. 3.2.5. Сплайн-
интерполяция.
§ 3.3. Метод наименьших квадратов 118
§ 3.4. Численное дифференцирование 127
3.4.1. Метод Рунге уточнения формул численного дифференцирования.
§ 3.5. Численное интегрирование функций 134
3.5.1. Формула прямоугольников численного интегрирования. 3.5.2. Численное интегрирование с помощью формулы трапеций. 3.5.3. Формула Симпсона численного интегрирования. 3.5.4. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного интегрирования.
Глава 4. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 150
§4.1. Основные определения и постановка задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 150
§ 4.2. Метод Эйлера численного решения задач Коши для ОДУ и систем ОДУ 154
4.2.1. Метод Эйлера для нормальных систем ОДУ.
§ 4.3. Метод Эйлера-Коши (Эйлера с пересчетом) 156
4.3.1. Метод Эйлера-Коши для нормальных систем.
§ 4.4. Метод Рунге-Кутта 158
4.4.1. Метод Рунге—Кутта для нормальных систем ОДУ.
§ 4.5. Выбор шага численного интегрирования задач Коши 162
§ 4.6. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения численного решения задач Коши 163
§ 4.7. Численные методы решения краевых задач для ОДУ 175
4.7.1. Постановка краевых задач для ОДУ. 4.7.2. Конечно-разностный метод с использованием метода прогонки решения краевых задач для ОДУ.
4.7.3. Конечно-разностная схема со вторым порядком аппроксимации краевых условий, содержащих производные. 4.7.4. Метод пристрелки численного решения краевых задач для ОДУ. 4.7.5. Метод пристрелки с использованием итерационной процедуры Ньютона.
Глава 5. Численные методы оптимизации 195
§ 5.1. Классификация численных методов оптимизации 195
§ 5.2. Численные методы безусловной минимизации функций одной переменной. Прямые методы 196
5.2.1. Метод перебора. 5.2.2. Метод деления отрезка пополам. 5.2.3. Метод золотого сечения.
§ 5.3. Методы минимизации, использующие производные. Метод Ньютона 205
§ 5.4. Безусловная минимизация функций многих переменных . . 207
5.4.1. Метод градиентного спуска. 5.4.2. Метод наискорейшего спуска. 5.4.3. Метод сопряженных направлений.
II. Численные методы решения задач для уравнений математической физики
Глава 6. Метод конечных разностей 221
§ 6.1. Постановка задач математической физики 222
6.1.1. Постановка задач для уравнений параболического типа. 6.1.2. Постановка задач для уравнений гиперболического типа. 6.1.3. Постановка задач для уравнений эллиптического типа.
§ 6.2. Основные определения и конечно-разностные схемы для различных задач математической физики 228
6.2.1. Основные определения. 6.2.2. Конечноразностная аппроксимация задач для уравнений гиперболического типа. 6.2.3. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений эллиптического типа.
§ 6.3. Основные понятия, связанные с конечно-разностной аппроксимацией дифференциальных задач 235
6.3.1. Аппроксимация и порядок аппроксимации. 6.3.2. Устойчивость. 6.3.3. Сходимость и порядок сходимости. 6.3.4. Теорема эквивалентности о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью. 6.3.5. Консервативность и корректность.
§ 6.4. Анализ порядка аппроксимации разностных схем 239
§ 6.5. Исследование устойчивости конечно-разностных схем 240
6.5.1. Метод гармонического анализа. 6.5.2. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем для уравнения теплопроводности. 6.5.3. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем
для волнового уравнения. 6.5.4. Принцип максимума. 6.5.5. Спектральный метод исследования устойчивости. 6.5.6. Энергетический метод исследования устойчивости конечно-разностных схем.
§ 6.6. Конечно-разностный метод решения задач для уравнений параболического типа 254
6.6.1. Однородные и консервативные конечно-разностные схемы для задач теплопроводности с граничными условиями, содержащими производные. 6.6.2. Неявноявная конечно-разностная схема с весами. Схема Кранка—Николсона. 6.6.3. Метод прямых.
