Спрос и предложение дифференциальные уравнения

Неэргодическая экономика

Изучение широкого спектра проблем экономики

Дифференциальные свойства кривых спроса и предложения

По-видимому, не будет ошибкой сказать, что современная экономическая теория имеет своей целью изучение закономерностей формирования спроса и предложения с соответствующим выявлением условий, обеспечивающих рыночное равновесие. Данные целевые установки предопределяют наличие следующих трех основополагающих проблем: существования, единственности и устойчивости состояния равновесия. Анализ указанных проблем проводится в рамках различных моделей соответствующих разделов экономической теории.

Недостатки традиционного аппарата кривых спроса и предложения

В простейшем случае представление об экономическом равновесии базируется на законе спроса, в соответствии с которым величина спроса при прочих равных условиях является убывающей функцией цен, и на законе предложения, который утверждает, что величина предложения задается возрастающей функцией цен [1] . Подобная концепция логически подводит к идее «ортодоксального креста» кривых спроса и предложения, в соответствии с которой пересечение данных кривых происходит в определенной точке, где спрос и предложение совпадают; цена, соответствующая точке равновесия, называется равновесной ценой или ценой рыночного клиринга.

Однако в свете современных экономических представлений форма кривых спроса и предложения, постулируемая «ортодоксальным крестом», – даже при «прочих равных условиях» – ни для отдельного товара, ни для всей макроэкономики в большинстве случаев не имеет места. Например, хорошо известно существование так называемых гиффиновских товаров, для которых кривая спроса является возрастающей функцией цен (по крайней мере на определенном интервале). В этом случае особое значение приобретает вопрос о выпуклости (вогнутости) кривых спроса и предложения, так как в случае их неодинаковой выпуклости велика вероятность возникновения по крайней мере двух точек равновесия, характеризующихся совершенно разными объемными и ценовыми показателями. При этом принципиальным становится вопрос о начальных значениях спроса и предложения, ибо в некоторых случаях взаимное расположение соответствующих кривых может исключать саму возможность достижения равновесия и установления цен рыночного клиринга. Возможен также вариант, когда кривые спроса и предложения являются одновременно возрастающими и выпуклыми (вогнутыми) функциями. В этом случае также могут возникнуть две точки равновесия.

Разумеется, все сказанное справедливо и для убывающих функций спроса и предложения – ведь производство, а следовательно, и предложение товаров в определенных случаях в условиях роста цен имеет тенденцию к рецессии. Еще более ярко свойство неединственности клиринговых цен проявляется, когда кривые спроса и предложения имеют стационарные точки. Продолжая начатую линию анализа, правомерно предположить существование у данных функций точек глобального экстремума. В этом случае в зависимости от числа таких точек и взаимного расположения кривых спроса и предложения может возникать множество состояний равновесия. Понятно, что в общем случае возможны практически любые комбинации достаточно сложного взаимного наложения экономических кривых.

Таким образом, как в общетеоретическом плане, так и с практической точки зрения представляется вполне обоснованным утверждение, что «ортодоксальный крест» слишком упрощенно задает функциональную связь между спросом, предложением и ценой. Следовательно, при подобном описании механизма ценообразования и балансировки объемных показателей товарных рынков имеет место сильное огрубление действительности. Такое понимание вопроса и постановка проблемы по своей сути эквивалентны задаче: выяснить экономические условия выполнения законов спроса и предложения. Формально решение данной задачи сводится к изучению дифференциальных свойств кривых спроса и предложения, которым и посвящена данная статья. Чисто экономически изучение дифференциальных свойств кривых спроса и предложения требует исследования поведения потребителя и производителя в условиях инфляции. Так как ключевые свойства кривых спроса и предложения достаточно полно определяются дифференциальными характеристиками первого и второго порядка, то в данной статье ограничимся рассмотрением только их; выяснять дифференциальные свойства более высокого порядка здесь не будем. С инструментальной точки зрения в конкретных теоретических построениях используются простейшие алгебраические методы, а также элементы анализа бесконечно малых и дифференциальных уравнений. В заключительном разделе статьи подробно раскрывается значение полученных функциональных зависимостей для понимания социально-экономических последствий феномена инфляции.

