Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка

ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Тесты для проверки усвоения пройденного материала

по дисциплине «Математический анализ»

для студентов заочного отделения

Просмотр содержимого документа
«ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»»

Тесты для проверки усвоения пройденного материала

по дисциплине «Мтематический анализ»

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Последовательность , заданная формулой го члена является:

а) возрастающей; б) убывающей; в) неограниченной; г) невозрастающей.

Последовательность , заданная формулой го члена является:

а) возрастающей; б) неубывающей; в) неограниченной; г) ограниченной.

Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) -2.

Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) -2.

Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

Предел последовательности , заданной формулой го члена равен:

а) ; б) ; в) 0; г) 2.

Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

а) ; б) 2; в) 3; г) 0.

Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

Среди перечисленных вариантов ответов выбрать значение предела :

а) 1; б) 0; в) ; г) .

Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

Указать числовой промежуток, на котором определена функция :

Какова область значений функции :

Какова область значений функции :

Какова область значений функции :

Какое из перечисленных свойств относится к функции :

а) функция является чётной; б) функция является нечётной; в) функция является функцией общего вида; г) функция является периодической.

Какое из перечисленных свойств относится к функции :

а) функция является чётной; б) функция является нечётной; в) функция является функцией общего вида; г) функция является периодической.

Какая из перечисленных функций является обратной для функции на промежутке :

Какая из перечисленных линий является графиком функции :

а) кубическая парабола; б) квадратичная парабола; в) гипербола; г) экспонента.

Какая из перечисленных линий является графиком функции :

а) кубическая парабола; б) квадратичная парабола; в) гипербола; г) экспонента.

Какое из перечисленных утверждений истинно? Функция на всей области определения является:

а) неубывающей; б) невозрастающей; в) неотрицательной; г) неположительной.

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Определения и методы решений

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015

Линейные уравнения первого порядка

Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным. Название «линейное» объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y’$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название «однородное» объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_ <1>\left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_ <2>\left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_ <1>=\int f_ <1>\left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Вычислим интеграл $I_ <2>=\int \frac \left(y\right)> =\int \frac =\ln \left|y\right|$.

Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_ <1>\right|$, где $\ln \left|C_ <1>\right|$ — произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_ <1>\right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac<\left|y\right|> <\left|C_<1>\right|> =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_ <1>\right|\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_ <1>\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_ <1>$, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Решив уравнение $f_ <2>\left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^ <-I>$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’+3\cdot x^ <2>\cdot y=0$.

Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^ <2>$.

Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^ <2>\cdot dx =x^ <3>$.

Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^ <-x^<3>> $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название «неоднородное» объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac =\frac \cdot v+u\cdot \frac $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac \cdot v+u\cdot \frac +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac \cdot v+u\cdot \left[\frac +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac =\frac $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.

Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
3. Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac\cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C$.
4. Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’-\frac =3\cdot x$.

Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac<1> $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac<1> \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^ <\ln \left|x\right|>$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac \cdot dx =\int \frac<3\cdot x> \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 11 2021