Сравнение с уравнением клапейрона менделеева
Название работы: Вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для давления и его сравнения с уравнением Клайперона-Менделеева
Предметная область: Физика
Описание: Основное уравнение молекулярнокинетической теории идеального газа Это уравнение связывает макропараметры системы давление p и концентрацию молекулс ее микропараметрами массой молекул их средним квадратом скорости или средней кинетической энергией: Вывод этого уравнения основан на представлениях о том что молекулы идеального газа подчиняются законам классической механики а давление это отношение усредненной по времени силы с которой молекулы бьют по стенке к площади стенки. Учитывая связь между концентрацией молекул в газе и его.
Дата добавления: 2013-09-05
Размер файла: 59.5 KB
Работу скачали: 155 чел.
36.Вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для давления и его сравнения с уравнением Клайперона-Менделеева.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа
Это уравнение связывает макропараметры системы давление p и концентрацию молекул с ее микропараметрами массой молекул, их средним квадратом скорости или средней кинетической энергией:
Вывод этого уравнения основан на представлениях о том, что молекулы идеального газа подчиняются законам классической механики, а давление это отношение усредненной по времени силы, с которой молекулы бьют по стенке, к площади стенки.
Пропорциональность силы, с которой молекулы воздействуют на стенку, их концентрации, массе и скорости каждой молекулы качественно понятны. Квадратичный рост давления со скоростью связан с тем, что от скорости зависит не только сила отдельного удара, но и частота соударений молекул со стенкой.
Учитывая связь между концентрацией молекул в газе и его плотностью ( = nm 0 ), можно получить еще одну форму основного уравнения МКТ идеального газа:
Уравнение Менделеева Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)
В результате экспериментальных исследований многих ученых было установлено, что макропараметры реальных газов не могут изменяться независимо. Они связаны уравнением состояния:
где R = 8,31 Дж/(K·моль) универсальная газовая постоянная, , где m масса газа и M молярная масса газа. Уравнение Менделеева Клапейрона называют уравнением состояния , поскольку оно связывает функциональной зависимостью параметры состояния . Его записывают и в других видах:
Пользуясь уравнением состояния, можно выразить один параметр через другой и построить график первого из них, как функции второго.
Графики зависимости одного параметра от другого, построенные при фиксированных температуре, объеме и давлении, называют соответственно изотермой , изохорой и изобарой .
Например, зависимость давления p от температуры T при постоянном объеме V и постоянной массе m газа это функция , где k постоянный числовой множитель. Графиком такой функции в координатах p,Т будет прямая, идущая от начала координат, как и графиком функции y(x)=kx в координатах y,x (рис. 3).
Зависимость давления p от объема V при постоянной массе m газа и температуре T выражается так:
,
где k 1 постоянный числовой множитель. График функции в координатах y,x представляет собой гиперболу, так же как и график функции в координатах p,V .
Закон Клапейрона-Менделеева для идеального газа: исторические предпосылки, формула, пример задачи
Рассмотрение свойств газов в физике в первом приближении основывается на концепции идеального газа. В данной статье подробно изучим эту концепцию и приведем уравнение, которое описывает численно термодинамические свойства упомянутой текучей субстанции. Это уравнение называется законом Клапейрона-Менделеева.
Концепция идеального газа
В школьном курсе физики газовое агрегатное состояние вещества характеризуется произвольным перемещением с различными скоростями всех составляющих его атомов и молекул. Эти частицы считаются в первом приближении абсолютно упругими материальными точками. Они имеют массу, но не размеры. Весь характер их взаимодействия друг с другом заключается в абсолютно упругих столкновениях, в результате которых сохраняется количество движения и энергия. Все перечисленные свойства частиц и их приближения образуют концепцию идеального газа.
Любой реальный газ, будь то гелий, кислород или воздух, можно с высокой точностью считать идеальным, если его давление составляет порядка одной атмосферы и ниже, а температура соответствует комнатной или выше. Если эти условия не выполняются, то газ считается реальным, и для его описания следует использовать уравнение Ван-дер-Ваальса, а не закон Клапейрона-Менделеева, о котором пойдет речь далее в статье.
Предпосылки возникновения уравнения состояния идеального газа
Под уравнением состояния газа идеального принято понимать математическую формулировку газового закона Менделеева-Клапейрона. Как и любое открытие в физике, это уравнение не появилось из неоткуда, а имело вполне определенные исторические предпосылки.
В 60-70-е годы XVII века англичанин Роберт Бойль и француз Эдм Мариотт независимо друг от друга в результате многих проведенных экспериментов с различными газами установили, что произведение объема на давление для закрытой системы с газом остается постоянным для любых процессов, в результате которых температура не изменяется. В настоящее время этот газовый закон носит фамилии названных ученых.
