Стационарное одномерное температурное поле описывается уравнениями

Теплопроводность при стационарном режиме

Теплопроводность при стационарном режиме

• В установившемся состоянии температурное поле T (x, yₜr, t) не зависит от времени. То есть,^ = 0.Дифференциальное уравнение теплопроводности (II-55)^ = aV2T (IV-I) DX is (П-56 И Р-57) Eh2du * Ldz2(IV-2)для решения конкретной задачи в Формулу (IV-2) необходимо добавить соответствующее граничное условие. Рассмотрим несколько простых случаев Определение стационарного температурного поля для объектов различной формы. § 1.

To рассмотрим теплопроводность тела плоская стенка неограниченная плоская стенка с подходящим температурным полем Его толщина равна 6, его поверхность параллельна плоскостям Y, z декартовой системы координат и находится при x = 0 и x = 6(рис. IV-1).Давайте поддержим его этими поверхностями Соответственно, задаются температуры 7 \и Т₂, то есть граничные условия типа 1(Глава 2,§ 5).

Выражение (IV-3) немедленно интегрируется. Людмила Фирмаль

Если Γ и T₂ не зависят от координат y и z, то, очевидно, искомое температурное поле Уравнение (IV-2), которое зависит от этих координат и определяет температуру T (x), принимает вид

= 0 (IV-3) dx2V ’при граничном условии. Г= 7 \ при x-0 (IV-4) T-X Tn-6.Общая форма решения T (x)=C₁X4-C₂,(1V-5).Где C. И C₂-произвольная константа, определяемая из граничного условия. (IV-4).фактически, если вы установите x = 0 в(IV-5)и используете первую формулу (IV-4), вы получите 2-е условие (IV-4) и (на основе) Л=С₂, (IV-6), x = 6. (IV-6) есть фига IV -!.

Теплопроводность плоской стенки т = С.6+С₂ = С.6+ 7 ′., (IV-7) где C = ^, 16 наконец, решение уравнения (IV-3) при граничном условии(1V-4) видно из (IV-8)(1V-8 T(x)линейно зависит от x, и эта зависимость T (x)= f (x)показана на рисунке вдоль толщины стенки. IV-1.Тепловой поток q можно определить по закону Фурье (1-3): q = — XgradГ, или В нашем случае, дифференцируя распределение температуры по толщине стенки (IV-8), мы видим, что dxowhence (IV-9) получается из Формулы (IV-9), которая равна 7′. > Flux тепловой поток положительный, то есть он направлен вдоль положительного направления оси X. В 7 \7 ′ 2 он направлен в противоположную сторону.

Этот результат является результатом второго закона термодинамики. В частности, тепло передается от нагретого тела к неотапливаемому. Количество тепла, проходящего через стенку за единицу времени, легко вычисляется с помощью (IV-9), q = ^ = X (T₁ — ^ 7′) 4 -/⁷. (1V-10) перепишите уравнение Фурье (P-54) в цилиндрической системе координат с цилиндрическим wall. To сделайте это, декартовы координаты и Цилиндрические координаты (рис. IV-2), x = r cos B, y = r sin B, z = R.

После проведения изменения этой переменной форма уравнения цилиндрической системы координат (P-54) равна dT / dTT- = а-э \ ДГ * \ _ ДТ Р ДГ \ &т р * ДВ. Рассмотрим 1D процесс стационарной теплопроводности на бесконечной цилиндрической стенке (рис. IV-3).Если на рисунке IV-2.Соотношение Прямоугольные и цилиндрические координаты T рис. 1в-3.Теплопроводность цилиндрической стенки, внутренней (r = r) и внешней (r-RJ) поверхности стенки.

Они не зависят от угла Вига, искомое температурное поле не зависит от этих переменных, и если оно стационарно, то уравнение (IV-11) имеет вид (FT (g) 1 dT ® Q dr-r dr (IV-12) при заданном граничном условии типа 1 R = r₁T =Г= = ₂ ₂t =t 決定 определяет распределение температуры по всей толщине стенки. Формула (IV-12) Переписывание (IV-13) (IV-14) Теперь 1 раз integration. As в результате после 2-го интеграла получаем общее решение уравнения. (IV-14): T(g)= CJn g 4-C₂. (IV-15) постоянная интеграция C! И С₂ должно быть определено из граничного условия(IV-13).Р= rxT₁=С₁1пг₁+С₂]и (IV-16)⁼ГГ2Т2⁷ ⁷1ПГ₂4″ С₂.

Если вы решите для (IV-16) относительно Ca, вы найдете первую интегральную константу Ca≥1n-и вторую константу Ca₂C = Tj-Cjlnr ^-br ^ linr ^ 1гг-ЛПП. ’1′ 1 замена Найдя значения Cb и C₂ в Формуле (IV-15), получим искомое распределение температуры по всей толщине цилиндрической стенки In-T ® =Tₗ+(T,-T₁) — I. (IV-17) ’ I следовательно T(g） Логарифмически зависит от радиусной координаты r. плотность теплового потока q определяется по закону Фурье. Основываясь на (IV-17), существует проходящее количество тепла.