Теория потребления и форма кривых спроса

Для анализа дифференциальных свойств кривых спроса воспользуемся результатами классической теории потребления, модифицируя их применительно к нашим конкретным задачам. Предварительно отметим, что сегодня одним из наиболее значительных достижений экономического анализа по праву считаются общая теория потребления и теория Е.Е.Слуцкого об оптимальном поведении потребителя, в частности. Более того, уравнение Слуцкого является, пожалуй, единственной аналитической конструкцией, признаваемой и используемой всей экономической наукой. Тем не менее ординалистская теория потребления во многом остается своего рода «вещью в себе» и служит для качественного анализа лишь самых общих свойств потребительского спроса. Это связано с тем, что сравнительная статика потребления, вообще говоря, описывается системой уравнений Слуцкого, каждое из которых представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных.

Понятно, что с аналитической точки зрения столь сложная экономико-математическая конструкция воспринимается как своеобразный кибернетический «черный ящик», в котором нетривиально переплетены экономические связи, определяющие функционирование системы потребления. В некоторых случаях эффект замены как в самом уравнении Слуцкого, так и в его различных модификациях записывается в терминах алгебраических дополнений исходной системы показателей, что еще больше осложняет аналитическую обозримость существующих закономерностей в поведении потребителей [2] .

Таким образом, для исследования дифференциальных свойств кривой «спрос-цена» использовать уравнения теории потребления в традиционной форме нецелесообразно. В данном случае, по-видимому, следует целенаправленно идти на определенные теоретические упрощения канонической системы уравнений сравнительной статики потребления, что позволит получить четкие, хорошо интерпретируемые результаты. Ниже будет последовательно выполнен целый ряд упрощающих методических шагов в направлении получения зависимости спроса от цены в явном виде.

Вся методология формальных упрощений представляет собой 4-шаговую процедуру. Первый шаг в указанном направлении связан с процессом «автономизации» рассмотрения уравнения Слуцкого. Имеется в виду переход к рассмотрению только одного уравнения, описывающего изменения спроса на определенный товар (товарную группу) в зависимости от изменения его цены. Тем самым мы в дальнейшем абстрагируемся от всех взаимных перекрестных влияний товарных наборов. Понятно, что подобное «вырезание» одного уравнения из общей системы взаимосвязанных между собой уравнений, строго говоря, неправомерно. Однако, если предположить, что цена меняется только на рассматриваемый товар, то принятое допущение является не таким уж и сильным [3] . Иными словами, мы рассматриваем формирование спроса потребителя на некий обособленный товар, цена которого подверглась изменению. В этом случае уравнение Слуцкого имеет вид [4] :

где D – спрос на анализируемый товар в натуральном выражении; Р – цена товара; К – денежный доход потребителя. В левой части (1) стоит общий эффект от изменения цен; первое слагаемое правой части характеризует эффект дохода; второе слагаемое представляет собой эффект замены, то есть изменение спроса в зависимости от роста цены при компенсированном изменении дохода. Если ввести понятия эластичностей спроса по доходу E_DK=(K/D)(∂D/∂K), спроса по цене Е_DР=(P/D)(∂D/∂P) и спроса по компенсированному изменению цены =(Р/D)(∂D/∂P)_comp, то (1) преобразуется в формулу

(2)

