Старинные задачи по алгебре на уравнения

Решение старинных задач с помощью уравнений
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Описание опыта привлечения исторического материала для изучения отдельных тем по алгебре с целью повышения интереса к предмету.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение старинных задач с помощью уравнений

Предмет: Алгебра, 7 кла сс

Комбинированный урок: урок закрепления и развития знаний, умений, навыков; повторения; проверки знаний; изучения нового исторического материала.

Повысит интерес к предмету путём творческого подхода к изучению исторического материала учащимися; повторить и закрепить теорию по теме: Уравнения; продолжить обучение по применению данной теории на практике – при решении интересных старинных задач.

Создание доброжелательной, деловой обстановки, поддержание состояния уверенности у учащихся в своих действиях;

Проведение мини-экзамена по теории (подготовительного этапа к решению задач);

Решение трёх задач с историческим содержанием;

Познакомиться с сообщениями учащихся о математиках: Пифагоре и Диофанте Александрийском.

I. Организация начала урока (психологический настрой учащихся). Сообщаются: тема урока и его задачи.

II. Проверка домашнего задания: мини-экзамен по теории. Экзамен проходит в виде фронтального опроса или к доске выходят 2-3 ученика и тянут билеты с вопросами.

Вопросы мини-экзамена по теории:

1. Определение уравнения.
2. Определение корня уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области определения уравнения.
5. Определение равносильных уравнений.
6. Свойства, позволяющие из данного уравнения получить равносильное ему уравнение.

Творческое домашнее задание учащимся даётся за неделю до этого урока:

1. Вопросы к мини-экзамену (всем)
2. Подобрать старинные задачи, решаемые с помощью уравнений.
3. Сделать сообщение о математиках: Диофанте Александрийском и Пифагоре (по выбору учащихся).

III. решение задачи № 1

Текст задачи № 1 заранее написан на интерактивной доске. На самостоятельную работу детям даётся 5-7 минут, затем задачи проверяются у 2-3-х человек, которые решили задачу первыми, а затем к доске вызываются ученики, решившие уравнение к задаче различными способами. Работа идёт на интерактивной доске.

Летела стая гусей, а навстречу им летит гусь. «Здравствуйте, сто гусей!» — говорит гусь. «Нас не сто,» — отвечают ему гуси. «Если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четвертьстолька, да ещё ты, гусь, то тогда нас было бы сто». Сколько гусей в стае?

Пусть x – число гусей в стае, то получаем уравнение:

Ответ: в стае 36 гусей.

IV. Динамическая пауза (2 минуты)

V. Проверка творческого домашнего задания: сообщения учащихся о Пифагоре (2-3 сообщения). Докладчики дополняют друг друга.

VI. Решение задачи № 2.

У Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте ещё к ним трёх юношей, из коих Теон – самый способный». Сколько учеников было у Пифагора?

Пусть у Пифагора x учеников.

Ответ: 28 учеников у Пифагора.

VII. Проверка творческого домашнего задания : Сообщение учащихся о Диофанте.

VIII. Динамическая пауза

IX. Решение задачи № 3 .

Задача о Диофанте Александрийском (III в. н. э.). Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Пусть Диофант прожил x лет.

Ответ: 84 года прожил Диофант.

X. Домашнее задание

№ 572, № 575, № 578 (из учебника алгебры)

Поиск исторических задач.

XI. Подведение итогов урока с оценкой проделанной работы .

XII. Рассмотреть некоторые старинные задачи, которые нашли учащиеся (при наличии времени до конца урока).

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. Алгебра – 7. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М. 2009.
2. Интернетресурсы.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по математике «Решение уравнений и задач с помощью уравнений», 6 класс.

Обучение всех детей по единой программе решению уравнений не позволяет каждому ребенку получить знания на уровне его интеллектуальных возможностей. Все учащиеся, без какого-то ни было исключения.

Презентация к уроку математики в классе — комплекте (5,6 класс) по теме «Решение уравнений и задач при помощи уравнений»

Презентация составлена к уроку математики в 5 и 6 классах по теме: «Решение уравнений и задач при помощи уравнений» в классе — комплекте сельской малокомплектной школы.

Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений.

Презентация по теме «Решение уравнений».

План конспект для 6 класса по учебнику «Математика 6 класс» Муравин, Муравина. Урок – закрепления изученного материала по теме: «Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений».

Урок – закрепления изученного материала по теме: «Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений».