§ 6.7. Метод конечных разностей решения задач для волнового уравнения с граничными условиями, содержащими производные 269
§ 6.8. Метод установления и его обоснование 273
Глава 7. Метод конечных разностей решения многомерных задач математической физики. Методы расщепления 279
§ 7.1. Метод матричной прогонки 281
§ 7.2. Метод переменных направлений Писмена-Рэчфорда 284
§ 7.3. Метод дробных шагов Н. Н. Яненко 288
§ 7.4. Метод переменных направлений с экстраполяцией В. Ф. Формалева 290
7.4.1. Аппроксимация. 7.4.2. Устойчивость.
§ 7.5. Схема метода полного расщепления Формалева-Тюкина . . 298
§ 7.6. Методы расщепления численного решения эллиптических задач 301
§ 7.7. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа 301
7.7.1. Метод характеристик решения квазилинейных гиперболических систем. 7.7.2. Метод сквозного счета. Задача о распаде произвольного разрыва. Метод С. К. Годунова.
Глава 8. Метод конечных элементов 316
§ 8.1. Основы МКЭ 317
§ 8.2. Система базисных функций 318
8.2.1. Кусочно-постоянные базисные функции. 8.2.2. Линейные кусочно-непрерывные базисные функции.
§ 8.3. Методы взвешенных невязок. Весовые функции 322
8.3.1. Метод поточечной коллокации C23). 8.3.2. Метод Галеркина. 8.3.3. Метод наименьших квадратов.
§ 8.4. Конечно-элементный метод Галеркина решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . 325
8.4.1. Слабая формулировка метода Галеркина. 8.4.2. Формирование локальной и глобальной матриц жесткости. Ансамблирование элементов. 8.4.3. Случай граничных условий, содержащих производные.
§ 8.5. Метод конечных элементов в стационарных задачах математической физики 335
8.5.1. Основные этапы решения стационарных задач математической физики методом конечных элементов. 8.5.2. Принципы разбиения плоских областей на конечные элементы. 8.5.3. Аппроксимация линейными многочленами и базисные функции. 8.5.4. Слабая формулировка конечно-элементного метода Галеркина. 8.5.5. Ансамблирование элементов и построение глобальной
СЛАУ.
§ 8.6. Метод конечных элементов в многомерных нестационарных задачах математической физики 350
§ 8.7. Особенности решения пространственных задач математической физики методом конечных элементов 353
§ 8.8. Оценка погрешности метода конечных элементов 356
8.8.1. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 8.8.2. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для уравнений в частных производных.
§ 8.9. Вариационный принцип в МКЭ 365
8.9.1. Введение в вариационное исчисление. 8.9.2. Конечно-элементный вариационный принцип на основе симметричного дифференциального оператора. Вариационный метод Релея-Ритца. 8.9.3. Решение задач с помощью конечно-элементного вариационного принципа.