Таким образом, спрос линейно зависит от величины дохода потребителя и обратно пропорционален цене товара. Однако данная простая зависимость взвешивается соответствующей комбинацией эластичностей, которые сами зависят от показателей спроса, дохода и цен. Следовательно, формулу (2) нельзя напрямую использовать для анализа зависимости «спрос-цена», ибо для этого необходимо предположить неизменность четырех групп взаимосвязанных факторов, что экономически бессмысленно. В этой связи вторым приемом, упрощающим анализ реакции спроса на цены, будет введение так называемой гипотезы устойчивости структуры потребительских расходов, в соответствии с которой при изменении реального дохода потребитель сохранит структуру расходов, тождественную той, которую он имел бы при новом значении дохода в условиях прежних цен [5] . Тогда сравнительная статика спроса будет описываться уравнением Слуцкого в форме Поманского-Русакова:

Из сопоставления уравнений (1) и (3) видно, что при выполнении гипотезы устойчивости структуры потребительских расходов (∂D/∂P)_comp = D(D/K – 1/Р). При этом хорошо известный из теории факт (∂D/∂P)_comp [6] . Кроме того, уравнение Поманского–Русакова задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве, что осложняет осмысление непосредственной двухмерной зависимости «спрос-цена». Данный аспект проблемы и предопределяет третий упрощающий шаг нашего анализа, который связан с фиксацией степени чувствительности спроса по доходу: ∂D/∂K=γ=const. Подобная параметризация позволяет перейти от дифференциального уравнения в частных производных (3) к обыкновенному дифференциальному уравнению:

Несмотря на то, что уравнение (5) кроме Р содержит только две вспомогательные характеристики К и γ – по сравнению с тремя в (4) и четырьмя в (2) – все же такая форма зависимости спроса от цены неприемлема по следующим причинам. Во-первых, одновременная фиксация показателей К и γ является внутренне противоречивой, так как стабильность γ по сути дела постулирует подвижность К. Во-вторых, при заданных значениях γ, К и Р в каждой конкретной точке производной dD/dP спрос оказывается связан с данными характеристиками квадратным уравнением (5), которое в общем случае имеет два корня. В этом случае спрос можно выразить формулой

(6)

где Н = (1 /Р + γ)(К/2). Таким образом, уравнение (5) на коротких ценовых интервалах задает величину спроса неоднозначно. Геометрически это означает, что определенной комбинации переменных в (5) могут соответствовать две кривые спроса. Данный эффект достаточно ясен из тех же геометрических соображений. Действительно, переход от (3) к (5) по сути означает «схлопывание» исходного трехмерного пространства в двухмерное – в (5) мы имеем дело с двухмерной проекцией той трехмерной поверхности, которая задается уравнением (3).

Понятно, что в общем случае при таком проецировании могут появиться по крайней мере две линии спроса, когда Р пробегает определенный отрезок таким образом, что показатели γ и К принимают строго определенные значения. Возможная неоднозначность величины спроса устраняется, когда дискриминант (5) равен нулю. Использование этого условия представляет собой четвертый и последний упрощающий прием для конкретизации функциональной связи «спрос-цена» и равносильно следующему дифференциальному уравнению: dD/dP = –(К/4)(1/Р + γ) 2 . Однако в этом случае величина спроса в соответствии с (6) равна D = (К/2)(1/Р +γ), откуда можно выразить доход К через Р и D и подставить его в предыдущее соотношение. Тогда результирующее уравнение, описывающее динамику спроса в зависимости от изменения цены, будет содержать только один параметр γ и редуцируется к следующему простому виду:

(7)

Данное уравнение является искомым для анализа ценовых свойств потребительского спроса. Так как уравнение (7) позволяет получить в явном виде зависимость «спрос–цена», то оно представляется нам исключительно важным, несмотря на все принятые ранее упрощающие допущения. Решением (7) является следующая функция спроса:

(8)

где ω – постоянная интегрирования; е – основание натурального логарифма. Данная двумерная зависимость фиксирует в явном виде взаимосвязь между ценой и спросом с учетом параметра чувствительности спроса по доходу, которую можно представить графически на плоскости (Р, D). При этом цена может пробегать значения от 0 до +∞. Заметим, что никакие ограничения назначения Р, вытекающие из (6), на зависимость (8) не распространяются, ибо формулу (6), вообще говоря, мы использовали как вспомогательную.