Цилиндрическую стенку, которая указывает на единицу длины трубы, можно определить по формуле: Q-qF-q-2nr = inK (T1-T.). (IV-19) — — — в ri Q естественно не зависит от R. Тепло не будет накапливаться anywhere. By по аналогии с многослойной цилиндрической стенкой(1-6) принимается тепловое сопротивление многослойной цилиндрической стенки (рис. IV-4). Равна сумме тепловых сопротивлений отдельных слоев. На основе этого утверждения можно использовать формулу (IV-19) для создания формулы, определяющей количество тепла, которое проходит через нее.

Q-присваивается единице длины стены. Преобразуйте уравнение сферической стенки (P-54) в сферическую систему координат. Используйте его для этого Следующая зависимость между Декартовыми координатами и сферическими координатами (рис. IV-5): x = r sinccosф, y = r sin 8 sinФ, z = r cos 8.Проводимость многослойной цилиндрической стенки В В сферической системе координат форма уравнения (P-54) равна dTha2?Как туда добраться, 2 at, 1 d F. dT \ₜdtL3r3g dr’g2sinea\ ae /1_g2sin26dF2] (IV-2I) рассмотрим стационарный процесс Теплопроводность внутренней поверхности (r = rx) и наружной поверхности (r =r₂) сферической стенки (оболочки) (рис. IV-6) соответственно.

Т₂. Семь Т₂ является постоянным. То есть она не зависит от направления, которое определяется углом 8 и cp. Поэтому требуемое температурное поле сферической стенки не зависит от этих переменных、 Функция радиальной переменной r. вид дифференциального уравнения (1V-2I) в этом случае равен IV-5.Корреляция декартовых и сферических координат IV-6. Для решения задачи теплопроводности граничного значения сферической конформации (IV-22, IV-23) необходимо определить распределение температуры по всей толщине сферической стенки. Переписывание Формулы (IV-22） (Ив-24) \ m2dr доктор! сначала в результате первого интеграла получается dr r* второй .

Интеграл дает Г ® =Г (IV-25).Общее использование граничных условий (IV-23) Решите уравнение (1V-25) для определения любых констант Ci и C2:r — — — rx m \ — — ^ + c2, T \ A = — — — ^ + C2. для r = r2 G # Если вы решите эти уравнения относительно C и C₂, вы получите 1 _ _ _ _ _ 1_ Заменяет \ G «-G1 G1 gg и G₂-G1 Cx и C₂ общим решением (IV-25).Упрощенный, наконец m = r = +(T₁-t₁) r \ yr от Gg-gx (IV-26) (IV-26), температура T (g） Она изменяется по толщине сферической стенки вдоль гиперболы. Определите тепловой поток из раствора (IV-26) — CL-L) ’ 1 ’» количество тепла, передаваемого через сферу 1 yy-yy.

В единицу времени, 2 =₉Г=₉.4лг2 = 4ях (л-Г₂) -!он равен а^ -. (IV-27) / ■ » — ’ 1 не зависит от r по тем же причинам, что и для цилиндрических стенок.§ 2.Теплопроводность тела с Внутренние источники тепла процессы теплопроводности в твердых телах обусловлены внешними условиями, то есть распределением температуры и теплового потока Подвод (отвод) тепла от поверхности тела и образующейся в результате внешней среды.

Математически это выражалось в выделении определенных граничных условий на поверхности тела. Рассмотрим процесс теплопередачи, когда помимо такого внешнего источника тепла существует еще и внутренний источник (сток), который распределяется определенным образом. Объем тела. Вы можете привести много примеров таких processes. It ограничивается упоминанием о том, что тепло образуется, когда электрический ток протекает через проводник.

Тепло Количество тепловыделяющих элементов выделяется и в замедлителях реактора. Когда в рассматриваемом объеме тела происходит определенная химическая реакция, он высвобождается(поглощается） В таком вопросе теплопроводности желательным обычно является распределение температуры внутри тела субъекта, а мощность внутреннего источника тепла (стока) принимается во внимание Это было дано. Мощность источника (стока) — это количество тепла, которое выделяется (поглощается) единицей объема тела за единицу времени.

Эта сумма показана в qᵥ、 Килоджоули / кубический метр / сек (kA s /l13-sec).В зависимости от характера процессов, происходящих в рассматриваемом теле, источник тепла (Сток) может выбираться по-разному. Или концентрируйтесь на определенной части или точке объема тела в течение определенного времени, или равномерно распределяйтесь по всему объему, в зависимости от температуры. Уравнения Теплопроводность при наличии внутреннего источника тепла описывается в виде cp% — = Ky’t +qᵥ. (IV-28) изменение теплоты на единицу объема за 01 единицу времени、 .

Здесь имеет место не только процесс теплопроводности, который является первым членом в правой части формулы (IV-28), но и выделение (поглощение) тепла в единице объема qv, которое мы рассмотрим ниже. Рассматривается задача о постоянном во времени и равномерно распределенном по всему источнику тепла. Теплопроводность бесконечной стенки с внутренним источником тепла плоскость YY и неограниченная стенка (рисунок IV-7) очищаются с обеих сторон при постоянной температуре жидкости Tf. Коэффициент теплопередачи .