Глава 9. Метод граничных элементов решения многомерных стационарных задач математической физики . . 379
Список литературы 391
 |
Содержание
Содержание
Предисловие 3
Глава 1. Математическое моделирование и решение инженерных задач с применением ЭВМ 7
§ 1.1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели 8
§ 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ 15
§ 1.3. Вычислительный эксперимент 20
§ 1.4. Дополнительные замечания 22
Глава 2. Введение в элементарную теорию погрешностей 23
§ 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи 23
§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности . 24
§ 2.3. Погрешность арифметических операций над приближенными числами 30
§ 2.4. Погрешность функции 33
§ 2.5. Особенности машинной арифметики 35
§ 2.6. Дополнительные замечания 42
Глава 3. Вычислительные задачи, методы и алгоритмы. Основные понятия 43
§ 3.1. Корректность вычислительной задачи 43
§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи 49
§ 3.3. Вычислительные методы 55
§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов 63
§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления 67
§ 3.6. Различные подходы к анализу ошибок 72
§ 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам 76
§ 3.8. Дополнительные замечания 79
Глава 4. Методы отыскания решений нелинейных уравнений 80
§ 4.1. Постановка задачи. Основные этапы решения 80
§ 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня 87
§ 4.3. Метод бисекции 91
§ 4.4. Метод простой итерации 93
§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации 102
§ 4.6. Метод Ньютона 105
§ 4.7. Модификации метода Ньютона 112
§ 4.8. Дополнительные замечания 120
Глава 5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений 122
§ 5.1. Постановка задачи 122
§ 5.2. Нормы вектора и матрицы 123
§ 5.3. Типы используемых матриц 128
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений 131
§ 5.5. Метод Гаусса 137
§ 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей 147
§ 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение 151
§ 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней) 158
§ 5.9. Метод прогонки 161
§ 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений 165
§ 5.11. Итерационное уточнение 171
§ 5.12. Дополнительные замечания 173
Глава 6. Итерационные методы решения сметем линейных алгебраических уравнений 174
§ 6.1. Метод простой итерации 175
§ 6.2. Метод Зейделя 182
§ 6.3. Метод релаксации 187
§ 6.4. Дополнительные замечания 189
Глава 7. Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений . 191
§ 7.1. Постановка задачи. Основные этапы решения 191
§ 7.2. Метод простой итерации 196
§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений 201
§ 7.4. Модификации метода Ньютона 204
§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений 207
§ 7.6. Дополнительные замечания 210
Глава 8. Методы решения проблемы собственных значений 211
§ 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения 211
§ 8.2. Степенной метод 221
§ 8.3. Метод обратных итераций 227
§ 8.4. ДОалгоритм 231
§ 8.5. Дополнительные замечания 235
Глава 9. Методы одномерной минимизации 236
§ 9.1. Задача одномерной минимизации 236
§ 9.2. Обусловленность задачи минимизации 242
§ 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения . .245
§ 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизации гладких функций . 257
§ 9.5. Дополнительные замечания 261
Глава 10. Методы многомерной минимизации 262
§ 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных . 262
§ 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск 268
§ 10.3. Градиентный метод 272
§ 10.4. Метод Ньютона 279
§ 10.5. Метод сопряженных градиентов 284
§ 10.6. Методы минимизации без вычисления производных 287
§ 10.7. Дополнительные замечания 290
Глава П. Приближение функций и смежные вопросы 292
§ 11.1. Постановка задачи приближения функций 292
§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами 295
§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа 300
§ 11.4. Погрешность интерполяции 302
§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами 304
§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева 306
§ 11.7. Конечные разности 311
§ 11.8. Разделенные разности 318
§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена 320
§ 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции 324
§ 11.11. Интерполяция сплайнами 333
§ 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции 339
§ 11.13. Метод наименьших квадратов 343
§ 11.14. Равномерное приближение функций 356
§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций 361
§ 11.16. Дополнительные замечания 363
Глава 12. Численное дифференцирование 364
§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования 364
§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования 369
§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования 372
§ 12.4. Дополнительные замечания 374
Глава 13. Численное интегрирование 375
§ 13.1. Простейшие квадратурные формулы 375
§ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 384
