Сравнение уравнений динамики поступательного и вращательного движений

Поступательное и вращательное движение

Движение твердого тела разделяют на виды:

• поступательное;
• вращательное по неподвижной оси;
• плоское;
• вращательное вокруг неподвижной точки;
• свободное.

Первые два из них – простейшие, а остальные представляют как комбинацию основных движений.

Поступательное криволинейное движение. Угол поворота тела

Поступательным называют движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в нем, двигается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Прямолинейное движение является поступательным, но не всякое поступательное будет прямолинейным. При наличии поступательного движения путь тела представляют в виде кривых линий.

Рисунок 1 . Поступательное криволинейное движение кабин колеса обзора

Свойства поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени обладают одинаковыми по модулю и направлению значениями скорости и ускорения.

Следовательно, поступательное движение твердого тела определено движением любой его точки. Это сводится к задаче кинематики точки.

Если имеется поступательное движение, то общая скорость для всех точек тела υ → называется скоростью поступательного движения, а ускорение a → — ускорением поступательного движения. Изображение векторов υ → и a → принято указывать приложенными в любой точке тела.

Понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при наличии поступательного движения. В других случаях точки тела характеризуются разными скоростями и ускорениями.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – это движение всех точек тела, находящихся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывание окружностей, центры которых располагаются на этой оси.

Чтобы определить положение вращающегося тела, необходимо начертить ось вращения, вдоль которой направляется ось A z , полуплоскость – неподвижную, проходящую через тело и движущуюся с ним, как показано на рисунке 2 .

Рисунок 2 . Угол поворота тела

Положение тела в любой момент времени будет характеризоваться соответствующим знаком перед углом φ между полуплоскостями, который получил название угол поворота тела. При его откладывании, начиная от неподвижной плоскости (направление против хода часовой стрелки), угол принимает положительное значение, против плоскости – отрицательное. Измерение угла производится в радианах. Для определения положения тела в любой момент времени следует учитывать зависимость угла φ от t , то есть φ = f ( t ) . Уравнение является законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При наличии такого вращения значения углов поворота радиус-вектора различных точек тела будут аналогичны.

Вращательное движение твердого тела характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением ε .

Уравнения вращательного движения получают из уравнений поступательного, используя замены перемещения S на угловое перемещение φ , скорость υ на угловую скорость ω , а ускорение a на угловое ε .

Вращательное и поступательное движение. Формулы

Задачи на вращательное движение

Дана материальная точка, которая движется прямолинейно соответственно уравнению s = t 4 + 2 t 2 + 5 . Вычислить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды после начала движения, среднюю скорость и пройденный за этот промежуток времени путь.

Дано: s = t 4 + 2 t 2 + 5 , t = 2 с .

Найти: s ; υ ; » open=» υ ; α .

Решение

s = 2 4 + 2 · 2 2 + 5 = 29 м .

υ = d s d t = 4 t 3 + 4 t = 4 · 2 3 + 4 · 2 = 37 м / с .

» open=» υ = ∆ s ∆ t = 29 2 = 14 , 5 м / с .

a = d υ d t = 12 t 2 + 4 = 12 · 2 2 + 4 = 52 м / с 2 .

Ответ: s = 29 м ; υ = 37 м / с ; » open=» υ = 14 , 5 м / с ; α = 52 м / с 2

Задано тело, вращающееся вокруг неподвижной оси по уравнению φ = t 4 + 2 t 2 + 5 . Произвести вычисление мгновенной угловой скорости, углового ускорения тела в конце 2 секунды после начала движения, средней угловой скорости и угла поворота за данный промежуток времени.

Дано: φ = t 4 + 2 t 2 + 5 , t = 2 с .

Найти: φ ; ω ; » open=» ω ; ε .

Решение

φ = 2 4 + 2 · 2 2 + 5 = 29 р а д .

ω = d φ d t = 4 t 3 + 4 t = 4 · 2 3 + 4 · 2 = 37 р а д / с .

» open=» ω = ∆ φ ∆ t = 29 2 = 14 , 5 р а д / с .

ε = d ω d t = 12 2 + 4 = 12 · 2 2 + 4 = 52 р а д / с 2 .

Ответ: φ = 29 р а д ; ω = 37 р а д / с ; » open=» ω = 14 , 5 р а д / с ; ε = 52 р а д / с 2 .

Динамика поступательного и вращательного движений

Тема 2. Динамика поступательного и вращательного движений.

2) Основные характеристики динамики вращательного движения.

3) Работа и мощность. Механическая энергия.

Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.

В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона. Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики.

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила , а также способы их измерения. Масса тела m является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – силаявляется количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам

2. Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

(1)

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

(2)

В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона также можно записать в виде:

(3).

Импульсом (количеством движения) называется векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость.

(4).

Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.

Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид :

(5)

Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном – сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел, т. е.

(6)

где — гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.

Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения . Это означает, что на всякое тело массы m действует сила , называемая силой тяжести.

Когда тело покоится относительно Земли, сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры (или подвеса), удерживающей тело от падения. По третьему закону Ньютона, тело будет действовать на опору (или подвес) с силой , равной по величине и противоположной ей по направлению, т. е. .

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.

Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.

В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя.

Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя равна

(7)

где N – сила нормального давления, — безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом

Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.

Если на вал с диском действуют две силы , то простой опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что , т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.

(8)

называется моментом силы относительно точки О.

Модуль вектора определяется по формуле

(9) ,

где — плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

(10)

называют моментом импульса материальной точки относительно точки.

(11)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки.

(12)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

(13)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы , расположенные на расстоянии от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле , где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера

(14),

где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, — момент инерции относительно новой оси, — расстояние между осями, — масса тела.

Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т. е. является мерой инертности тела во вращательном движении.

Второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:

(15).

Так как , то можно найти и другую форму записи данного закона:

(16).

Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.

Энергия – универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т. д.

Чтобы количественно характеризовать процесс перехода энергии от одного тела к другому, в механике вводится физическая величина, называемая механической работой силы, приложенной к данному телу. Механическая работа — это мера превращения одного вида энергии в другой.

Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей постоянный угол с направлением перемещения , то работа этой силы определяется по формуле

. (17)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной , так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа

(18)

а работа переменной силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:

(19)

При А > 0, при А

Сравнение уравнений динамики поступательного и вращательного движений

На рис.4.6 представлены направления векторов линейной скорости v, тангенциального a_τ, нормального a_n и полного a_полн ускорений в случае равноускоренного (см. рис.4.6,а) и равнозамедленного (см. рис.4.6,б) вращательных движений.

В табл.3 и 4 приведено сопоставление формул кинематики и динамики поступательного и вращательного движений.