A и выход равномерно распределены Объем qᵥ стенки источника тепла равен given. It необходимо найти распределение температуры по всей толщине стенки. Состояние поверхности стенки x = — I n x = I является постоянным, то есть, В зависимости от координат y и z температура будет функцией только от x, а уравнение (IV-28) будет иметь вид xs_ ⁼vv IV IV’2⁾.Однако, — 1 — = а(Тх ₌ / — г.) (IV-30) dx x = 1 * последний и В других случаях источник тепла может зависеть не только от координат, но и от температуры. Для аналогичных условий симметрия на поверхности x—I .

Температурное поле для плоскости x = 0 может быть заменено условием dx x-o (IV-31).От температуры очищающего раствора вводят Счетную температуру (IV-32)и затем кромку Задача (IV-29 напишите qydx2X dx x> = Q. интегрируйте уравнение (IV-33).d / \ _ _ _ _ _ Chu ’dx \ dx j X и IV-31) re — (IV-33) (IV) B 7 1 Tf X g *’ / 1 1 x рисунок IV-7.Теплопроводность плоской стенки с источником тепла после первого уплотнения приобретает вид (IV-35), а после второго уплотнения общий раствор (IV-33) получается в виде x 4-Cj. х 4-Cₜ. Граничное условие (IV-36) (IV-34) используется для определения констант /

Cx и C₂. Из (IV-35) и 2-го граничного условия (IV-34), C,= 0. dx (IV-37) в начале условия, где x = I (IV-34), получаем 2A. то есть, подставляя значение константы произведения С₂ в (IV-37), получаем решение вида (IV-38). Решение квадратично зависит от x (параболически).С другой стороны, если не было внутреннего источника, зависимость была линейной[ссылка(Iv-8)].Представьте себе решение(IV-38) Обобщенная координата. Если вы выбираете как раздел/2Liv, то все термины (IV-38), количество с размером температуры, и половина своей толщины / характерного размера стены.

• Левая сторона (IV-39) (IV-39) является безразмерной температурой поиска. А правая сторона содержит независимые переменные в виде безразмерных координат-y и комплексных параметров Виде био-стандартом. Следовательно, (IV-39)-это (P1-13a) * q.. l2(характеристическая температура Oo = — ^ y — |является специфической функцией вида, которая получается на основе анализа） Решите уравнение (IV-33) с граничным условием (IV-34).Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла делают цилиндрическую стенку (рис. IV-8) однородной.

Распределенный по всей его толщине источник тепла охлаждается снаружи жидкостью с температурой Tf \коэффициентом теплопередачи a и прочностью источника тепла qᵥ.It требуется Найти распределение температуры= = T-Tf по толщине стенки. •В этом случае вводить параметрические критерии не требуется. Если полый цилиндр в вопросе можно рассматривать Для d (g) используется уравнение dr2g, поскольку если температура окружающей среды.

Есть рисунок 1В-8.Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла chu g, Cx dr X 2. Людмила Фирмаль

Tf постоянна, то желаемое распределение температуры зависит только от радиальных координат. на внешней поверхности цилиндрической стенки dr X (IV-40) r = r, предполагая, что теплообмен происходит по закону Ньютона,=: ab |(IV-41)dr r =rₜ (Ив-42) рублей. df> dr тогда dr \ dr J X если записать формулу (IV-40) в виде интеграла, то получится 1 2. ′ g (IV-44) итерационно интегрируют и получают общее решение уравнения (IV-43) 0 =—+Cilⁿr+ C»- Используйте (IV-45) A 4 граничных условия (IV-41) и (IV-42) для определения любых констант Cx и C₂.

Из условия (IV-42), M, C, ₀dr r ^rₜ2X q», то есть из условия (IV-41) определим С₂ отсюда (IV-45) и подставив значение и С₂ получим конкретное решение формулы(IV-40). Представьте себе решение (IV-46) с цилиндрической стенкой (IV-46) с обобщенными координатами(1V-46).Разделите все члены (IV-46) и выберите внешний (охлаждающий) радиус в качестве характерного размера С поверхности r2 цилиндрической стенки получаем O 4X. левая сторона (IV-47) является безразмерной искомой температурой, как и в(1V-39), а независимая переменная переходит в правую сторону. Джи! составной параметр в виде ссылки Biot, в виде g₂.

Как и в случае (IV-39), Формула (IV-47)является специфической функцией вида(1P-13a).Для цилиндрических стержень (r,= 0)обобщенная зависимость (IV-47) принимает вид (IV-48)§ 3. Теплопроводность тела с 2-мерным температурным полем 2-мерное температурное поле T-f (x, y) Получение аналитических решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и граничным условиям, рекомендуется для объектов простой формы. Для тела сложной формы решением является.