§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса 389
§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования 392
§ 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях 401
§ 13.6. Дополнительные замечания 408
Глава 14. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 410
§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка 411
§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения 419
§ 14.3. Использование формулы Тейлора 428
§ 14.4. Метод Эйлера 430
§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности 435
§ 14.6. Методы Рунге-Кутты 439
§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса 448
§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши 453
§ 14.9. Неявный метод Эйлера 461
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка 463
§ 14.11. Жесткие задачи 472
§ 14.12. Дополнительные замечания 481
Глава 15. Решение двухточечных краевых задач 48*
§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности 48
§ 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия 48
§ 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида .. 50
§ 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Галеркина. Метод конечных разностей 50
§ 15.5. Метод пристрелки 51
§ 15.6. Дополнительные замечания 52
Литература 52
Предметный указатель 53»
 |
Содержание
Содержание
Предисловие 13
Лекция 1. Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования 15
1.1. Обусловленность задачи 17
1.2. Влияние выбора вычислительного алгоритма на результаты вычислений 19
1.3. Экономичность вычислительного метода . . . 21
1.4. Погрешность метода 22
1.5. Элементы теории погрешностей 23
1.6. Задача численного дифференцирования 24
1.7. Задачи 28
1.8. Задачи для самостоятельного решения 30
Литература 31
Лекция 2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений 32
2.1. Постановка задачи 32
2.2. Согласованные нормы векторов и матриц 34
2.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы . 36
2.4. Прямые методы решения СЛАУ 39
2.4.1. Метод исключения Гаусса 40
2.4.2. Модификация метода Гаусса для случая линейных систем с трехдиагональными матрицами — метод
прогонки 44
2.4.3. LU-разложение 45
2.4.4. Метод Холецкого (метод квадратного корня) . 46
2.5. Итерационные методы решения СЛАУ 48
2.5.1. Метод простой итерации 48
2.5.2. Влияние ошибок округления на результат численного решения 50
2.5.3. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации . 51
2.6. Вариационные итерационные методы 54
2.6.1. Связь между вариационной задачей и задачей решения СЛАУ 54
2.6.2. Методы градиентного и наискорейшего спуска . 56
2.6.3. Метод минимальных невязок 56
2.6.4. Метод сопряженных градиентов 57
2.7. О спектральных задачах 58
Литература 70
Лекция 3. Численное решение переопределенных СЛАУ. Метод наименьших квадратов 72
3.1. Пример использования метода наименьших квадратов (МНК) 72
3.2. Понятие о методах решения плохо обусловленных СЛАУ . 79
3.3. Задачи 80
3.4. Задачи для самостоятельного решения 82
Литература 83
Лекция 4. Численные методы решения экстремальных задач . 85
4.1. Поиск безусловного минимума функции 85
4.2. Методы спуска 91
4.2.1. Метод покоординатного спуска 91
4.2.2. Метод градиентного спуска 96
4.2.3. Метод наискорейшего спуска 96
4.3. Задачи математического программирования 98
4.4. Задачи 101
4.5. Задачи для самостоятельного решения 102
Литература 103
Лекция 5. Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем 104
5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций(МПИ) 104
5.2. Метод Ньютона 108
5.3. О вариационных подходах к решению нелинейных систем уравнений 112
5.4. Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка 112
5.5. Разностные отображения в нелинейной динамике 113
5.6. Задачи 124
5.7. Задачи для самостоятельного решения 131
Литература 132
Лекция 6. Интерполяция функций 133
6.1. Постановка задачи интерполяции 133
6.2. Кусочно-линейная интерполяция 134
6.3. Интерполяция обобщенными полиномами 135
6.4. Полиномиальная (алгебраическая) интерполяция 136
6.5. Теорема об остаточном члене интерполяции 137
6.6. Интерполяционный полином в форме Ньютона 139
6.6.1. Разделенные и конечные разности 139
6.6.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона . . 141
6.7. Многочлены Чебышёва и минимизация остаточного члена интерполяции 141
6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега 142
6.9. Интерполяция с кратными узлами 143
6.9.1. Замечание о тригонометрической интерполяции . . 145
6.10. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция(сплайны) 143
6.11. В-сплайны 151
6.12. Интерполяция функций двух переменных 154
6.13. Задачи 155
6.14. Задачи для самостоятельного решения 159
Литература 160
Лекция 7. Численное интегрирование 162
7.1. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона—Котеса) 162
7.2. Оценка погрешности квадратурных формул 166
7.3. Кратные интегралы 168
7.4. Квадратурные формулы Гаусса 169
7.5. Вычисление интегралов от функций с особенностями . 173
7.6. Идея метода Монте-Карло 174
7.7. Задачи 175
7.8. Задачи для самостоятельного решения 178
Литература 180