Простейший анализ свойств (8) позволяет сделать довольно интересные качественные выводы. Так, например, для ценных товаров γ > 0 стабильно выполняется закон спроса и, следовательно, кривая спроса является монотонно убывающей функцией на всем интервале (0; +∞); ни на каком отрезке данного интервала ценный товар не становится гиффиновским. Данный результат полностью соответствует неоклассической теории потребления. Относительно малоценных товаров γ [7] .

Если все сказанное хотя бы отчасти верно, то это означает существование весьма странных пристрастий в субъективных преференциях потребителей, которые в общей массе товаров выделяют лишь малую долю в качестве ценных. По всей видимости, такой характер потребительских предпочтений находится в определенной связи с качеством предлагаемых товаров – чем выше потребительские свойства товарной массы, тем меньше удельный вес группы малоценных благ.

Теория фирмы и форма кривых предложения

Чтобы изучить дифференциальные свойства кривых предложения, по аналогии с предыдущим случаем следовало бы, вообще говоря, воспользоваться результатами классической теории фирмы. В отличие от теории потребления она не содержит столь элегантных уравнений, как, например, уравнение Слуцкого. Все соотношения теории фирмы как бы замкнуты сами на себя и, даже при введении каких-либо упрощающих гипотез и посылок, мало что дают для понимания возможных стратегий производителя в условиях роста цен. В этой связи построим «альтернативную» теорию фирмы, которая, будучи формально весьма простой, позволит получить в явном виде зависимость предложения товара от его цены. Для этого, как и при изучении кривых спроса, воспользуемся рядом методических приемов, позволяющих свести все модельные построения к компактной и наглядной форме.

Рассмотрим фирму, выпуск которой характеризуется монопродуктом: S –объем производства в натуральном выражении (предложение товаров); Р – цена производимого товара. При создании продукта S фирма осуществляет затраты CW: С = C(S) – функция издержек, задающая зависимость между объемом закупаемого фирмой ресурса С, исчисляемого в натуральных измерителях, и величиной выпуска S; W – цена единицы используемого ресурса. Рассматриваемая фирма является монопродуктовой и моноресурсной, то есть в производстве участвует только один вид сырья (полуфабриката).

Введем в рассмотрение показатель нормы прибыли r как отношение прибыли предприятия R к его издержкам: r = R/CW, где R = PS–CW. При этом все показатели непосредственно зависят от цен, за исключением издержек С, которые связаны с ценами опосредованно, через объемы производства S. Таким образом, имеем r = PS(P)/[W(P)C(S(P))] – 1.

Первый шаг в развиваемой нами методологии анализа сводится к тому, что основной индикатор, который используется фирмой при построении своей производственной стратегии – это показатель нормы прибыли [8] . Обоснование данного подхода лежит на поверхности. Дело в том, что в условиях стабильного и достаточно сильного роста цен прибыль предприятия в абсолютном выражении, как правило, возрастает. Имеющие место исключения характерны лишь для очень незначительного числа производителей-аутсайдеров, которые в кратчайшие сроки исчезают с рынка в результате полного банкротства. Пролонгировать этот процесс можно только благодаря внешним финансовым вливаниям в подобные предприятия (например, путем государственной поддержки). Таким образом, критерий максимизации абсолютной массы прибыли, который используется неоклассической теорией фирмы, непригоден для нашего анализа. Более точным критерием эффективности деятельности фирмы в условиях роста цен может служить относительный показатель нормы прибыли, который неявно показывает будущее производственной структуры, так как вероятность его «выживания» определяющим образом зависит от инвестиционных возможностей, которые, в свою очередь, зависят от нормы прибыли.