Громоздкие, в некоторых случаях недоступные. Тогда для фактического расчета аналитическое решение либо упрощается одним из численных методов аппроксимации, либо ставится задача Решайте численно в электронных вычислительных машинах и тому подобное. Мы найдем аналитическое решение дифференциального уравнения для некоторых граничных условий, которые будут представлены ниже.

Для двумерного Формат температурного поля уравнения T = T (x, y) (P-54) имеет вид^ 4-^ = 0. в качестве решения dhadu1 (IV-49)мы применяем метод разделения переменных. Найти решение уравнения в виде Произведение 2 функций, то есть T = f(x, y)= X (x)Y (y), (IV-50), где X (x) — функция только переменной x. Y (y) является функцией только переменной y. Формула т из(IV-50) (1V-49), после деления на X и Y,\ _dtY__________ 1 вы получите d * XY dy * XX1 (IV-51).Поскольку левая сторона (IV-51) не зависит от x и равна значению (правая сторона), это если вы не зависите от y, общие (оба) значения не зависят от x или y. таким образом, общее значение (для обеих частей) уменьшается до постоянного значения. Это полезно для принятия формы k2.

Как и в (IV-56), напишите общее решение (IV-53) X = Cxeⁱkx+C₂e〜ⁱkx, (IV-59).Здесь (\и С₂-произвольные константы. Однако формулы e1x и е-1 actually на самом деле фактические значения х, кроме Х = 0.Используя Эйлера официальный e±ТТХ₌потому что£Х±З Син х (ИЖ-60) (ИЖ-59)* х — сов / экс-ЖБ грех КХ. (ИЖ-61） Можно написать общее решение Формулы (IV-59) на основе (IV-60) в виде T = x XU =(AcosЛх4-Bsin KX) (SEC>〜J-de-K>) (IV-62).

Применяйте его для решения конкретных задач. Теплопроводность плоских стенок с 2-мерным температурным полем рассмотрим конкретную задачу теплопроводности плоских стенок (рис. IV-9).Пусть T-форма температурного поля на стене = /(х,//), температуры в направлении оси Z во всех точках (вдоль стены толщина) X = СЈ е ’ * — r4C₂e -и KX = Ки(coskx + я грешу опций)-| −4- СГ (потому что / с GX-мне грех КХ)=(СЈ-Ф-C₂) потому что с KX + я (Cₜ-C₂） грех КХ — = а потому что КХ ^ — ПБ грех КХ -, (а = с ^ СГ, 5 = ^ −0.).

Тот же смысл. Избыточная температура(гл. Уравнение Лапласа (P-56) для этой задачи в 111,§ 2) имеет вид dx2du2. Граничное условие типа 1 O = T-Ta = 0 задается для x = 0 и x = L. где 0-искомая избыточная температура стенки. Ta-поддерживается температура боковой стенки Постоянный. (IV-63) (IV-64) 0 — > 0 как y — > — oo. (IV-66) (рисунок 1V-9) рисунок IV-9. Теплопроводность в 2D температурном поле, Т= / (*•У) где 7 \ — температура на нижнем конце (см. Рисунок). 1В-9) стены поддерживаются постоянными.

Решением уравнения (IV-63) будет уравнение (1V-62). в последнем случае абсолютная переменная температуры T заменяется избыточной переменной F. Используя граничные условия (IV-64 и IV-66), определите постоянные коэффициенты A, B, C, D. Из первого условия(1V-64) выполните x-0 и A-0. x = 0 должен быть равен нулю, но cosx |z₌ ₀ = coso = 1, то есть если он не равен пуле, то коэффициент a должен быть равен нулю. Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, а именно, они не равны нулю Аналогично коэффициент B равен нулю, поэтому если x = L, то требуется sinkL 0.Значение нетривиального решения, удовлетворяющего границе уравнения (IV-63) .

Условие (IV-64) называется собственным значением, а нетривиальное решение этой задачи называется собственной функцией, соответствующей заданному eigenvalue. So кл- ПЛ, вот н= 0、1、2、3、…в результате k>/ / L, k₂-2n / L,…kₙ= !! Си.,…Из условия (IV-66) следует, что коэффициент C = 0 (y — * oo, если e * y неограничен） Рост.) При A = 0, C-0 решение(1V-62) не может принимать вид^-BDe sin ^-^-x ^ =£e sin ^ — ^ ^ x ^ (IV-67) решение (IV-67) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1V-63). любое натуральное значение n. из полученного решения (IV-67) видно, что для 7 -Ta 0 условие (IV-65) не выполняется для выбора E-En. 0 после этого .

Единственным решением проблемы является тривиальное решение 0 = 0.С другой стороны, сумма любых 2 (и, следовательно, любого конечного числа) решений линейных однородных производных Уравнение также является решением. Если мы суммируем число решений типа (IV-67) до бесконечности, то увидим, что мы можем выбрать E = En так, чтобы условие (IV-65) было выполнено(или、 Условие (IV-66)] и бесконечная сумма d = 2£e_T «sin (- ^x’) (IV-68) сходятся, а краевые задачи (IV-63), (IV-64), (IV-65) и (IV-66) сходятся.