План конспект для 6 класса по учебнику «Математика 6 класс. Урок – закрепления изученного материала по теме: «Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений. Продолжение».

Урок – закрепления изученного материала по теме: «Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений. Продолжение».

Учебный модуль по теме » Уравнение. Решение уравнений.Решение текстовых задач с помощью уравнений.»

Данный учебный модуль разработан в рамках персонализированного обучения .Модуль расчитан на 12 часов. Содержитз адания для прохождения уровней цели 2.0,,3.0 и 4.0.В модуле представле.

Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений. 7 класс

Алгебра. Контрольная работа №2. Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений.

Урок решения старинных задач по теме «Решение задач с уравнениями»

Разделы: Математика

Цель урока:

1. Обобщить и углубить знания школьников по теме: Решение задач с помощью уравнений.
2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
3. Развивать творческие способности учеников путем решения старинных задач.

Ход урока

I. Вводная беседа учителя. Из истории уравнений.

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнение первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.

Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н.э., и в папирусе Ахмеса, например, содержащие задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: “хау” или ”аха. Оно означает “количество”, ”куча”. Так называемое ”исчисление кучи”, или “вычисление хау”, приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

II. Решение старинных задач.

1) Старинная русская задача (XVII век)

Один человек решил узнать, который теперь час. Ему ответили, что две пятых прошедших часов от полуночи до сего времени равны двум третям оставшегося времени до полудня. Смогли бы вы определить, сколько сейчас времени.

Промежуток от полуночи до полудня составляет 12 часов. Если обозначить время от полуночи до искомого момента через t, то можно составить уравнение:

часов.

Ответ: 7 часов 30 минут утра.

2) Задача 2. Пифагор Самосский (около 580-501 г. до н.э.)

Поликрит из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрит, – Отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча укрепляет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины. ” Сколько учеников было Пифагора.

Пусть x число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:

Ответ: 28 учеников.

3)Задача 3. Герон Александрийский (I до н.э.)

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй за 2 дня третий за 3 дня и четвертый за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейны четыре источника вместе?

Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполняют бассейн.

Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется дня, т.е. чуть меньше половины дня.

4) Задача 4. Евклид (III в. до н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мелкими шагами. Жалобно охал осёл, непосильно ношей придавлен. Это подметивший обратился к сопутчику с речью: “Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девочка? Нёс бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру. Если ж ты у меня одну взял, то мы бы сровнялись”.

Сколько нес каждый из них?

Если х – груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, (х+1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1 , т.е. (х-3). Таким образом,

Груз мула равен 7, груз осла равен

Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

В 1881г. была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая, как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известным под названием ”Бахшалийской рукописи”, содержится такая задача:

“Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?”

Пусть первый дал х то следующие дали 2х, 6х, 24х, все же вместе дали 132.

Следовательно, первый дал 4, второй 8, третий 24, четвертый 96.

В своей «Всеобщей арифметике» Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Чтобы решить задачу, пишет Ньютон, нужно лишь «перевести её с обыкновенного языка на язык символических выражений» язык алгебры. Перевод этот означает составление уравнения, решение которого ведёт к решению поставленной задачи.

Вот один из примеров, данных Ньютоном: Купец имел некоторую сумму денег. 100 фунтов из неё он затрачивал каждый год на содержание своей семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну её треть. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было у него вначале?»

На обыкновенном языке	На языке алгебры
Купец имел некоторую сумму денег	x
В первый год он истратил 100 ф., и у него осталось:	x-100
К остатку он добавил третью его часть, и у него стало:
В следующем году он вновь истратил 100 ф., и у него осталось:
Увеличив остаток на , он имел:
В третьем году он снова израсходовал 100 ф., и у него осталось:
Увеличивая снова остаток на , он имел:
Теперь сложившаяся сумма вдвое больше первоначальной:

Таким образом, заключает Ньютон, задача выражается уравнением:

решив которое находим х=1480.

III. Итог урока.

Ребята, с задачами каких стран вы познакомились, какие ученые создали эти старинные задачи.

Какая задача вам понравилась больше всего и почему.

IV. Домашнее задание.

Задача Бхаскара (Индия).

Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

170; 40. Вводя вспомогательное неизвестное, Бхаскара принимает, что первый имеет 2х – 10, тогда по условию задачи второй имеет х+100. Второе условие приводит к уравнению.