Если предположить, что эластичность ресурсных цен по ценам выпуска β = (P/W)(∂W/∂P) и эластичность издержек по выпуску α = (S/C)(∂C/∂S) постоянны, то записанное соотношение для нормы прибыли при дифференцировании по Р сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

(9)

где k – коэффициент, с помощью которого задается траектория нормы прибыли, экзогенной для (9). Гипотеза постоянства эластичностей α и β соответствует второму упрощающему методу анализа, В свою очередь, функция r(Р) задается следующим простым уравнением:

Таким образом, исследование дифференциальных свойств кривой предложения, а следовательно, и поведения потребителя в условиях роста цен сводится к анализу уравнений (9)–(10), которые и образуют аналитический фундамент развиваемой в данном разделе теории фирмы. В общем случае k зависит от Р, и при заданной аналитически траектории k(Р) уравнение (9) позволяет исследовать различные стратегии фирмы в отношении наращивания (сокращения) производства в зависимости от его технологических особенностей, характеризуемых эластичностью издержек α, чувствительностью ресурсных цен β и ожидаемыми изменениями в эффективности функционирования фирмы.

Рассмотрим наиболее простой и в то же время наиболее важный и представительный случай, когда k = const. Данный постулат является третьим звеном, упрощающим анализ. В этом случае уравнение (9) имеет решение (ζ, – постоянная интегрирования):

(11)

Выражение (11) является искомым, так как в явном виде задает функцию предложения от цены. Формальный анализ (11) позволяет более тонко и полно выяснить свойства кривой предложения. Предварительно заметим, что принятое нами допущение k=const соответствует экспоненциальному росту или снижению нормы прибыли r (в зависимости от знака k) по мере роста цены продукции фирмы: r=be kP –1, где b – постоянная интегрирования (это непосредственно вытекает из (10)). Содержательно экспоненциальная зависимость нормы прибыли соответствует ее постоянному темпу прироста по мере возрастания товарных цен (k играет роль темпа прироста). Такой рисунок событий соответствует не слишком длинному интервалу времени, который характеризуется раскручиванием инфляционной спирали и является для фирмы переходным периодом; в течение данного периода решается судьба фирмы (своего рода тест на «прочность»): либо резкий рост нормы прибыли в новых условиях и устойчивое преуспевание, либо снижение нормы прибыли вплоть до полного разорения и санации предприятия.

Из условия первого порядка вытекает, что (11) имеет стационарную точку Р*=(1–β)/k. В дальнейшем при рассмотрении стратегий фирмы ограничимся случаем k > 0. Это означает, что у кривой предложения S(Р) экстремум существует, только если мы имеем дело не с явным аутсайдером, то есть если выполняется условие β 1 Цена Р* становится точкой максимума.

Это означает, что ценовая среда (полностью характеризуемая эластичностью β), в которой находится фирма, сама по себе еще не определяет производственной стратегии предприятия. Решающим фактором при выборе того или иного пути развития фирмы являются ее технологические возможности. В частности, в благоприятной ценовой среде β 1 финансовый успех фирмы предполагает постепенное сокращение выпуска после достижения определенного порога. Тем самым зависимость (11) подтверждает предположение о возможности нарушения закона предложения.

Приведенные рассуждения объективно подводят к необходимости дать более тонкую формальную классификацию фирм-производителей. В дальнейшем будет вполне достаточно использовать следующую классификационную схему в отношении фирм: производственная ячейка является ресурсоемкой (ресурсововлекающей или техноемкой), если для нее α > 1; в случае α 1; при β 1; 2) медленно коллапсирующие ресурсоемкие производственные структуры; 3) наращивающие деловую активность низкозатратные экономические объекты. Однако, учитывая исходные посылки анализа, следует иметь в виду, что последние две группы предприятий будут некоторое время находиться в состоянии абсолютного и относительного процветания, так как их норма прибыли резко возрастает. Подобные представления достаточно хорошо верифицируются событиями, реально происходящими в периоды гиперинфляции.