Как найти Ep Используйте граничное условие (IV-68) (IV-65). если y = 0, то форма выражения (IV-68) равна (IV-69). чтобы понять формулу (IV-69), вспомним следующее положение из математики. Функция является F (x)с периодом 2n дифференцируема или, по крайней мере, кусочно дифференцируема и может быть расширена рядом Фурье следующих форм: где a0, an и bn Величина, которая называется коэффициентом ряда Фурье и определяется по формуле: lnp-j /(x) cosnxJx (l = 1,2 t 3,…(IV-71) — — — l l°0 = ’ T (IV-713) — — — l l 6n = — J — (F (x) sin nxdx(n = l, 2, 3. ). л.(ИЖ-72) с / — — — Л. Если F (х) нечетная функция (χχ) потому что NX-это странно. Помнишь? В случае нечетной функции выполняется равенство f (- x)= — f (x).

Тогда об этом л§f (x) dx = 0-и, следовательно, в случае (IV-71) an = jf (x) cos nx dx = 0(n = 1, 2, 3,…). — Я имею в виду… Вид ряда Фурье нечетных функций (IV-70) имеет вид f(x)= S b sin px. Чтобы определить bn из (IV-73) n = I (IV-72), для четной функции используйте равенство f (- X) 0), то, изменив переменную, можно переписать Формулы (IV-73) и (IV-75) в виде ZW = BS&». грех (- ПХ） (IV-76) и L sino теперь возвращаются к Формуле (IV-69).

Положим Dx)=в этом случае Формулы (IV-69)и(IV-76) идентичны. Таким образом, выражение (IV-69) представляет собой ряд Фурье следующих констант: Интервал 10, ZJ(Z7 > 0).Константа En равна Ln и по формуле (IV-77) y-x)/ x, где n = 1,2,3……….(IV-77) 0 n = 1, 3, 5, cos pl—1 = n = 2, 4, 6, cos pl-4-1 и En = 0.Конкретные решения (IV-68) могут быть записаны в окончательном виде (IV-78).Здесь мы используем следующие результаты: если функция Dx) с периодом разлагается равномерно В случае сходящегося ряда последний должен быть ближе к Фурье. (Серия (IV-78) четко сходится равномерно.

Отметим, что согласно (IV-78), температура стенки в любой точке не зависит. Теплопроводность в случае учета отсутствия теплового потока на стене. Из полученного решения также ясно, что если = 0, то решение 0 = 0.§ 4. При передаче тепла от жидкости (а.) до падения теплопроводности в ребрах определенных пересечений через сплошную стенку к газу (А₂), общее тепловое сопротивление!K определяется. 4 -= по формуле (1-12)-+ 4-± ИЖ — ⁷⁹ > к-Аль — Xa₂ последний срок 1 /a₂ вносит наибольший вклад в общее тепловое сопротивление, 1, а в некоторых случаях и 2-х значное число больше, чем первых 2-х значное число членов 1 / aP обычно, a₂ не может быть увеличен.

Кроме того, для усиления теплопередачи поверхность стенки со стороны газа увеличена ребрами. Рассмотрим теплопроводность некоторой кромки Раздел 1112).Упростите фактический процесс и предположите следующее: 1)температура ребра T изменяется только вдоль оси Z. 2) тепло передается только в окружающую среду Верхняя (Lb) и нижняя (Lb) поверхности ребра. 3) коэффициент передачи тепла от края нервюры к окружающей среде a постоянн значение, и поток тепла Формула = a (T-T.), (IV-80), где Tf-температура окружающей среды.

Выведем дифференциальное уравнение теплопроводности для ribs. To для этого создадим уравнение теплового равновесия выделенного объема qz2hb-qz + bz2hb-a (2b & z) (T-Tj)= ребро в виде 0 (рисунок IV-10).Разделите все члены полученного уравнения на 2 hb и найдите ограничение Az O (IV-81) dz h. подставьте (IV-81) вместо q. Значение из уравнения закона Фурье (1-Za). в результате получаем искомое дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого ребра dza.

Дополнительные граничные условия: 1) t = Tda (IV-83) решение z = O, z-L обозначается обобщенной переменной (III-13a).Введение температурных безразмерных параметров (IV-84） ’W-координата 2 tf= -^ -. (IV-85) (IV-82) эталонный Bi = — y и параметрический эталонный P = — (для характерных размеров ребер、 Его длина L и половина толщины L). в этом случае наиболее удобное для решения сочетание критериев Bi и P принимает вид: условие задачи обобщенной переменной описывается следующим образом:.