Лекция 8. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 181
8.1. Базовые понятия 181
8.2. Методы Рунге-Кутты 186
8.3. Методы Адамса 197
8.4. Оценка погрешности 200
8.4.1. Автоматический выбор шага интегрирования . 200
8.5. Устойчивость методов Рунге-Кутты 202
8.6. Задачи 207
8.7. Задачи для самостоятельного решения 212
Литература 216
Лекция 9. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 218
9.1. Явление жесткости. Предварительные сведения 218
9.2. Сингулярно-возмущенные задачи 224
9.3. Решение линейных ЖС ОДУ и вычисление матричной экспоненты 229
9.4. Численные методы решения ЖС ОДУ. Семейства неявных методов Рунге-Купы и Розенброка 230
9.5. Формулы дифференцирования назад и методы Гира. Представление Нордсика 236
9.6. Задачи для самостоятельного решения 239
Литература 245
Лекция 10. Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 247
10.1. Краевая задача для линейной системы ОДУ первого порядка 247
10.2. Метод дифференциальной прогонки. Понятие о жестких краевых задачах 250
10.3. Краевая разностная задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . 253
10.4. Пятиточечная прогонка 257
10.5. Матричная прогонка 258
10.6. Численное решение нелинейных краевых задач 259
10.6.1. Метод стрельбы 259
10.6.2. Метод квазилинеаризации (метод Ньютона) 260
10.6.3. Аппроксимация граничных условий 260
10.7. Краевые задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений 263
10.8. Решение краевой задачи методом Фурье 264
10.9. Задачи 266-
10.10 Задачи для самостоятельного решения 270
Литература 274
Лекция 11. Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость 275
11.1. Постановка некоторых задач для уравнений математической физики 275
11.2. Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость 279
11.2.1. Основные определения 279
11.2.2. Необходимое условие сходимости разностной схемы Куранта, Фридрихса, Леви (условие КФЛ) . 285
11.3. Элементы теории устойчивости разностных схем 287
11.4. Задачи 302
11.5. Задачи для самостоятельного решения 305
Литература 307
Лекция 12. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности 308
12.1. Постановки задач для уравнений параболического типа . . 308
12.2. Разностные схемы для численного решения нелинейного уравнения теплопроводности 312
12.2.1. Неявная схема с нелинейностью на нижнем слое . . 312
12.2.2. Схема с нелинейностью на верхнем слое 312
12.3. Разностные схемы для численного решения многомерного уравнения теплопроводности 315
12.4. Исследование сходимости разностных схем для многомерного уравнения теплопроводности 318
12.5. Задачи 320
12.6. Задачи для самостоятельного решения 325
Литература 330
Лекция 13. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса) 332
13.1. Простейшее линейное уравнение переноса 332
13.2. Квазилинейные уравнения гиперболического типа. Характеристики квазилинейных уравнений 334
13.3. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса 336
13.4. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса 342
13.5. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами 347
13.6. Гибридные схемы (метод Р. П. Федоренко) 350
13.7. Схемы с уменьшением полной вариации (Total Variation Diminishing, схемы Хартена) 351
13.8. Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов 354
13.9. Задачи 362
13. ЮЗадачи для самостоятельного решения 374
Литература 379
 |
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода
Глава I. Введение 7
1.1. Что такое сплайн? 7
1.2. Последние достижения в теории сплайнов 8
Глава II. Кубические сплайны 13
2.1. Введение 13
2.2. Существование, единственность и наилучшее приближение . . 19
2.3. Сходимость 23
2.4. Равные интервалы 38
2.5. Приближенное дифференцирование и интегрирование 45
2.6. Вычерчивание кривой по точкам 53
2.7. Приближенное решение дифференциальных уравнений . 54
2.8. Приближенное решение интегральных уравпепий 60
2.9. Дополнительные теоремы существования и сходимости . 64
Глава III. Внутренние свойства кубических сплайнов 77
3.1. Свойство минимальпой нормы 77
3.2. Свойство наилучшего приближения 79
3.3. Основное тождество 80
3.4. Первое интегральное соотношение 81
3.5. Единственность 84
3.6. Существование 85
3.7. Общие уравнения 86
3.8. Сходимость производных низших порядков 89
3.9. Второе интегральное соотношение 91
3.10. Улучшение оценки порядка сходимости . 92
3.11. Сходимость производных высших порядков 94
3.12. Ограничения на порядок сходимости 96
3.13. Приложения к теории гильбертова пространства 97
3.14. Сходимость по норме 99
3.15. Канонические сеточные базисы и их свойства 102
3.16. Остаточные члены 104
3.17. Преобразования, определяемые сеткой 106
3.18. Связь с ракетной техникой 108
ОГЛАВЛЕНИЕ 315
Глава IV. Полипомиальпые сплайны 109
4.1. Определение и основные уравнения 109
4.2. Равные интервалы 123
4.3. Существование 131
4.4. Сходимость 134
4.5. Сплайны пятой степени дефектов 2 и 3 141
4.6. Сходимость периодических сплайнов на равномерных сетках . . 145
Глава V. Внутренние свойства полиномиальных сплайнов нечетной степени 150
5.1. Введение 150
5.2. Основное тождество 151
5.3. Первое интегральное соотношение 15?