На наш взгляд, достаточно ясным является тот факт, что общий депрессивный эффект от действия инфляции зависит от того, в какой пропорции предприятия распределяются на высоко– и низкозатратные. Так, если первая группа доминирует в экономике, то в течение определенного периода времени инфляционная спираль неизбежно приведет к глубокой экономической стагнации и товарному дефициту, который будет дополнительно подстегивать возникшее «бегство от денег». При этом конкретные размеры и глубина производственного спада определяющим образом оказываются зависимыми от начальных условий. Так, например, если мы рассматриваем экономическую систему с большой долей индустриального сектора, характеризующегося низким технологическим уровнем, то возникновение мощного депрессивного эффекта становится неизбежным. Здесь, как и в теории потребления, мы сталкиваемся с положительными обратными связями и ярко выраженным «эффектом наследования».

Проведенный анализ не исчерпывает всех возможностей предложенной теоретической схемы, однако остальные случаи, не рассмотренные нами, достаточно очевидны в силу симметричности относительно соответствующих параметров базовой конфигурации (α > 1; β γр ≈ 1 + γР

(13)

и подставить данное соотношение в линеаризованное с учетом

(14)

Таким образом можно получить зависимость, позволяющую изучать действие закона Сэя ∂D/∂S > 0 и закона удовлетворения общественных потребностей ∂S/∂D > 0. Дело в том, что так же, как закон спроса и закон предложения, указанные законы не являются абсолютными и в определенные моменты могут нарушаться. Формула (14), где Р задана в виде (13), позволяет рассмотреть различные режимы, когда происходят саморазрастание и коллапс системы. С учетом проведенной линеаризации для закона удовлетворения общественных потребностей мы имеем

(15)

Введя показатель эластичности предложения по ценам μ = (P/S)(∂S/∂P), с учетом (9) и (15) можно записать соотношение, определяющее выполнение закона Сэя:

(16)

Из (15) и (16) хорошо видно, что закон удовлетворения общественных потребностей и закон Сэя выполняются отнюдь не автоматически, а требуют ряда условий как с точки зрения потребительских качеств товарной массы, так и с производственных позиций.

Все выведенные в данной работе теоретические формулы, прежде всего (8) и (11), базируются на многочисленных упрощающих анализ допущенниях и имеют скорее иллюстративное, нежели конкретное прикладное значение. Однако проведенное исследование не является чистой абстракцией. Практическое применение предложенного подхода обусловлено прежде всего возможностью качественного анализа закономерностей функционирования сфер производства и потребления в периоды инфляции и гиперинфляции, исходя из понимания реакции отдельных потребителей и производителей.

Говоря о значении полученных результатов, можно условно выделить два аспекта. Первый связан с формированием общетеоретических и мировоззренческих позиций, второй – с пониманием и предвидением основных последствий инфляции на различных фазах ее развития. Рассмотрим эти аспекты более подробно.

Общетеоретический аспект связан с четким пониманием, что, не будучи столь простыми и однозначными, как это предполагает «ортодоксальный крест», кривые спроса и предложения подразумевают неединственность экономического равновесия, для которого характерны совершенно различные значения цен рыночного клиринга и в общем случае различные значения объемов спроса и предложения. Это означает, что, нащупав состояние равновесия на соответствующем ему равновесном уровне цен, но не сумев удержаться в этом положении (в силу его априорной неустойчивости), экономика уже не сможет быстро достичь равновесия. Очередной рыночный клиринг установится только спустя некоторое время, в течение которого экономика будет постоянно подвержена инфляции. В промежутках между точками равновесия для экономической системы будет характерен либо товарный дефицит, либо денежный голод. Если же в результате инерционного роста цен экономика «пролетит» мимо нового равновесия, то снова попадет в полосу «неравновесной лихорадки». Таким образом, в некоторых случаях инфляция позволяет экономике перейти из одного состояния равновесия в другое на качественно новом уровне цен, спроса и предложения.