Дифференциальные уравнения (IV-82) (IV-86) дополнительные граничные условия (IV-87) и решение системы br = o = 1 (IV-88) (IV-86, IV-87, IV-88) получены с помощью гиперболической функции в виде Или позвольте мне ввести характеристики эффективности реберной кости 8-NZ-(THN) sh NZ (IV-89) chN (l-Z) ch N (IV-90).Используйте отношение тепло которое на самом деле в качестве его меры Тепло, рассеиваемое поверхностью ребра, рассеивается, если температура всей поверхности ребра равна Tw. As в рассматриваемом случае и эффективность ребер Формула fOdZ-т — — — — — — — — — — — 5-L «1-г > I» (IV-91) о (IV-92) может быть определена.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Определение переноса теплоты теплопроводностью было дано в § 2.1. Далее даны основные аналитические соотношения процесса теп­лопроводности.

Дифференциальные уравнения теплопроводности. Теория теплопровод­ности является феноменологической теорией, она не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается опи­санием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.

Дифференциальное уравнение энергии для твердого тела, как было показано выше, принимает вид (2.23):

выражение оператора Лапласа в декар-

Товой системе координат; а — коэффициент температуропроводности,

Если в, теле отсутствуют источники теплоты Q„ — О, то
T(X, у, z, x) удовлетворяет дифференциальному уравнению Фурье:

При стационарной теплопроводности Dt/Dx = 0 и T (х, у, Z) должно удовлетворять уравнению Лапласа

При стационарном тепловом режиме и наличии внутренних источ­ников теплоты температурное поле описывается уравнением Пуассона

Для одномерного температурного поля, когда температура изме­няется только вдоль оси х, уравнение (2.63) принимает вид

В цилиндрической системе координат, когда температура изменяется только по направлению радиуса г, уравнение одномерной теплопровод­ности будет

В сферической системе координат

Уравнения (2.67) — (2.69) могут быть представлены в общей форме Dt ( D2T Г Dt Qv

Где г — текущая координата; Г — постоянное число, равное для пластины Г = 0 (г — х), для цилиндра Г = 1 (г = г) и для шара Г = 2 (г = /•).

Для стационарного температурного поля уравнение (2.70) принимает вид

Дифференциальные уравнения теплопроводности отражают общий характер процесса, каждое из приведенных уравнений имеет множество решений. Для получения решения, соответствующего конкретной единичной задаче, необходимо задание условий однозначности. В усло­вие однозначности входят геометрические условия, физические пара­метры материала, начальные условия и граничные условия. Условия однозначности содержат описание всех частных особенностей процесса,
которые выделяют единичное явление из всего класса явлений тепло­проводности. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает процесс.

Физические условия определяют числовые значения всех физических параметров тела, входящих в дифференциальные уравнения тепло­проводности и граничные условия. При решении задач с внутренними источниками теплоты физические условия характеризуют также знак и распределение величины Qv.

Временные условия или начальные условия определяют температур­ное поле (распределение температур) в начальный момент времени и заключаются в том, что для начального момента времени х0 должна быть известна функция T (х, у, Z, т0).

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на границах тела и могут быть заданы следующим образом.

Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры на поверхности тела в виде функции

Функция задана в некотором интервале времени, в течение которого изучается процесс. В частном случае, когда температура поверхности постоянна, то Tc = const. Этот случай может наблюдаться при интен­сивном теплообмене со средой (например, при кипении или конден­сации на поверхности тела), тогда температура поверхности Tc может быть принята равной температуре среды 1Ж.

Граничные условия второго рода состоят в задании плотности теплового потока на поверхности тела

В частном случае плотность теплового потока может быть постоянна Qc = const. Этот случай может наблюдаться при нагревании тела внешним электронагревателем или при нагреве излучением в высоко­температурных печах.

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры окружающей среды и интенсивности теплообмена на поверхности тела. Эта интенсивность теплообмена оценивается коэффициентом тепло­отдачи а, а тепловой поток на поверхности пропорционален разности температур окружающей среды £ж и поверхности тела Tc. С другой стороны, плотность теплового потока может быть выражена в соот­ветствии с законом Фурье.

С учетом (2.7) и (2.8) граничное условие третьего рода запишется в виде

Граничное условие третьего рода широко используется на прак­тике. В задачах теплопроводности при условии оеД-юо, соответствую­щем условию Bi = (а/)Д -> со, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. При теплообмене большой интен-

5 А. В. Чечеткин, Н. А. Занемонец
Сивности температура поверхности практически становится равной темпе­ратуре омывающей ее жидкости Tc (т) = Tx (х).

Граничные условия четвертого рода характеризуются равенством тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта двух тел:

При совершенном тепловом контакте изотермы непрерывно пере­ходят из одного тела в другое, а градиенты температур в точках контакта удовлетворяют условию (2.75).

Дифференциальное уравнение теплопроводности (2.63) совместно с условиями однозначности дает полное математическое описание кон­кретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численно с применением ЭВМ или экспери­ментально с использованием методов подобия и моделирования.

Рассмотрим несколько простейших задач теплопроводности.

Стационарные одномерные системы без источников теплоты. В основе решения приведенных ниже задач лежит дифференциальное уравнение энергии (2.24).

Плоская стенка. Граничные условия первого рода. Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, толщина которой значи­тельно меньше двух других размеров (рис. 2.5). Такую стенку иногда называют тонкой. Пусть на поверхностях пластины поддерживаются температуры T‘C и г», а теплопроводность материала равна X.