5.4. Свойство минимальной нормы 153
5.5. Свойство наилучшего приближения 154
5.6. Единственность 156
5.7. Определяющие уравнения 157
5.8. Существование 162
5.9. Сходимость производных низших порядков 163
5.10. Второе интегральное соотношение 165
5.11. Улучшение оценки порядка сходимости 167
5.12. Сходимость производных высших порядков 169
5.13. Ограничения на порядок сходимости 170
5.14. Приложения к теории гильбертова пространства 171
5.15. Сходимость по норме 173
5.16. Канонические сеточные базисы и их свойства 175
5.17. Ядра и интегральные представления 178
5.18. Представление и приближение линейпых функционалов . 181
Глава VI. Обобщенные сплайны 187
6.1. Введение 187
6.2. Основное тождество 188
6.3. Первое интегральное соотношение 189
6.4. Свойство минимальной нормы 191
6.5. Единственность 192
6.6. Определяющие уравнения 193
6.7. Существование 195
6.8. Наилучшее приближение 196
6.9. Сходимость производных низших порядков 197
6.10. Второе интегральное соотношение 200
6.11. Улучшение оценки порядка сходимости 202
6.12. Сходимость производных высших порядков 204
6.13. Ограничения на порядок сходимости 206
6.14. Приложения к теории гильбертова пространства 208
6.15. Сходимость по норме 211
316 ОГЛАВЛЕНИЕ
6.1В. Канонические сеточные базисы 213
6.17. Ядра и интегральные представления 215
6.18. Представление и приближение линейных функционалов . . . 216
Глава VII. Дважды кубические сплайпы , 228
7.1. Введение 228
7.2. Частичпыс енлайпы 229
7.3. Связь частичных сплайнов с дважды кубическими сплайнами . . 231
7.4. Основное тождество 232
7.5. Первое интегральное соотношепис 234
7.6. Свойство минимальной нормы 234
7.7. Единственность и существование 235
7.8. Наилучшее приближение 236
7.9. Фундаментальные сплайны 237
7.10. Свойства сходимости 238
7.11. Второе интегральное соотношение 238
7.12. Прямое произведение гильбертовых пространств 240
7.13. Метод фундаментальных сплайнов 243
7.14. Иррегулярные области 246
7.15. Представление поверхности 249
7.16. Поверхности Кунса 252
Глава VIII. Обобщенные сплайны двух переменных 256
8.1. Введение 256
8.2. Основные определения 256
8.3. Основное тождество 258
8.4. Типы сплайнов . . . 259
8.5. Первое интегральное соотношение 261
8.6. Единственность 262
8.7. Существование 262
8.8. Сходимость 264
8.9. Приложения к теории гильбертова пространства 265
Литература 267
Добавления. С. В. Стечкин, Ю. Я. Субботин 270
§ 1. Полиномиальные сплайны первой степени 270
§ 2. Интерполяционные параболические сплайпы 272
§ 3. Полиномиальные сплайны па равпомерпой сетке . 285
§ А. Некоторые приложения сплайнов . 291
§ 5. Многомерный случай 304
Литература 307
Предметный указатель 310
Именной указатель 312
|
Содержание
Содержание
Вводные замечания 3
ГЛАВА 1. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
§ 1. Интерполяционные детерминированные кубические сплайны и их свойства 14
§ 2, Обобщенные детерминированные кубические сплайны . 23
§ 3. Интерполяционные стохастические кубические сплайны , 27
ГЛАВА 2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