Основная же проблема такого перехода заключается в том, чтобы вовремя зафиксироваться в новом состоянии равновесия. В противном случае экономика может оказаться в режиме, когда ни при каком уровне цен нельзя будет достигнуть экономического равновесия. Тем самым в периоды активной инфляции экономика дискретно перескакивает из одного состояния равновесия в другое. Сложность же своевременной остановки роста цен определяется двумя факторами. Во-первых, для экономики всегда характерен своего рода ценовой гистерезис, заключающийся в том, что эластичность цен вверх значительно выше эластичности цен вниз. Во-вторых, набрав определенную скорость, инфляция уже не может мгновенно остановиться. В целом описанный механизм динамичной смены фаз цикла «равновесие–неравновесие» дает более тонкое понимание экономических проблем инфляции и соответствует протекающим в реальности процессам. Данные представления, по-видимому, следует использовать в качестве теоретического «заменителя» «ортодоксального креста», идеология которого до сих пор используется во многих макроэкономических построениях.

К вопросу о динамике равновесия тесно примыкает более частный вопрос о гиперифляции и прежде всего вопрос о существовании «гиперинфляционных точек». В соответствии с современным пониманием процесс гиперинфляции (стагфляции) возникает, когда в результате преодоления ценами определенного порога производство начинает сворачиваться, а спрос возрастает из-за экономической паники и сбрасыва­ния денег населением. Приведенные построения убедительно свидетельствуют о существовании таких «гиперинфляционных точек» и дают о них определенное представление.

Прикладной аспект полученных результатов связан прежде всего с выводом о недопустимости чрезмерного роста цен, который, во-первых, уменьшает вероятность «остановки» экономики в состоянии равновесия или хотя бы квазиравновесия, а во-вторых, ведет к разрушению естественных экономических механизмов. Второй момент непосредственно связан с правильным пониманием и прогнозированием последствий инфляции.

В частности, используя классификацию JI. Торнквиста в отношении кривых спроса [9] , можно утверждать следующее. Даже при незначительном инфляционном толчке в разряд малоценных товаров может перейти большинство товаров первой и второй необходимости; в группе ценных товаров всегда будут превалировать предметы роскоши. Это означает, что при более сильном инфляционном давлении гиффиновские свойства начнут приобретать прежде всего товары первой и второй необходимости, которые в первую очередь будут вымываться с товарного рынка. Подобная ситуация способствует возникновению устойчивого дефицита на данные товарные группы, что находится в определенном противоречии с выводом М.Вейцмана о необходимости повышения цен для ликвидации источника синдрома дефицита [10] – ситуация гиперифляции вносит свои коррективы по сравнению с обычными экономическими режимами. Одновременно с этим спрос на предметы роскоши будет уменьшаться, что приведет к их затовариванию и автоматической стагнации предприятий, производящих их, независимо от эффективности производства и качества выпускаемых товаров.

С затратной точки зрения, в условиях инфляции проблемы начинают испытывать прежде всего наиболее мощные производственные объекты базовых отраслей; наиболее жизнеспособными оказываются структуры финансового сектора экономики. В этот период следует ожидать замораживания всех видов строительства, банкротства и санации наукоемких производств и производств с высокими технологиями. Увеличивается число всевозможных фиктивных финансовых операций, растут объемы спекулятивных сделок, капитал переливается из промышленности в торговлю. Единственным плюсом слабой инфляции является стимулирование предприятий к снижению издержек производства на базе достижений научно-технического прогресса.

Из сказанного становятся понятными многие процессы и экономические сдвиги, имевшие место в России на протяжении последних 4–5 «инфляционных» годов.

[1] См., например: К.Р. Макконнелл, С.Л. Б р ю. Экономикс: Принципы, проблемы и политика. М., 1992. Т. 1, стр. 61-75. Формально законы спроса и предложения можно записать следующим образом: ∂D/∂Р 0, соответственно, где D, S и Р – спрос, предложение и цена товара.

[2] См. об этом, например: Дж. Хикс. Стоимость и капитал. М., 1993; P.J. Kalman. Theory Of Consumer Benavior When Prices Enter the Utility Function («Econometrica», Vol. 36, N 3-4, 1968).