При стационарном тепловом режиме Dt/Dx = 0 для одномерного температурного поля, когда температура изменяется только по коорди­нате х и не зависит от у и г, дифференциальное уравнение тепло­проводности принимает вид

Граничные условия первого рода для данной задачи будут:

Интегрируем уравнение (2.76) и получаем общее решение Dt/Dx =Си И окончательно

Где Сі и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (2.77).

Подставляя значения постоянных интегрирования в формулу (2.78), получим окончательное решение уравнения (2.76) при граничных условиях (2.77)

Видно, что T (х) линейно зависит от х. Распределение

Температуры внутри плоской стенки показано па рис. 2.5. Плотность теплового потока при постоянной теплопроводности можно опреде­лить из закона Фурье Q = — XGradT.

В случае неограниченной плоской стенки grad T = Dt/Dx. Значение Dt/Dx было найдено выше и равно Ci = (T«C — T‘C)/B. Подставляя значение градиента температуры в выражение закона Фурье, получаем

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через по­верхность стенки F, равно

Для многослойной стенки, состоящей из п слоев, при стационарном тепловом режиме значение плотности теплового потока будет постоянно и может быть записано для каждого из слоев следующими соот­ношениями:

Решая эти уравнения относительно температурных напоров, по­лучаем

Рис. 2.5. Стационар­ное распределение тем­пературы в процессе теплопроводности внутри однослойной плоской стенки

Рис. 2.6. Стационарное распределение темпе­ратуры в процессе теплопроводности в трехслойной плоской стенке при >ч > Я-2 > Х,3

Сложив эти уравнения и решив относительно плотности теплового потока, получим

^ 81 Ai + 62Л2 + • • • + 5„Д„ ^ ^ д^ ‘

Где I — порядковый номер слоя.

Величина £ (5,-Дг) представляет собой сумму термических сопротив — 1 = 1

Определив значение Q из (2.82), можно рассчитать температуры между слоями FС, /.

Для тонких труб большого диаметра при D2/DІ T2. Заданы коэффициенты теплоотдачи ах и а2 на по­верхностях стенки со стороны горячего и холодного теплоносителей.

Напишем уравнения для линейной плотности теплового потока: Ql = A.1(Tl

Ai2rc Гі 2 NX ri a22rcr2 aiTt dx 2nX dx ct2Ttd2 Обозначим

1 ^ 1 1 d> л. 1 + ^г-т-ln — +

Величину Кі называют линейным коэффициентом теплопередачи. Величина, обратная /сь называется полным термическим сопротив­лением цилиндрической стенки и обозначается R,:

R J_ = + _Lln ^ + = R + R + R (2.108)

Где Di и D2 — внутренний и наружный диаметры трубы.

Как и в случае плоской стенки, полное термическое сопротив­ление теплопередачи цилиндрической стенки есть сумма частных термиче-

Ских сопротивлении JR, 1 = ——— — и Ri 2 = ——— — и термического сопро-

Ajjti/i ‘ ос2тш2 1 л

Тивлеиия стенки jR/,t

Из формулы (2.106) видно, что при постоянном Di с увеличением D2 увеличивается термическое сопротивление Ri, с, но уменьшается термическое сопротивление теплоотдачи со стороны холодного тепло­носителя Ri, 2. Такая двойного характера зависимость полного терми­ческого сопротивления Ri цилиндрической стенки означает, что сущест­вует значение D2, при котором Rt имеет экстремальное значение. Приравняв первую производную нулю:

DRi _ 1________ 1_ = 0

Так как вторая производная положитель­на, то найденному значению D2 соответству­ет минимальное тепловое сопротивление Ri (рис. 2.10) и согласно (2.106) максимальная плотность теплового потока Qt. Величину Di, Определяемую соотношением (2.109), называ­ют критическим диаметром трубы

Общее решение задачи одномерного температурного поля в крите­риальной форме может быть записано в следующем виде:

Где Ро = (QvR2)/(Xtx) — критерий Померанцева; Bi = (осR)/X — критерий Био; п — постоянное число: для пластины п = 2, для цилиндра П = 4, для шара п = 6.

При Bi оо граничные условия третьего рода вырождаются в гра­ничные условия первого рода Tc = Tx = const. В этом случае общее решение будет:

Уравнение (2.127) показывает, что распределение температуры в пластине, цилиндре и шаре при наличии равномерно распреде­ленных внутренних источников теплоты постоянной мощности под­чиняется параболическому закону.

Как следует из уравнения (2.127), мощность внутренних источников теплоты может быть определена по разности температур на поверх­ности тела и любой точки тела At = tr — tc:

При г = О температура в центре равна tu. В этом случае величина (QvR2)/(NX) имеет смысл полного перепада температур в теле:

Мощность внутренних источников в этом случае может быть оп­ределена из соотношения

Которое для пластины, например, имеет вид

Нестационарная теплопроводность. В химической технологии не­стационарная теплопроводность связана с прогревом или охлаждением материала и оборудования при запуске, остановке или изменении технологического режима процесса. Особый интерес представляет анализ нестационарной теплопроводности в тех случаях, когда химический процесс сопровождается экзотермическим или эндотермическим эф­фектом. В этом случае расчет теплопроводности с учетом внут­ренних источников теплоты позволяет получить важные кинетические и термодинамические характеристики химического процесса.