§ 4. Детерминированные интерполяционные полиномиальные сплайны 32
§ 5. Обобщенные детерминированные полиномиальные сплайны 39
§ 6 Обобщенные стохастические полиномиальные сплайны 46
ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СПЛАЙНЫ (R — СПЛАЙНЫ)
§ 7. Регуляризованные стохастические сплайны 49
§ 8. Минимальные интерполяционные сплайны 51
§ 9. Среднеквадратичные сплайны 56
§ 10. Об аппроксимации R — сплайнами элементов ядра оператора L 60
§ 11. Принцип невязки 62
 |
Содержание
Содержание
Предисловие. 5
Глава I Математические особенности машинной арифметики
§ 1. Позиционные системы счисления. 11
§ 2. Округление чисел. 15
§ 3. Фиксированная и плавающая запятая. 20
§ 4. Особенности представления чисел на ЭВМ. 23
§ 5. Арифметические операции. 27
§ 6. Порядок выполнения операций. 32
§ 7. Запись на машинно-независимых языках. 36
§ 8. Суммарный эффект влияния ошибок округления. 42
Глава II Теория возмущений в линейной алгебре
§ 9. Сведение к простым матрицам. 46
§ 10. Невырожденные матрицы. 52
§ 11. Непрерывность корней алгебраического многочлена. 55
§ 12. Локализация собственных значений. 61
§ 13. Клеточно-диагональные матрицы. 66
§ 14. Матрицы общей структуры. 71
§ 15. Сингулярное разложение. 73
§ 16. Проекции псевдорешения. 78
§ 17. Нормальное псевдорешение. 84
Глава III Вспомогательные алгебраические операции
§ 18. Преобразование вращения. 89
§ 19. Последовательность преобразований вращения. 96
§ 20. Преобразование отражения. 10З
§ 21. Последовательность преобразований отражения. 111
§ 22. Сравнение точности преобразований вращения и отражения 114
§ 23. Двухсторонние унитарные преобразования. 117
§ 24. Неунитарные преобразования. 122
§ 25. Ортогонализация. 128
Глава IV Прямое разложение матрицы на множители
§ 26. Матрицы специального вида. 137
§ 27. Теоретические основы разложения. 141
§ 28. Разложение на треугольные множители. 146
§ 29. Компактная схема. 155
§ 30. Разложение на унитарный и треугольный множители. 161
§ 31. Разложение прямоугольных матриц. 164
§ 32. Унитарно подобное разложение. 167
§ 33. Некоторые замечания. 172
§ 34. Сравнительная характеристика разложений. 175
Глава V Решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 35. Системы специального вида. 179
§ 36. Решение систем с невырожденными матрицами. 184
§ 37. Системы с матрицами полного ранга. 190
§38. Уточнение решения. 197
§ 39. Особенности решения неустойчивых систем. 205
§ 40. Системы с двухдиагональными матрицами. 211
§ 41. Тактика решения систем общего вида. 215
§ 42. Некоторые замечания. 223
Глава VI Решение проблемы собственных значений
§ 43. Метод вращений. 229
§ 44. Метод бисекций. 237
§ 45. QR-алгорифм. 249
§ 46. Ускорение QR-алгорифма. 255
§ 47. Определение собственных векторов. 264
§ 48. Особенности вычислений. 271
§ 49. Апостериорные оценки точности. 277
§ 50. Некоторые замечания. 283
Приложение I. О распределении ошибок округления. 286
Приложение II. Решение больших задач линейной алгебры 293
Литература. 301
Предметный указатель. 302
 |