[3] Некоторые практические аспекты применения уравнения Слуцкого к анализу рынка труда с использованием аналогичного «автономного» анализа см.: М.С. К е е 1 е у, Ph. К. R о b i n s, R.S. Spiegelman, R.W. West. The Estimation of Labor Supply Models Using Experimental Data («The American Economic Review», Vol. 68, N 5, 1978).

[4] См.: М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М., 1975.

[5] Более подробно об этом см.: А.Б. П оманский, В.П. Русаков. Об одном подходе к моделированию потребительского спроса («Экономика и математические методы». Т. XIX. Вып. 6, 1983).

[6] Формальные аспекты, связанные с интегрированием систем уравнений типа (3), рассматриваются в работе: А.М. Шерменев. Об одном подходе к моделированию поведения потребителей. («Экономика и математические методы». Т. XXV. Вып. 3, 1989).

[7] И.В. Ф илаточев. Морис Аллэ — лауреат Нобелевской премии по экономике 1988 г. («Экономика и математические методы». Т. XXV. Вып. 5, 1989).

[8] Здесь не оговаривается тот факт, что мы абстрагируемся от всяких взаимодействий между фирмами, так как данный подход является традиционным для микроэкономических построений и в этом отношении мы следуем классической традиции. Но в отличие от неоклассической теории фирмы производственная функция предприятия в нашем случае является однофакторной.

[9] См.: А.Г. Г ранберг. Математические модели социалистической экономики. М., 1978.

[10] См.: M.JI. В е й ц м а н. Модель синдрома дефицита («Экономика и математические методы». Том 26. Вып. 6, 1990).

Официальная ссылка на статью:

Балацкий Е.В. Дифференциальные свойства кривых спроса и предложения// «Мировая экономика и международные отношения», №12, 1995. С.62–73.

Спрос и предложение дифференциальные уравнения

webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.

Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.

Чем может быть полезен webkonspect.com:

• простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
• просмотр конспекта без выхода в интернет.
• удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
• конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
• webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.

11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тен­денции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени T функци­ями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(T).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D И предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

Принятые в (11.20) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет (Р» > 0), то рынок увеличивает интерес к то­вару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р» в функции S(T) Больше, чем в D(T). Рост цены также увеличивает предложе­ние, потому слагаемое, содержащее Р’, входит в выражение для S(T) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. По­скольку равновесное состояние рынка характеризуется равен­ством D = S, приравняем правые части уравнений (11.20). После приведения подобных получаем

Соотношение (11.21) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(T). Как было установлено в п. 10.3, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частно­го решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни — комплексно-сопряженные числа: K1,2 = -1 ± 2I, и, следовательно, общее решение уравнения (11.22) дается фор­мулой

Где С1 и С2 — произвольные постоянные. В качестве частно­го решения неоднородного уравнения (11.21) возьмем решение Р = PSt — постоянную величину как Установившуюся цену. Подстановка в уравнение (11.21) дает значение PSt:

Таким образом, общее решение уравнения (11.21) имеет вид

Нетрудно видеть, что P(T) PSt = 3 при T , т. е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене PSt с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени из­вестна цена, а также тенденция ее изменения:

Подставляя первое условие в формулу (11.23), получаем Р(0) = С1 + 3 = 4, откуда С1 = 1, т. е. имеем

Дифференцируя, имеем отсюда

Теперь реализуем второе условие задачи Коши: Р’(0) = 2C2 — 1 = 1, откуда C2 = 1. Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

Или в более удобной форме:

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в преды­дущем случае, то имеем и здесь решение (11.24). Тогда произ­водные функции Р(T) выражаются формулами

Отсюда Р’(0) =2C2 — 1 и Р»(0) = —4C2 — 3. Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т. е. D(0) = 16, имеем с учетом вида D(T) из первой формулы (11.20): С2 = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

Или в более удобной форме:

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изоб­ражены на рис. 11.5.