На рис. 2.11, а показаны кривые изменения температуры тела в процессе его нагревания. При погружении тела в среду теплоносителя с постоянной температурой t, к сначала прогревается поверхность тела t„, а спустя какое-то время начинает изменяться температура центра Гц. С увеличением времени прогрева температуры в теле выравни­ваются и при х -» оо становятся равными температуре греющей жид­кости. Иа рис. 2.11,6 показана дифференциальная термограмма этого процесса At = F (х), где At = T„ — t„. Максимальная разность температур поверхности и центра соответствует времени ть а затем уменьшается и при х -»оо стремится к нулю, когда тело полностью прогрето. Характер изменения теплового потока, поступающего в тело при его нагревании, показан на рис. 2.11, е. В начале процесса прогрева Q Велико, а затем уменьшается. Площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой Q = F (х), соответствует полному количеству теплоты, поступив­шему в тело за время х. Теплота Q идет на повышение энтальпии тела.

Рассмотрим некоторые простейшие задачи нестационарной тепло­проводности. На этих примерах рассмотрим физические особенности процессов, методы решения задач нестационарной теплопроводности, а также возможности практического использования полученных ре­шений.

Аналитическое описание процесса включает в себя дифференциаль­ное уравнение теплопроводности и условия однозначности. Для одно­мерных тел дифференциальное уравнение теплопроводности может быть представлено в следующем виде [см. уравнение (2.79)]:

Количество теплоты Qv, выделенное в единице объема за единицу времени, может быть в первом приближении принято постоянным и равномерно распределенным, как в электронагревательных элементах, или зависящим от времени, как в химических процессах.

При отсутствии внутренних источников теплоты уравнение упро-

Физические параметры тела А., с, р будем считать постоянными, а началь­ное распределение температуры равно­мерным.

Рис. 2.11. Термограм­мы прогрева образца: простые (д); дифферен­циальные (б); теплота, затраченная на про-

Рис. 2.12. Распределение температуры в неогра­ниченной пластине при нестационарной тепло­проводности

Решение задачи нестационарной теплопроводности сводится к опре­делению зависимости температуры и переданного количества теплоты от времени для любой точки тела.

Охлаждение (нагревание) пластин ы. Г р а н и ч н ы е условия третьего рода. Дана неограниченная пластина тол­щиной 28 (рис. 2.12). В начальный момент времени (х = 0) темпе­ратура в пластине распределена равномерно и равна TQ. Пластина помещена в среду с постоянной температурой f, K оо, /(х)-> оо, т. е. приводит к нереальному результату. Общее решение (2.137) имеет вид

Подставляя выражения ф(х) и / (х) в уравнение (2.135), получим

& = [С2 cos (кх) + С3 sin(/ ло 11 ‘

Подставив найденные значения C„ в уравнение (2.144), получим окончательное решение для симметрично охлаждаемой однородной пластины

Или в безразмерной форме

Где А„ = 2 sin |V(|i„ + sin ри cos р„).

Решение (2.149) действительно и для случая прогревания пластины,

Только необходимо положить

Так как cos (ц„х/8) — величина ограниченная, а ехр( — |A2Fo)— Величина быстро убывающая, то, как показывает анализ уравнения
(2.149), при Fo 0,25 ряд становится быстро сходящимся и может быть заменен с достаточной точностью первым членом.

В этом случае распределение температуры в пластине может быть получено из уравнения

Є = А і cos^|ii-^exp(-n? Fo). (2.150)

Область вырождения функции (2.149) в (2.150) называют регулярным тепловым режимом.

При заданных координатах х искомая температура 9 есть функция только критериев Ві и Fo:

Для практических расчетов температуры в центре и на поверхности пластины обычно пользуются номограммами, приведенными на рис. 2.14 и 2.15. Пользуясь номограммами, можно:

Определить время охлаждения Fo == (ах)/В2 (нагревания) до заданной температуры 0Х=Й или 0Л=О по известным условиям теплоотдачи на поверхностях;

Определить температуру через заданное время;

Определить интенсивность теплоотдачи на поверхностях при заданных Fo и 0.

При Ві -+ оо температура поверхности пластины становится равной температуре охлаждающей (нагревающей) среды, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. Как показывают расчеты, таким свойством обладает поле при Ві ^ 100. Тогда р„ = (2п — 1) тс/2 и коэффициент А„ в уравнении (2.149) равен

При п = 1 А і = 4/тг, при п = 2 А2 = — 4/(Зя),— Если ограничиться первым членом, то безразмерная температура оси пластины

Решая относительно времени, получим

452 1 , ( 1 4 Х = —5 M

Безразмерная температура поверхности 0x= Bn exp ( p,, Fo). (2.156)