Решение «Старинных задач по математике»

Данная презентация может быть использована на уроках математики, а так же на внеклассной работе с детьми. Здесь рассмотрены старинные задачи, которые можно решать современными методами с помощью уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Решение «Старинных задач по математике»»

Старинные задачи по математике

Кронштатова Ирина Юрьевна

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

задачи нельзя решать современными методами

• Изучить различные виды старинных задач
• сравнить методы решения задач из первых учебников математики с современными

• Сделать выводы

• познакомиться со способами решения старинных задач авторов первых учебников математики;
• решить старинные задачи более привычным для нас способом — путем составления и решения уравнений;
• развивать логическое мышление, умение анализировать, сопоставлять факты, отстаивать свою точку зрения, делать выводы

На сегодняшний день старинные задачи необычны для современного ученика и поэтому позволяют проверить сообразительность и умение решать неординарные задания, мотивируют учащегося на изучение математики

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли

и возможность порешать

старинные задачи и

сравнить их решение с

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э.

Математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии

Первый печатный учебник математики на русском языке появился в 1703 году. Это была «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. 50 лет это был единственный русский учебник математики. М.В.Ломоносов назвал его «вратами всей учености».

Задача из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 г. до н. э.).

«Количество и его четвертая часть дают вместе 15». Найди количество.

В папирусе Ахмеса задача решается «методом ложного положения». Решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Так и получается неизвестное 12.

Решение с помощью уравнения

• Пусть х это само число
• Тогда его четвёртая часть это 1/4х или 0,25х
• Составляем уравнение

Задача Пифагора (около 580-501 г. до н.э.)

«Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины». Сколько учеников посещало школу Пифагора?»

1-1/2 -1/4 -1/7 =1-25/28 =3/28. Три женщины составляют 3/28 всех учеников школы, значит 3:3/28 =3х28/3 =28. Ответ: 28 учеников .

Решение с помощью уравнения

Обозначим количество всех учеников школы буквой у, тогда 1/2 у+1/4 у+1/7 у +3=у

Ответ: в школе Пифагора 28 учеников.

Как разделить орехи? Из книги Магницкого Л. Ф. 1703 год

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

Решение из книги

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3 x 4 = 12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130 : 13 = 10 орехов, а большая 130 — 10 = 120 орехов.

Решение с помощью уравнения

• Пусть меньшая часть это х
• Тогда большая часть это 130 – х
• Составим уравнение

Х= 10, 10 орехов меньшая часть, тогда 130-10 = 120 орехов большая часть

Старинная китайская задача

В клетке находится неизвестное

число фазанов и кроликов. Известно,

вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги

Узнать число фазанов

Логическое китайское решение

Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? — 70 (35·2 = 70). — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. — Сколько их? — 24 (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12 (24:2 = 12). — А фазанов? — 23 (35 – 12 = 23).

Решение с помощью уравнения

Х = 12 т. е. кроликов 12,

а фазанов 35 – 12 = 23

Воз сена из книги Магницкого Л. Ф.

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца.

За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена.

Решение из книги

Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съедает 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съедает 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съедает 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22=6/11 (шесть одиннадцатых) месяца .

Решение с помощью уравнения

Пусть стог сена – это 1.

Тогда скорость, с которой лошадь поедает сено 1 стог в месяц

У козы скорость1 стог за 2 месяца, т. е. – 1/2

У овцы скорость 1 стог за 3 месяца, т. е. – 1/3

Ответ : 6/11 месяца

• Задумайте число
• Прибавьте 2
• Результат умножьте на 3
• Вычтите 5
• Вычтите задуманное число
• Умножьте на 2
• Вычтите 1
• Назовите мне результат

« Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном

• Изучили историю возникновения старинных задач;
• Изучили различные виды старинных задач;
• Сравнили решение старинных задач с современными методами;
• Ознакомились с нетрадиционными методами решения задач.

Гипотеза о том, что старинные задачи нельзя решать современными методами не подтвердилась .

Да, надо математику любить

И не считать ученье за мучение!

Всё в жизни пригодится, ты учись,

Учись и не жалей на то мгновения!

• Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи. Москва. 1988г.
• Петраков И.С. Математика для любознательных. Москва. 1990г.
• Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.
• Нагибин Ф.Ф., Капин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. сред шк. – М.: Просвещение, 1988.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980.
• http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachki/denegnir-racheti-1.html
• http://www.pavelbers.com/Arifmetika%20Magnizkogo.htm
• http://kopilkaurokov.ru/
• http://igraemsdetmy.ru
• http://uslide.ru/