Спустя почти 1,5 века, в конце XVIII — начале XIX веков французы Шарль и Гей Люссак открывают еще два экспериментальных закона в поведении идеальных газов. Они устанавливают прямо пропорциональную зависимость между давлением и температурой при постоянном объеме и между объемом и температурой при постоянном давлении.
Наконец, в 1834 году Эмиль Клапейрон вывел, анализируя открытые предыдущими учеными газовые законы, уравнение Клапейрона. Менделеева фамилия появилась в названии этого уравнения благодаря его вкладу в преобразование исходного выражения к современному виду. В частности, Менделеев ввел понятие универсальной газовой постоянной.
Формула закона Клапейрона-Менделеева
Выше мы дали определение идеального газа, рассказали о законах, которые привели к формулировке универсального уравнения состояния. Теперь пришло время записать это уравнение:
Здесь P, V, n и T — давление, объем, количество вещества и температура, соответственно. Таким образом, произведение объема системы на давление в ней всегда находится для идеального газа в прямой пропорциональности произведению абсолютной температуры на количество вещества.
Коэффициентом пропорциональности является уже упомянутая универсальная постоянная R. Она равна 8,314 Дж/(моль*К). Если 1 моль газа нагреть на 1 кельвин, то в процессе расширения он совершит работу 8,314 Джоуля. Любопытно заметить, что универсальной величина R называется потому, что она не определяется химической природой газа. Для всех чистых газов и их смесей она принимает единственное значение.
Откуда выводится изучаемое уравнение?
Выше мы уже сказали, что Клапейрон свое уравнение получил в результате банального обобщения экспериментальных результатов различных ученых. Тем не менее, закон Клапейрона-Менделеева может быть получен чисто теоретическими методами.
Одним из них является МКТ (молекулярно-кинетическая теория). МКТ рассматривает газовую систему с точки зрения концентрации частиц, распределения их скоростей, учета их масс и следование концепции идеального газа. Универсальное уравнение газа однозначно следует, если применить второй закон Ньютона к процессу упругого соударения частиц со стенками герметичного сосуда. В результате применения МКТ получается выражение:
Это равенство приводит к записанному в предыдущем пункте уравнению, если учесть следующие выражения:
Использование универсального уравнения для решения задачи
Известно, что некоторый газ под давление 2 атмосферы находится в баллоне при температуре 25 o C. Объем баллона составляет 50 литров. Какое количество вещества содержится в баллоне?
Поскольку нам известны 3 из 4-х параметров, то можно применить закон Клапейрона-Менделеева, чтобы найти величину n. Прежде чем это сделать, переведем все единицы в систему СИ:
T = 25 + 273,15 = 298,15 К;
Теперь воспользуемся формулой, получим:
n = P*V/(R*T) = 202650*0,05/(8,314*298,15) = 4,09 моль.
Хотя само значение 4,09 моль является небольшим, количество частиц газа будет гигантским. Чтобы его получить, следует n умножить на NA=6,02*10 23 .
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов и его сравнение с уравнением КЛАПЕЙРОНА-Менделеева.
1-вая модель – это идеальный газ в котором пренебрегают собственным объемом молекул и их взаимодействием, а столкновение молекул друг с другом и с поверхностями считают обсалютно упругим.
Давление – это отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности.
(43.3)
Выражение (43.3) называетсяосновным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n =N / V, получим
(43.4)
(43.5)
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m=Nm0, то уравнение (43.4) можно переписать в виде
Для одного моля газа т=М (М — молярная масса), поэтому
где Vm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pVm=RT. Таким образом,
(43.6)
Так как M=m0NА, где т0 — масса одной молекулы, a NА — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
(43.7)
где k=R/NА — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Уравнение Клапейрона — Менделеева
P – плотность газа, V – молярный объем, T – абсолютная температура, К. m – масса,
R – универсальная газовая постоянная (R = 8,3 Дж ⁄(моль∙К))
молярная масса,
– менее обобщенное уравнение.
Средняя кинетическая энергия молекул. Внутренняя энергия идеальных газов.
Так, как молекулы принимают участие не только в поступательном , но и и во вращательном и поступательном движении энергия будет зависеть от числа степеней свободы.
где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:
Внутренняя энергия идеального газа – суммарная кинетическая энергия всех молекул газа.
Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц.
Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.
http://fb.ru/article/456873/zakon-klapeyrona-mendeleeva-dlya-idealnogo-gaza-istoricheskie-predposyilki-formula-primer-zadachi
http://lektsii.org/15-21064.html